Endimensionell analys (FMAA05)
Anders Källén
Föreläsning 3
Innehåll: Cirkeln och randvinkelsatsen
B
Kapitel P.6, (T.4)
α
1. Randvinkelsatsen och dess följder
2. Vad är analytisk geometri?
β
Efter dagens föreläsning måste du kunna
α
C
A
- vinkeln mellan radien och tangenten för en punkt på en cirkel
- formulera och bevisa randvinkelsatsen och dess konsekvenser
Följdsatser:
Cirkeln och radianer
En cirkel består av alla punkter som ligger på ett fixt avstånd (radien)
till en given fixpunkt (medelpunkten). (Konstrueras med hjälp av en
passare.)
Generisk beskrivning: Kalla medelpunkten M och radien r. Låt | P −
Q| beteckna avståndet mellan punkterna P och Q. Då består cirkeln
av alla punkter P sådana att
- Randvinklar som står på samma båge är lika stora.
- Randvinkeln på en halvcirkel är rät.
- I en fyrhörning som är inskriven i en cirkel är summan av motstående vinklar 180◦ .
Kordasatserna
korda = sträcka mellan två punkter på en cirkel.
Kordasatsen säger att i figurerna nedan gäller att
| P − Q| = r.
ab = cd
I denna beskrivning sägs ingenting om hur vi beräknar avståndet – vi
bara antar att det finns ett! Men tänk på absolutbelopp som avstånd!
Exempel Låt P2n vara en regelbunden 2n-hörning som är omskriven
enhetscirkel. Vi ser då (klipp och klistra) att
Omkretsen av P2n
=2
Arean av P2n
för alla n. Låter vi n → ∞ ser vi att cirkelns area är hälften av dess
omkrets. Eftersom vi definierar π genom att enhetscirkeln har omkretsen 2π följer att enhetscirkeln har arean π. Det följer att en cirkel
med radien R har omkretsen 2πR och arean πR2 .
a
c b
a
b
d
d
c
Citat från geometriboken:
Beviset för denna sats är så pass enkelt att det för många är lättare att lära sig detta än att komma ihåg satsen. När man har
kommit till denna insikt i sina matematikstudier blir det ofta lättare att lära sig mera.
Att fundera på
1. Greken Eratosthenes (ca 200 f Kr) fick reda på att i Syene (numera Assuan) fanns en djup brunn sådan att den 21/6 kl 1200 nådde ljuset ända ner till vattnet i botten. Han visste att Syene låg
rakt söderut från hans hemstad Alexandria. Han kom då på att
han kunde mäta jordens omkrets med hjälp av denna information, men för det behövde han skicka ut en bekant på en längre
promenad. Hur gjorde han? Vilka data behövde han samla in?
2. Ett högt berg står vid stranden vid Atlanten. Du mäter dess höjd
(över havet) på toppen till h m. Hur kan du nu genom att bestämma en vinkel bestämma jordens omkrets? Vilken är vinkeln och
vilken formel får man för jordradien?
Notera att för enhetscirkeln gäller att
båglängden är lika med vinkeln om vi mäter i radianer!
Annars är kanske den viktigaste information om cirkeln just nu att
tangenten i en punkt är vinkelrät mot radien.
Randvinkelsatsen och dess följder
Sats En randvinkel är hälften så stor som medelpunktsvinkeln på samma
cirkelbåge
I beviset reduceras två fall på ett tredje, illustrerat nedan.
