Examensarbete i Matematik, Naturvetenskapliga fakulteten, Lunds Universitet Henrik Andersson Elliptiska kurvor inom kryptologi Sammanfattning Elliptiska kurvor är ett område inom matematiken och talteorin som på senare år hamnat allt mer i rampljuset. En av anledningarna till detta är att matematiker i mitten på 1980-talet upptäckte att elliptiska kurvor kan användas inom krypteringstillämpningar vid datorkommunikation. Grunden till detta är att en elliptisk kurva denierad över en ändlig kropp, t.ex. Zp där p är ett primtal, utgör en kommutativ grupp. Många av de algoritmer som tidigare utvecklats för kryptering kan enkelt anpassas till de elliptiska kurvornas aritmetik med ökad säkerhet som följd, detta behandlas i kapitel 3. i detta kapitel tas även upp det så kallade elliptiska logaritmproblemet, den elliptiska motsvarigheten till det diskreta logaritmproblemet, som är skälet till att man kan använda elliptiska kurvor för kryptering med öppna nycklar. I kölvattnet till de första tillämpningarna inom kryptering följde snabbt andra tillämpningar inom närliggande områden såsom testning av troliga primtal och faktorisering av stora heltal, om dessa ämnen handlar kapitel 4 och 5. Kapitel 1 ägnas åt en kort inledning om talteori med tillämpningar medan kapitel 2 behandlar de denitioner och satser som rör egenskaperna hos elliptiska kurvor. Handledare: Tomas Claesson Examensarbete i matematik, 20 poäng, VT 2006 Naturvetenskapliga fakulteten, Matematikcentrum, Matematik NF Lunds universitet Examensarbete i Matematik, Naturvetenskapliga fakulteten, Lunds Universitet Henrik Andersson Elliptic curves in cryptology Abstract Elliptic curves is an area of mathematics and number theory which has recieved an increasing amount of attention in later years. One of the reasons to this is that mathematicians in the middle of the 1980's discovered that elliptic curves can be used in cryptography applications in computer communications. The basis for this is that an elliptic curve dened over a nite eld, e.g., Zp where p is prime, gives an abelian group. A lot of the algorithms earlier developed for cryptography can easily be modied for the arithmetic of elliptic curves giving increased security, this is the contents of chapter 3. This chapter also deals with the elliptic logarithm problem, the elliptic equivalence to the discrete logrithm problem, which is the reason elliptic curves can be used in public key cryptography. Accompanying these rst applications in cryptography came applications in the closely allied areas of primality proving and factoring of large integers, areas studied in chapters 4 and 5. Chapter 1 contains a short introduction to the applications of number theory while chapter 2 deals with the denitions and theorems which discribes the properties of elliptic curves. Handledare: Tomas Claesson Examensarbete i matematik, 20 poäng, VT 2006 Naturvetenskapliga fakulteten, Matematikcentrum, Matematik NF Lunds universitet