Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner

Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
Sammanfattning
Anders Källén
MatematikCentrum
LTH
[email protected]
I den här artikeln ska vi ta en titt på en tillämpning av Jacobis elliptiska funktioner som ger en viss geometrisk insikt i dem.
Om vi startar i nordpolen och rör oss med konstant fart så att
vi hela tiden skär meridianterna med konstant hastighet så kommer vi att röra oss längs en spiralformad väg på jordklotet som
lämpligen parametriseras med hjälp av dessa elliptiska funktioner. Genom att analysera dessa spiraler får vi insikt i de elliptiska
funktionernas egenskaper.
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
1
1 (6)
Introduktion
Vi vill starta en flygresa i nordpolen som sker med konstant fart v (d.v.s. ds = vdt) så att
vi skär alla meridianer precis en gång per varv runt jordaxeln och som är sådan att vi hela
tiden ser samma stjärnor (eller solen) i det plan som bestäms av jordens rotationsaxel
och vår punkt. Med tanke på jordens konstanta rotation (vi ignorerar rotationen runt
solen) betyder det att vi antar att φ = at där φ anger longitud och a är vår konstanta
vinkelhastighet. Det betyder att φ är proportionell mot spiralens båglängd s:
φ = ks,
k = a/v.
Den väg på jordytan vi då kommer att röra oss längs kallas Seifferts sfäriska spiral och
beror alltså på en parameter, k. Om vi använder cylindriska koordinater så kommer den
att beskrivas av Jacobis elliptiska ekvationer, och syftet med denna artikel är att relatera
dessa spiralers beroende av k med egenskaper hos dessa elliptiska ekvationer.
Anmärkning När vi passerar en pol måste vi ha en konvention om hur kurvan ska
uppföra sig. Vi bestämmer att när φ ska vara oförändrad då.
2
Parametrisering av Seifferts spiral
Låt, som i figuren till höger, (r, φ, z) vara cylindriska
koordinater i rummet med bågelement
ds2 = dr2 + r2 dφ2 + dz 2 .
Enhetssfären kan då skrivas r2 +z 2 = 1, vilket betyder
att rdr + zdz = 0 och alltså
ds2 = dr2 + r2 dφ2 +
r2
1
dr2 = r2 dφ2 +
dr2 .
2
1−r
1 − r2
På Seiffertspiralen gäller dessutom att dφ = kds, så
dess båglängd ges alltså av
dr
ds = p
.
(1 − r2 )(1 − k 2 r2 )
Detta i sin tur innebär att
r = sn(s, k).
Om vi istället uttrycker ds i z, får vi att z = cn(s, k), så Seiffertspiralen har parametriseringen
c(s) = (sn(s, k), ks, cn(s, k)).
Notera att c(0) = (0, 0, 1) är precis nordpolen.
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
2 (6)
I en godtycklig punkt P skär denna kurva en meridian
under en vinkel α (se figur) vilken är sådan att
√
dz 2 + dr2 p
= 1 − k 2 sn2 (s, k) = dn(s, k).
cos α =
ds
Slutligen, om vi uttrycker ds2 i θ, dθ, användande att
r = sin θ, z = cos θ och dφ2 = k 2 ds2 så får vi att
Z θ
dt
p
s=
.
0
1 − k 2 sin2 t
Lösningen θ(s) = am(s, k) av detta kallas amplituden,
så vi ser att Jakobis amplitudfunktion am(s, k) inte är
något annat än vinkeln θ i figuren ovan. Formlerna
sn(s, k) = sin am(s, k),
cn(s, k) = cos am(s, k),
k 2 sn2 (s, k)+dn2 (s, k) = 1
är nu uppenbara.
3
Egenskaper hos Seifferts sfäriska spiral
Vi ska nu titta närmare på spiralerna som sådana. Fallet k = 0 är enkelt. Då är φ =
0 hela tiden, och spiralen är precis Greenwich-meridianen. Denna har parametrisering
(sin s, 0, cos s), så vi ser att
sn(s, 0) = sin s,
cn(s, 0) = cos s,
dn(s, 0) = 1.
Låt nu k vara litet, d.v.s. hastigheten v är stor. Då kommer spiralen att skära meridianerna
med en liten vinkel α, vilket betyder att dn(s, k) är nära 1 för alla s. Figuren nedan visar
att spiralen är antisymmetrisk m.a.p. en reflektion i ekvatorialplanet och periodisk.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
−0.4
−0.6
−0.8
Delarna som går mellan polerna erhålls genom att vi roterar klotet lite, och det är naturligt
att införa ett periodbegrepp för spiralen: längden av ett segmentet som startar och slutar
i samma pol kallas spiralens period. Den blå kurvan i figuren ovan är den första perioden
av spiralen. Längden K(k) av bågen mellan polen och ekvatorn kallas den fullständiga
elliptiska integralen och fås ur integralen
Z 1
dr
p
K(k) =
.
2
(1 − r )(1 − k 2 r2 )
0
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
3 (6)
Den totala periodlängden är då 4K(k), vilket blir perioden för r = sn(s, k) och z =
cn(s, k). Dessa återvänder nämligen till sina startvärden första gången med samma derivata efter en hel period på spiralen. Däremot är perioden för dn(s, k) lika med 2K(k),
vilket följer av att cos α är lika med ett varje gång en pol korsas.
Med undantag för vissa specialfall som vi återkommer till gäller att varje punkt på
sfären genomlöps två gånger av spiralen, med undantag för polerna, vilka den går igenom
oändligt många gånger. Den är av oändlig båglängd, om den inte är en sluten kurva.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
−0.4
−0.6
−0.8
/ 1 kommer vinkeln som spiralen skär meridianerna under att närma sig
När vi låter k
en rät sådan. Detta därför att r = 1 på ekvatorn och cos α = 0. Det betyder att spiralen
aldrig skär ekvatorn, utan snurrar runt i den övre hemisfären och närmar sig ekvatorn
asymptotisk, det senare eftersom den har oändlig längd. Då k = 1 blir φ = s och vi får
att
dφ
= r = sin θ, ⇒ α = θ.
sin α = r
ds
I ord, när k = 1 gäller att vinkeln som spiralen gör med meridianerna är lika med latituden.
Dessutom ser vi att
sn(s, t) = sinh(s),
cn(s, 1) = dn(s, 1) = 1/ cosh(s).
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Att k är stor innebär att vi flyger långsamt, vilket betyder att banan måste gå runt nära
nordpolen. Faktum är att om k > 1 så stannar hela banan i den övre hemisfären, vilket
man inser genom att betrakta den punkt P där kurvan antar sitt längsta z-värde. I den
punkten är spiralen
ptangentiell till motsvarande latitudcirkel, vilket betyder att cos α = 0.
Eftersom cos α = 1 − k sn2 (s, k) följer att värdet på r i punkten P är sådan att
r = max sn(s, k) =
s
1
,
k
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
4 (6)
vilket är det längsta spiralen ligger från rotationsaxeln. Motsvarande latitud ges av
p
z = min cn(s, k) = 1 − 1/k 2 .
s
Detta svarar mot latituden θ = arcsin(1/k).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−0.4
−0.6
−0.8
4
Reciprocitetsrelationer för Jacobis elliptiska funktioner
Per definition är sn(s, k) inversen till funktionen
Z x
dt
p
I(x, k) =
,
2
(1 − t )(1 − k 2 t2 )
0
för vilken vi får
Z
I(x/k, k) =
x/k
0
vilket betyder att
dt
Z
p
=
(1 − t2 )(1 − k 2 t2 )
0
x
ds
p
= k −1 I(x, 1/k),
−2
2
2
k (1 − k s )(1 − s )
sn(ks, 1/k) = k sn(s, k).
Ur det får vi sedan att
cn(ks, 1/k) = dn(s, k),
dn(ks, 1/k) = cn(s, k).
Dessa formler kan vi också motivera geometriskt. Antag att k < 1 och lägg enhetssfären i en sfär med
samma medelpunkt men radien R = 1/k. Vi projicerar nu Seiffertspiralen på enhetssfären på den yttre sfären, parallellt med rotationsaxeln. Låt φ, r, θ, z
tillhöra enhetssfären och motsvarande primmade variabler på den större sfären. Då gäller att
φ0 = φ,
r0 = r = sin θ = R sin θ0 ,
och vi får att
p
kds = dθ / 1 − k −2 sin2 θ0 .
0
Det betyder att
sin θ0 = sn(ks, 1/k).
Å andra sidan har vi att sin θ = sn(s, k], vilket leder till reciprocitetslagen för sn.
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
5
5 (6)
Slutna spiraler
En fråga återstår: är några, och i så fall vilka, av Seiffertspiralerna slutna kurvor? Antag
att k < 1, så att kurvorna går mellan polerna, och antag att kurvan startar i riktning
av Greenwich-meridianen φ = 0. Villkoret att kurvan är sluten innebär då att vi ska
återvända till nordpolen längs meridianen
φn = 2πn
för något positivt heltal n. Vi antar att det är första gången vi återkommer till nordpolen
längs någon meridian svarande mot en sådan vinkel. I nordpolen är r = 0 och det vi
kräver är att
sn(sn , k) = 0,
där sn är båglängden av denna kurva. Men eftersom sn = φn /k betyder detta att
sin(ksn ) = 0, d.v.s. sn = 2πn/k. Detta i sin tur leder till att sn(2πn/k, k) = 0, vilket i sin
tur betyder att
2πn
= K(k)
k
för något heltal p. Med andra ord, funktionen
f (k) =
2
kK(k)
π
ska anta ett rationellt värde. Eftersom denna varierar mellan 0 och ∞ då 0 < k < 1 finns
det gott om sådana värden.
Vi kan också noter att det rationella talet, som med beteckningarna ovan är p/n (maximalt
förkortat) kan tolkas som följer. p är antalet perioder som sn(s, k) genomlöper innan
kurvan sluter sig, medan n ger antalet varv kurvan går runt rotationsaxeln. Några exempel
visas i figuren nedan.
n = 1, p = 4
n=p=1
n = 4, p = 1
När k > 1 är situationen lite annorlunda, eftersom kurvan då håller sig i den övre hemisfären. Nu blir villkoret att
πp
dn(
, k) = 0
2kn
där p, n är positiva heltal.
Spiralkurvor på klot och Jacobis elliptiska funktioner
6 (6)
Referenser
[1] Paul Erdös ’Spiraling the Earth with C.G.J. Jacobi’ Am. J. Phys., Vol. 68, No. 10
(Oct., 2000), pp. 888–895