Lektion 17
• Komplexa tal:
-
introduktion; komplexa talplanet; konjugat och absolutbelopp; division
ekvationer; mängder i det komplexa talplanet; polär form
1
Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från “Inför lektion 17” som eventuellt ställt till
problem.
2
Komplexa tal (introduktion; komplexa talplanet): Idag ska vi börja med komplexa tal. Komplexa
tal fungerar precis som vanliga reella tal, men man har infört det speciella talet i, den imaginära
enheten, som uppfyller i2 = −1. Ett godtyckligt komplext tal z skrivs därför
z = a + bi,
där a och b är vanliga (reella) tal. Talet a kallas för realdelen (Re z) och talet b för imaginärdelen
(Im z). Komplexa tal kan tolkas som vektorer i det komplexa talplanet (se bilden på s.437). Lös
uppgift A.1.
När man adderar, subtraherar och multiplicerar komplexa tal fungerar detta precis som för
vanliga (reella) tal, med undantaget att varje gång man får i2 så ersätts detta med −1. T.ex.
(3 + i)(2 − i) + 1 − i = 6 − 3i + 2i − i2 + 1 − i = 6 − 3i + 2i − (−1) + 1 − i = 8 − 2i.
Lös uppgift A.2a,c,d.
3
Komplexa tal (konjugat och absolutbelopp): Slå upp Definition 5 (s.443) som handlar om
konjugatet till ett komplext tal. Läs även gemensamt igenom Exempel 4 på samma sida.
Lös därefter uppgift A.3a,b. Hur kan man tolka konjugering rent geometriskt i det komplexa
talplanet? Lägg också märke till räknereglerna för konjugering (formel 14-15, s.444). Om ni har
tid kan ni lätt kolla att de stämmer (sätt t.ex. z = a + bi och u = c + di).
Ta sedan en titt på Definition 6 (s.444) som beskriver absolutbeloppet av ett komplext tal.
Gå även gemensamt igenom Exempel 5 (s.445). Lös sedan uppgift A.3e,h. Hur kan man tolka
absolutbeloppet geometriskt i det komplexa talplanet? Stämmer detta med vad ni lärde er i
linjär algebra? Observera att ett vanligt reellt tal faktiskt kan tolkas som ett komplext tal med
imaginärdelen noll (d.v.s. b = 0). Vad händer om vi beräknar absolutbeloppet av z = a + 0 · i?
Får vi vad vi kan förvänta oss?
Vi har även några räkneregler för absolutbelopp. Slå upp formel (16-18, s.446-447). Observera
att sambandet
|z + u| = |z| + |u|
i allmänhet inte är sant. Varför? Använd sedan räkneregel (17) för att lösa uppgift A.5a.
4
Komplexa tal (division): Det enda räknesätt som ställer till lite problem är division. En division
med ett komplext tal utförs genom att man först förlänger med konjugatet till nämnaren.
Gå gemensamt igenom Exempel 8 (s.449). Lös därefter uppgift A.4a,b,c. Diskutera igenom i
gruppen varför man egentligen gör på detta vis. Nu när vi också har koll på division kan vi
addera ytterligare några räkneregler för konjugering och absolutbelopp (formel 22-23, s.449).
Använd räkneregel (23) för att lösa uppgift A.5b.
5
Komplexa tal (ekvationer; mängder i det komplexa talplanet): Många ekvationer som innehåller
komplexa tal kan man lösa genom att först ersätta z med a + bi, och sedan bestämma vad
a och b måste bli. Lägg märke till att två komplexa tal är lika precis då både realdelen och
imaginärdelen är lika. Lös nu uppgift A.7.
Ta en titt på uppgift A.9. I komplexa talplanet motsvarar realdelen koordinaten på x-axeln
och imaginärdelen koordinaten på y-axeln. Ett bra sätt att tänka när man vill lösa uppgifter
av det slag som återfinns i A.9 är att ersätta Re z med x och Im z med y. Vad blir det för
geometrisk figur i uppgift A.9?
Lös sedan uppgift A.10a,d.
Gå gemensamt igenom Exempel 6 (s.445) och försök sedan lösa uppgift A.11 på motsvarande
sätt. Observera att ni har ett plustecken i uppgiften. Hur kan man “fixa till” så att man får ett
minustecken? Ser ni några likheter med hur ni tolkade absolutbelopp för reella tal tidigare i
kursen? Lös sedan uppgift A.12a,c,e.
6
Komplexa tal (polär form): Ett annat sätt att skriva ett komplext tal z = a + bi är att utnyttja
motsvarande vektors egenskaper i det komplexa talplanet. Ta en titt på figuren på s.450. I
figuren kan man utläsa att
½
a = |z| cos θ
b = |z| sin θ
där θ är vinkeln med den positiva axeln för realdelen. Alltså kan vi skriva
z = a + bi = |z| cos θ + |z| sin θ · i = |z|(cos θ + i sin θ).
(I boken kallar man |z| för r.) Diskutera igenom detta i gruppen så att alla är med på varför.
Vinkeln θ kallas för argumentet av z (θ = arg z). Är denna vinkel entydigt bestämd? Lös
uppgift A.18a,b.
Man brukar använda den kortare beteckningen eiθ i stället för uttrycket cos θ + i sin θ, d.v.s.
z = a + bi = |z|(cos θ + i sin θ) = |z|eiθ .
Uttrycker man z på detta sätt brukar man säga att z är skrivet i polär form.
Lös därefter uppgift A.19a,d,f. Ta gärna hjälp av Exempel 10 (s.451). (Det blir oftast enklare
om man ritar ut z i det komplexa talplanet först.) Lös slutligen uppgift A.20a och A.21a.
Inför lektion 18
A
Lös uppgifterna A.2b,f,g, A.3c,d,f,g, A.4d,e,f, A.6, A.8a, A.10b,c,e, A.12b,d,f,g, A.18c,d,e,
A.19b,c,e, A.20c och A.21c
B
Läs översiktligt igenom kap. A.6-A.8 (s.452-461)
C
Läs sedan följande noggrannare som förberedelse inför lektion 18:
• Formlerna för arg z1 z2 och arg
z1
z2
samt Sats 6 (s.453-454)
• Exempel 14 och 16 samt formel (29) (s.455-456)
• Exempel 17 och 18 (s.459-461)
Extra uppgifter inför lektion 18:
A.2e
A.8b
A.18f,g, A.20b, A.21b
(multiplikation)
(ekvationer)
(polär form)
