Föreläsning 2

Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 2
Innehåll: Plan geometri – Kongruens och Likformighet
Andra (Bhaskara; Indien 1100-talet):
Geometriskt
Kapitel P.2-P.5
1.
2.
3.
4.
Kongruenssatser
Transversalsatsen och dess följder
Likformighetsfallen
Cirkeln och radianer
Efter dagens föreläsning måste du kunna
- kunna kongruensfallen
- genomföra geometriska bevis baserade på kongruensargument
- redogöra för relationen mellan transversalsatsen och de två satserna om topptriangel och bisektris.
- genomföra likformighetsargument
- kunna flera bevis för Pythagoras’ sats
Liksom tidigare återfinns detaljerade formuleringar och bevis i
geometri-läroboken
Kongruenssatser
⇒
Algebraiskt:
c2 = ( a − b )2 + 4
ab
2
⇔
a2 + b2 = c2 .
Anmärkning Pythagoras’ sats har också en omvändning:
a2 + b2 = c2
⇔
triangeln är rätvinklig.
Transversalsatsen och dess följder
Definition (Kongruens) Två trianglar är kongruenta om motsvarande sidor och vinklar är lika stora.
Axiom 3: Två trianglar är kongruenta om något av fallen nedan är
uppfyllt:
SVS: två sidor och mellanliggande vinkel är lika stora
SSS: alla sidor är lika stora
VSV: två vinklar och mellanliggande sida är lika stora.
Anmärkning Tänk efter vad som gäller för fallet VVV!!!
Sats 5: En romb är en parallellogram
Sats 6: (Parallellogramsatsen) I ett parallellogram är motstående sidor och vinklar lika stora
Sats 7: (Satsen om likbent triangel) Basvinklarna i en likbent triangel
är lika stora
Sats 8: (Basvinkelsatsen) Om två vinklar i en triangel är lika stora så
är de båda motstående sidorna lika stora.
Algebra och geometri
Två bevis för Pythagoras’ sats som bygger på kongruens.
Första (Chou-pei Suan-chia; Kina 250 f Kr):
Geometriskt
Först en allmän observation direkt ur formeln för arean av en triangel:
Lemma Areorna hos två trianglar med samma höjd förhåller sig som
basernas längder.
Definition En rät linje genom en given triangel som inte skär något
av dess hörn kallas en transversal.
Sats (Transversalsatsen) En transversal som är parallell med en sida
delar de återstående sidorna i lika förhållanden.
Definition Två trianglar är likformiga om
• motsvarande vinklar är lika stora
• motsvarande sidor är proportionella
Anmärkning En storhet y är proportionell mot en annan storhet x om
det finns ett k sådant att y = kx. Att tre sidor a, b, c är proportionella
mot tre andra sidor a0 , b0 , c0 betyder att det finns ett tal k sådant att
a = ka0 , b = kb0 , c = kc0 .
Sats (Topptriangelsatsen) En transversal som är parallell med en sida
i en triangel skär av en topptriangel som är likformig med den stora
triangeln
Sats (Bisektrissatsen) En bisektris delar den motstående sidan i delar
som har samma förhållande som de övriga sidorna.
Likformighetsfallen
Antag att vi har två trianglar ABC och A0 B0 C 0 . Dessa är då likformiga
om något av följande tre fall gäller:
6
SVS: (Sats 15)
SSS: (Sats 16)
⇒
VV: (Sats 17)
Algebraiskt:
6
A0 C 0
C 0 B0
=
AC
CB
A0 C 0
A0 B0
C 0 B0
=
=
AC
AB
CB
C = 6 C 0 och 6 A = 6 A0 .
C = 6 C 0 och
Exempel (Pythagoras eget bevis?)
( a + b )2 = c2 + 4
ab
2
⇔
a2 + b2 = c2 .
Enligt
likformighetsfallet
VV har vi:
B
M
∆CBM ∼ ∆ABC
∆ACM ∼ ∆ABC
Konsekvenser?
C
A