Föreläsning 2
1
Matematiska grundbegrepp
Fält
Skalärfält:
Till varje punkt i rummet tilldelas en skalär
Exempel: Temperaturen i olika punkter i
rummet, T ( r, t ) = T ( x, y, z, t )
Vektorfält:
Till varje punkt i rummet tilldelas en vektor
Exempel: Lufthastigheten i olika punkter i
rummet,
v ( r, t ) = v ( x, y, z, t ) = !" vx ( r, t ) , vy ( r, t ) , vz ( r, t )#$
vx, vy, vz är skalärfält.
E, D, B, H, strömtätheten J,
magnetiseringen M är alla vektorfält.
polarisationen
P,
Potentialen V, laddningstätheten ρ, den elektriska
energitätheten We, den magnetiska energitätheten Wm, är
alla skalärfält.
Lite om vektorer:
A vektor
 = A A = A A enhetsvektor
A = AÂ
A
Kryssprodukt
A ! B vektor med längd A " B "sin #
skalärprodukt:
A ! B skalär, A ! B = AB cos "
!
θ
B
Föreläsning 2
2
Beteckningar:
! vektor som pekar ned genom papperet
! vektor som pekar upp från papperet
öppna ytor
n̂ !
n̂ !
slutna ytor
För slutna ytor pekar alltid normalen, n̂ , ut från ytan, ut från
området där materialet finns.
Föreläsning 2
3
Cartesiskt koordinatsystem (fast koordinatsystem)
x̂ ! x̂ = ŷ ! ŷ = ẑ ! ẑ = 1
x̂ ! ŷ = x̂ ! ẑ = ŷ ! ẑ = 0
x̂ " ŷ = ẑ;! ŷ " ẑ = x̂;! ẑ " x̂ = ŷ
x̂ " ẑ = # ŷ;! ẑ " ŷ = # x̂;! ŷ " x̂ = # ẑ
Infinitesimal förflyttning, infinitesimalt vektoriellt
linjeelement
dl = dxx̂ + dyŷ + dzẑ
av speciellt intresse då två av koordinaterna är fixa och den
tredje tillåts variera:
x varierar, y och z fixa: dl = dxx̂;
y varierar, x och z fixa: dl = dyŷ;
z varierar, x och y fixa: dl = dzẑ
Volymselement
d! = dx " dy " dz
Infinitesimalt ytelement
dS = dSn̂
av speciellt intresse då en av koordinaterna är fix:
x = x0 , fix: dS = ± dy ! dz x̂;
y = y0 , fix: dS = ± dx ! dz ŷ;
z = z0 , fix: dS = ± dx ! dy ẑ
Föreläsning 2
4
Cylindriskt koordinatsystem (rörligt koordinatsystem)
R̂ ! R̂ = "ˆ ! "ˆ = ẑ ! ẑ = 1
R̂ ! "ˆ = R̂ ! ẑ = "ˆ ! ẑ = 0
R̂ # "ˆ = ẑ;!"ˆ # ẑ = R̂;! ẑ # R̂ = "ˆ
R̂ # ẑ = $"ˆ;! ẑ # "ˆ = $ R̂;!"ˆ # R̂ = $ ẑ
R̂ = R̂ (! ) ;!!!ˆ = !ˆ (! )
Infinitesimal förflyttning, infinitesimalt vektoriellt
linjeelement
dl = dRR̂ + Rd!!ˆ + dzẑ
av speciellt intresse då två av koordinaterna är fixa och den
tredje tillåts variera:
R varierar, ! och z fixa: dl = dRR̂;
! varierar, R och z fixa: dl = R0 d!!ˆ;
z varierar, R och ! fixa: dl = dzẑ
Volymselement
d! = dR " Rd# " dz
Infinitesimalt ytelement
dS = dSn̂
av speciellt intresse då en av koordinaterna är fix:
R = R0 , fix: dS = ± R0 d! " dz R̂;
! = ! , fix: dS = ± dR " dz !ˆ;
0
z = z0 , fix: dS = ± RdR " d! ẑ
Föreläsning 2
5
Sfäriskt koordinatsystem (rörligt koordinatsystem)
r̂ ! r̂ = "ˆ ! "ˆ = #̂ ! #̂ = 1
r̂ ! "ˆ = r̂ ! #̂ = "ˆ ! #̂ = 0
r̂ $ "ˆ = #̂;!"ˆ $ #̂ = r̂;!#̂ $ r̂ = "ˆ
r̂ $ #̂ = %"ˆ;!#̂ $ "ˆ = % r̂;!"ˆ $ r̂ = %#̂
r̂ = r̂ (! , " ) ;!!!ˆ = !ˆ (! , " ) ;!"ˆ = "ˆ (" )
Infinitesimal förflyttning, infinitesimalt vektoriellt
linjeelement
dl = drr̂ + rd!!ˆ + r sin ! d""ˆ
av speciellt intresse då två av koordinaterna är fixa och den
tredje tillåts variera:
r varierar, ! och " fixa: dl = drr̂;
! varierar, r och " fixa: dl = r d!!ˆ;
0
" varierar, r och ! fixa: dl = r0 sin ! 0 d""ˆ
Volymselement
d! = dr " rd# " r sin # d$ = r 2 sin # d# d$ dr
Infinitesimalt ytelement
dS = dSn̂
av speciellt intresse då en av koordinaterna är fix:
r = r0 , fix: dS = ± ro2 sin ! d! d" r̂;
! = ! 0 , fix: dS = ± r sin ! 0 drd" !ˆ;
" = " , fix: dS = ± rdrd! "ˆ
0
Föreläsning 2
6
Flödesintegraler
Maxwells första ekvation har en flödesintegral som sitt vänsterled:
!" D ! dS = !" D ! dSn̂ = Q
S
ekv!2 :1
S
Flödet av D-fältet ut genom den slutna ytan S är lika med den
totala inneslutna laddningen. Hur mycket laddnings som finns
utanför ytan påverkar inte resultatet. Flödet från dessa laddningar passerar både in genom ytan och ut genom den. På differentialform är ekvationen,
!"D = #,
där ρ är laddningstätheten. Den fysikaliska bilden är att fältlinjer
utgår från laddningar och då gäller att tätheten av punkter där
fältlinjer startar är relaterad till tätheten av laddningar och
därmed till laddningstätheten.
Maxwells tredje ekvation har också en flödesintegral som sitt
vänsterled,
!" B ! dS = !" B ! dSn̂ = 0
S
ekv!2 : 3
S
och på differentialform,
!"B = 0
säger att flödet av B-fältet genom alla slutna ytor är noll. Flödet
passerar både in genom ytan och ut genom den. Inga fältlinjer
startar eller slutar någonstans. Alla fältlinjer bildar slutna
kurvor. Det finns inga magnetiska monopoler.
Föreläsning 2
7
Linjeintegraler
De integraler som ingår i Maxwells ekvationer på integralform
är alla antingen linjeintegraler eller ytintegraler. I alla fallen är
integranden en skalärprodukt och således en skalär. Ytintegralerna är födesintegraler dvs. beskriver ett flöde genom en yta.
Vi kommer också att stöta på integraler där integranden är
vektorvärd. Då gäller det att se upp. Man bör då använda sig av
ett fast koordinatsystem, det cartesiska.
Definition av konservativt kraftfält:
!" F ! dl = 0 för varje sluten kurva C
ekv 3 : 2
C
Det innebär att linjeintegralen mellan två punkter är densamma
oavsett utmed vilken kurva mellan de två punkterna man integrerar. För ett konservativt kraftfält kan man definiera en
potentiell energi.
Definition av potentiell energi:
akt
W p = ! # F " dl
ekv!3 : 3
ref
Potentiella energin kan bara bestämmas på en konstant när.
Referenspunkten är den punkt man har valt som referens, där
potentiella energin är satt lika med noll. Den aktuella punkten är
den punkt där man önskar veta hur stor potentiella energin är.
Inversen till ekvationen ger att
F = !"W p = !gradW p
ekv!3 : 4
Föreläsning 2
8
Förutom de fyra vektorfälten E, D, B och H, innehåller Maxwells ekvationer ytterligare ett, nämligen strömtätheten J. Den
dyker upp i en flödesintegral i den fjärde ekvationen,
I = " J ! dS = " J ! dSn̂ .
S
S
Flödet av strömtätheten genom en yta är strömmen genom ytan,
laddning som passerar genom ytan per tidsenhet. En öppen yta
har ju två sidor och två ytnormaler. Ytnormalen i den här
ekvationen bestäms av i vilken riktning kurvan C genomlöper
randen till ytan i vänsterledet av Maxwells fjärde ekvation.
Volymsintegraler
Förutom linjeintegraler och ytintegraler måse vi behärska
volymsintegraler. Tex. ges sambandet mellan högerleden av
Maxwells första ekvation i integral- och differentialform av en
volymsintegral,
Q = # !d" .
"
Vektorvärd integrand
I alla integraler vi har diskuterat hittills har intergranderna varit
skalärer. Det är inte alltid fallet. Vi kan ha exempel där
! Adl;! ! Adl;! ! AdS;! ! AdS;! ! Ad" ,
C
C
S
S
"
där dl = dl ,!dS = dS och!d! är skalärer. Här är det lätt att göra
misstag om man inte är försiktig. Det säkraste sättet är att
utrycka alla storheter i det cartesiska koordinatsystemet där
koordinataxlarna är fasta i rummet.
Föreläsning 2
9
Källor
Q, laddning. C(oulomb) (As)
ρ, laddningstäthet, laddning per volymsenhet. C/m3=As/m3
ρs, ytladdningstäthet. C/m2=As/m2
ρl, linjeladdningstäthet. C/m=As/m
(Påminnelse: grundenheterna: kg, m, s, A)
I, ström eller strömstyrka. A
J, strömtäthet eller volymströmtäthet. A/m2.
Obs! Ej Ström per volymsenhet.
Js, ytströmtäthet. A/m
Hur ska vi tänka för att komma ihåg dessa?
För laddningsfallet börjar vi med en laddning i en punkt. Vi
sprider ut den utmed en kurva som då får linjeladdningstätheten
ρl. Vi sprider ut den vidare över en yta som då får ytladdningstätheten ρs. Vi sprider ut laddningen ytterligare över en volym
som då får volymsladdningstätheten ρ.
För strömfallet börjar vi med en ström I genom en tunn tråd. Vi
sprider ut den över en yta (vi låter den t.ex. gå utmed en
metallfolie) som då får ytströmtätheten Js. Vi sprider ut
strömmen ytterligare så att den går genom en volym som då får
en volymströmtäthet J.
