LMA515 Matematik, del B
Vecko-PM läsvecka 3
Detta och övriga vecko-PM finns att hämta på
www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/lma515b/1011/
Innehåll. De trigonometriska funktionerna och deras derivator, arcusfunktionerna och deras derivator, exponential- och logaritmfunktioner.
Avsnitt i kursboken. 4.1–4.5, 5.1–5.3, 5.5–5.6.
Lärmål.
För att bli godkänd på kursen ska du kunna. . .
• Känna till gränsvärdet limx→0 sin x/x = 1 och kunna använda
detta för att bestämma enkla gränsvärden av liknande slag.
• Redogöra för definitionen av funktionerna arcsin x, arccos x och
arctan x (inklusive deras definitionsmängd och värdemängd) och
skissa deras grafer.
• Förenkla enklare uttryck i arcusfunktionerna genom att rita upp
en lämplig triangel och använda trigonometriska samband.
• Redogöra för definitionen av talet e.
• Redogöra för definitionen av funktionen ln x.
• Känna till storleksordningen av exponential- och logaritmfunktioner (Sats s. 207) och använda detta för att beräkna gränsvärden i enkla fall.
För överbetyg ska du också kunna. . .
• Bevisa att limx→0 sin x/x = 1.
• Härleda derivatan av sin x, cos x och tan x utifrån derivatans
definition.
• Härleda derivatan av arcsin x, arccos x och arctan x.
• Härleda derivatan av ex .
• Härleda derivatan av ln x.
Rekommenderade övningsuppgifter. (I listan står I för Del I i
boken och K för Kompletterande övningsuppgifter.)
G: 401ac, 402aceg, K1, 404, 405, K2, 410abc, K3, 413abc, 414,
501abce, 502, K4, K5, 506, 508, 512, 514, 519, 520b.
ÖB: K8, 406, 408, 412, 515, 521, 522, 523.
Kompletterande övningsuppgifter
Godkäntnivå.
(1) Finn alla lokala maxima och minima för funktionen
π
f (x) = x − 2 sin x, 0 ≤ x ≤ .
2
(2) Kolla att du kan definitionsmängd och värdemängd för funktionerna arcsin, arccos och arctan. Ange sedan definitionsmängd
och värdemängd för följande funktioner:
³x´
1
.
(a) f (x) = arcsin(x − 1),
(b) f (x) = arccos
2
2
Ange definitionsmängden för
(c) f (x) = arcsin x + arcsin(x + 1).
(3) Bestäm ekvationen för tangent- och normallinjen till kurvan
y = arccos x i den punkt där x = 0.
(4) I en bakteriekultur växer antalet bakterier med en hastighet
som är proportionell mot det nuvarande antalet bakterier. Om
det finns 100 bakterier från början, och 200 efter en timme, hur
många bakterier finns det då efter två timmar?
(5) Ett radioaktivt preparat sönderfaller med en hastighet som är
proportionell mot den mängd av preparatet som finns kvar, med
proportionalitetskonstant k.
(a) Uttryck detta som en differentialekvation, där y(t) betecknar mängden radioaktivt preparat i gram vid tidpunkten t
sekunder.
(b) Antag att k = 0.2. Om det finns 3 gram av det radioaktiva
ämnet från början, hur mycket återstår efter 10 sekunder?
(c) Hur lång tid tar det tills hälften av det radioaktiva ämnet
återstår (den s.k. halveringstiden)?
(6) Bestäm alla lokala maxima och minima för funktionen f (x) =
x 2−x . Har funktionen ett största resp. minsta värde?
Överbetygsnivå.
(7) Man kan lika gärna härleda derivatorna av de trigonometriska
funktionerna i omvänd ordning, dvs först bevisa med derivatans
definition att D sin x = cos x, och ur detta härleda att D cos x =
− sin x. Gör detta!
(8) Utgående från kurvan y = sin x, skissa grafen till följande funktioner. I vilka punkter är funktionerna ej deriverbara?
1
(a) f (x) = sin |x|, (b) f (x) = | sin x|, (c) f (x) = sin
x
Svar till kompletterande uppgifter.
√
(1) Lokalt maximum π3 −£ 3 i punkten
x = π3 .
¤
£
¤
(2) a. Df = [0, 2], Vf = − π2 , π2 . b. Df = [−2, 2], Vf = 0, π2 . c.
Df = [−1, 0].
(3) Tangentlinje y = π2 − x, normallinje y = π2 + x.
(4) 400.
(5) a. y 0 (t) = −k · y(t). b. ca 0.4 gram (3e−2 ≈ 0.4). c. ca 3.5
sekunder (5 ln 2 ≈ 3.5).
(6) Lokalt maximum e ln1 2 i punkten x = ln12 . Detta är också största
värde. Minsta värde saknas.
