Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 2
Innehåll: Klassisk geometri II – Likformighet
Kapitel P.2, P.4-P.5 (T.4)
1.
2.
3.
4.
Kongruenssatser
Transversalsatsen och dess följder
Likformighetsfallen
Cirkeln och radianer
6
SVS: (Sats 15)
SSS: (Sats 16)
VV: (Sats 17)
6
A0 C 0
C 0 B0
=
AC
CB
A0 C 0
A0 B0
C 0 B0
=
=
AC
AB
CB
C = 6 C 0 och 6 A = 6 A0 .
C = 6 C 0 och
Exempel (Pythagoras eget bevis?)
Enligt
likformighetsfallet
VV har vi:
B
Efter dagens föreläsning måste du kunna
M
- genomföra geometriska bevis baserade på kongruensargument
- redogöra för relationen mellan transversalsatsen och de två satserna om topptriangel och bisektris.
- genomföra likformighetsargument
- vinkeln mellan radien och tangenten för en punkt på en cirkel
∆CBM ∼ ∆ABC
∆ACM ∼ ∆ABC
Konsekvenser?
C
Liksom tidigare återfinns detaljerade formuleringar och bevis i
geometri-läroboken
Kongruenssatser
Vi fortsätter med att formulera och bevisa ett par satser som bygger
på kongruensaxiomen:
Sats 5: En romb är en parallellogram
Sats 6: (Parallellogramsatsen) I ett parallellogram är motstående sidor och vinklar lika stora
Sats 7: (Satsen om likbent triangel) Basvinklarna i en likbent triangel
är lika stora
Sats 8: (Basvinkelsatsen) Om två vinklar i en triangel är lika stora så
är de båda motstående sidorna lika stora.
Transversalsatsen och dess följder
Först en allmän observation direkt ur formeln för arean av en triangel:
Lemma Areorna hos två trianglar med samma höjd förhåller sig som
basernas längder.
Definition En rät linje genom en given triangel som inte skär något
av dess hörn kallas en transversal.
Sats (Transversalsatsen) En transversal som är parallell med en sida
delar de återstående sidorna i lika förhållanden.
A
Exempel Hur man bestämmer höjden av en pyramid med hjälp av
solen och en pinne.
Cirkeln och radianer
En cirkel består av alla punkter som ligger på ett fixt avstånd (radien)
till en given fixpunkt (medelpunkten). (Konstrueras med hjälp av en
passare.)
Generisk beskrivning: Kalla medelpunkten M och radien r. Låt | P −
Q| beteckna avståndet mellan punkterna P och Q. Då består cirkeln
av alla punkter P sådana att
| P − Q| = r.
I denna beskrivning sägs ingenting om hur vi beräknar avståndet – vi
bara antar att det finns ett! Men tänk på absolutbelopp som avstånd!
Exempel Låt P2n vara en regelbunden 2n-hörning som är omskriven
enhetscirkel. Vi ser då (klipp och klistra) att
Omkretsen av P2n
=2
Arean av P2n
för alla n. Låter vi n → ∞ ser vi att cirkelns area är hälften av dess
omkrets. Eftersom vi definierar π genom att enhetscirkeln har omkretsen 2π följer att enhetscirkeln har arean π. Det följer att en cirkel
med radien R har omkretsen 2πR och arean πR2 .
Definition Två trianglar är likformiga om
• motsvarande vinklar är lika stora
• motsvarande sidor är proportionella
Anmärkning En storhet y är proportionell mot en annan storhet x om
det finns ett k sådant att y = kx. Att tre sidor a, b, c är proportionella
mot tre andra sidor a0 , b0 , c0 betyder att det finns ett tal k sådant att
a = ka0 , b = kb0 , c = kc0 .
Sats (Topptriangelsatsen) En transversal som är parallell med en sida
i en triangel skär av en topptriangel som är likformig med den stora
triangeln
Sats (Bisektrissatsen) En bisektris delar den motstående sidan i delar
som har samma förhållande som de övriga sidorna.
Notera att för enhetscirkeln gäller att
båglängden är lika med vinkeln om vi mäter i radianer!
Likformighetsfallen
Antag att vi har två trianglar ABC och A0 B0 C 0 . Dessa är då likformiga
om något av följande tre fall gäller:
Annars är kanske den viktigaste information om cirkeln just nu att
tangenten i en punkt är vinkelrät mot radien.
Att fundera på till nästa gång
1. Greken Eratosthenes (ca 200 f Kr) fick reda på att i Syene (numera Assuan) fanns en djup brunn sådan att den 21/6 kl 1200 nådde ljuset ända ner till vattnet i botten. Han visste att Syene låg
rakt söderut från hans hemstad Alexandria. Han kom då på att
han kunde mäta jordens omkrets med hjälp av denna information, men för det behövde han skicka ut en bekant på en längre
promenad. Hur gjorde han? Vilka data behövde han samla in?
2. Om du står vid kusten och tittar ut över havet, hur långt bort
ligger horizonten? Antag att jorden är en sfär med radien R =
6 371.0 km. Bestäm en formel som talar om avståndet som funktion av observatörens längd (upp till ögonen) och beräkna det
avstånd som gäller för dig själv. Med avståndet menar vi det räta avståndet från dina ögon till horisonten, inte vattenavståndet.
Men du kan fundera på det senare också! (Var skulle horisonten
ligga om jorden var platt?)
3. Ett högt berg står vid stranden vid Atlanten. Du mäter dess höjd
(över havet) på toppen till h m. Hur kan du nu genom att bestämma en vinkel bestämma jordens omkrets? Vilken är vinkeln och
vilken formel får man för jordradien?
