Problem 1. Utbredning av vattenvågor är komplicerad. Vågorna är inte transversella, utan vattnet rör sig i cirklar eller ellipser. Våghastigheten
beror bland annat på hur djupt vattnet är. I grunt vatten
(vattnets djup h λ,
√
vågens våglängd) är våghastigheten given av vφ = gh, där g är gravitationens
acceleration.
a) Visa att formeln ger rätt enheter för våghastighet. (1p)
Lösning: ([m][s]−2 · [m])1/2 = [m][s]−1
1
b) Figuren visar mätdata från en djuphavsboj, ungefär 700 distansminuter från
Japan. Vad var tsunamins amplitud? (1p)
Lösning: Mest relevant är måttet 5828,64−5827,85 = 0,8 meter; andra godkända
svar är topp-topp amplituden 1,12 meter, eller hälften 56 centimeter.
1
c) Visa med dessa data att tsunamivågen kan betraktas som en våg i grunt vatten.
(1p)
Lösning:
Man ska visa att våglängden
på 5,8 km. I så fall gäller
√
√
√är större än havsdjupet
att våghastigheten är gh = 9,81 × 5822 = 57114 = 240 m/s= 860 km/timme
(ungefär hastigheten på ett trafikflygplan). Denna hastighet stämmer med tidsfördröjningen på 76 minuter, det blir en utbredningshastighet på ungefär 9◦ per timme
(avståndet från pol till ekvator är 10 000 km). Från grafiken ser man att halva
perioden är 17 minuter (eller att den första fjärdedels perioden är 5 minuter), så T
är en halv timme och våglängden är 400 eller 500 km, mycket längre än oceanens
djup.
1
1
Problem 2. Figuren nedan visar en optisk fiber.
a) Hur stor är den kritiska vinkeln θc för total intern reflektion, om fiberns kärna
har brytningsindex n1 = 1,6 och dess mantel n2 = 1,4? (1p)
Lösning:
1,4
sin θc
⇔ θc = arcsin 78 = 61,04◦ ; och utan miniräknare: 7/8 =
sin 90◦ = 1,6
p
p
√
49/64 ≈ 48/64 = 3/2.
1
b) Hur stor är i fallet ovan den maximala infallsvinken θa ? (1p)
Lösning:
Från figuren ser man att n < n1 ; vi antar n = 1. Resultatet ovan ger att θR = 29◦ ,
så θa = arcsin(n1 sin θR ) ≈ arcsin(1,6 × 0,48) ≈ 51◦ .
1
c) Härled en allmän formel för θa som funktion av n1 och n2 . (1p)
Lösning:
q
p
p
n sin θa = n1 sin θR = n1 cos θc = n1 1 − sin2 θc = n1 1 − ( nn21 )2 = n21 − n22 ;
q
q
q
3
◦
=
arcsin
koll: θa = arcsin ( 85 )2 − ( 75 )2 = arcsin 64−49
25
5 = 50,77 .
2
1
Problem 3. Figuren visar två pulser på en sträng vid t = 0; den vänstre rör sig
till höger, den högre rör sig till vänster, båda med en fart på 1 cm/s.
Hela strängen ska vara 8 cm lång. Rita strängens utvikelse vid t = 1 s, t = 1,5 s,
t = 1,75 s, t = 2 s, och t = 2,25 s. (2p)
2
@
@
@
@
Lösning:
@
@
@
@
@
@
@
@
A
A
A
A
A
A
A
A
A
@
@
@
@
@
@
@
@
@ @
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Inga diskontinuiteter - en summa av två kontinuerliga funktioner är en kontinuerlig funktion.
3
Problem 4. Figuren nedan visar en Chladni klangfigur av mannagryn på en
20 × 20 cm stor järnplåt. Grynen har rört sig bort från antinoderna.
Frekvensen är 835 herz.
a) Ange med symbolerna + och − var antinoderna ligger, där tecknet anger relativ
fas (det finns alltså två lösningar som är rätt). (1p)
1
Lösning:
+
+
+
@
@
@
@
@
@
–
@
–
@
@
@
@
+
+
–
@
@
+
@
@
@
@
@
–
@
@
@
@
@
+
@
@
@
@
@
@
@
+
+
b) Bestäm våglängden för böjvågor i plattan vid denna frekvens. (1p)
Lösning:
√
Det finns två våglängden på diagonalerna, så λ = 20 2/2 = 14 cm. (Hastigheten
för dessa vågor år v = f λ = 835 × 0,14 = 117 m/s.)
4
1
Problem 5. En laser (λ = 632 nm) lyser genom en spalt som är 0,1 mm bred mot
en skärm på 1 meter avstånd. Skissa ljusets intensitet på skärmen
som funktion av läge långs en linje vinkelrätt på spalten. (Läs uppgift b innan du
börjar rita.) (1p)
Lösning:
−6
−3
≈ θ;
Funktionens första minimum ligger vid sin θ = λa = 0,632·10
0,1·10−3 = 6,32 · 10
vinkeln är alltså 6,3 milliradian, och på 1 meter avstånd blir det vid 6,3 mm från
centralmaximum.
1
b) Lasern lyser genom två 0,1 mm breda spalter mot samma skärm. Avståndet
mellan dem är 0,5 mm (räknat från spalternas mitt). Skissa ljusets intensitet i
samma figur. (1p)
−6
0,632·10
Lösning: Konstruktiv interferens vid θ ≈ sin θ = mλ
a = m 0,5·10−3 där m är
heltal; medelintesiteten är två gånger så stor som för en spalt.
1
c) Laserljuset är linjärt polariserat. På något sätt vrider man polarisationsriktningen av ljuset som går genom den ena spalten över en vinkel på 90◦ . Beskriv och
förklara om och hur det påverkar mönstret på skärmen. (1p)
Lösning:
När E-fältets vektorer från båda spalten står vinkelrätt mot varandra,
√ kan dessa
inte släcka ut varandra. Överallt på skärmen blir fältets amplitud 2 gånger så
stor, och intensiteten två gånger så stor som för en spalt.
5
1
