Elkraft, Transienta förlopp, lter och resonans
Björne Lindberg
15 mars 2012
1
Innehåll
1 Transienta förlopp
1.1 Upp och urladdning av kondensator . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2 Överföringsfunktioner
2.1 Lågpasslter . . . . .
2.2 Högpasslter . . . .
2.3 Bodediagram . . . .
2.4 Exempel på lter . .
3
4
5
6
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Resonans
9
3.1 Serieresonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Parallellresonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
1
Transienta förlopp
1.1 Upp och urladdning av kondensator
−t
uc = U (1 − e RC )
ic =
U −t
e RC
R
−t
uc = U e RC
ic = −
U −t
e RC
R
τ = RC // Den tid då upp- eller urladdningsförloppet förändrats 63 %
2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2
Överföringsfunktioner
Överföringsfunktionen beskriver förhållandet mellan en utsignal och en insignal.
Förhållandet kan vara konstant eller variera med en eller era olika variabler.
Funktionen används i många olika sammanhang men för oss på ellära 2-kursen
kommer vi att använda den för att beskriva förändringar i spänningar, strömmar och eekter. Överföringsfunktionen kan beskrivas på många olika sätt, med
formler, avtal eller grafer. Vi kommer att använda formler och grafer i elläran
Ut
=?
In
(6)
Överföringsfunktionerna i ellära ger svar på 2 frågor: Hur mycket har något
förändrats och har det hänt något i tid, dvs har signalerna förskjutitits i förhållande till varandra? -Hur stor är fasförskjutningen?
Överföringsfunktionerna uttrycker förändringen i storlek i relativa tal. -Hur mycket eller hur lite har något förändrats?
Grundenheten är alltså gånger. Här är man inte längre intresserade av ev fasförskjutning. Och förändring i storlek får man fram ur överföringsfunktionen
genom att ta absolutbeloppen av in- och utsignalerna och jämföra dem
Ut
= ggr
In (7)
Det är dock på många sätt opraktiskt att uttrycka överföring
Ut
= anges även i dB → Förstärkningen i dB = 20log U t In In (8)
På samma sätt kan fasförskjutningen plockas fram genom att räkna ut
vinkeln mellan utsignal och insignal. I de fallen är man bara intresserade av
vinklarna hos signalerna
arg
Ut
In
=
arg (U t)
som anges i radianer
arg (In)
3
(9)
2.1 Lågpasslter
Uut
Zc
=
=
UIn
Zc + R
1
jωC
1
jωC
+R
=
1
1 + jωRC
Uut 1
UIn = √1 + ωRC 2
(10)
(11)
1
arg(
1
1
−j ωC
Uut
jωC
◦
−1 ωC
) = arg(
)
=
−90
+
tan
(
)
) = arg( 1
1
UIn
R
R + −j ωC
jωC + R
När ω =
(12)
1
1
kommer uttrycket att bli √ och den speciella vinkelfrekvensen kallas brytvinkelfrekvens.
RC
2
(13)
Vid samma brytvinkelfrekvens ωc =
1
−j ωC
1
−90◦
kommer vinkeln för
att
bli
= −45◦
1
RC
−45◦
R + −j ωC
(14)
4
2.2 Högpasslter
Uut
R
=
=
UIn
Zc + R
R
jωRC
=
1 + jωRC
+R
1
jωC
Uut ωRC
UIn = √1 + ωRC 2
arg(
När ω =
1
Uut
R
) = 0◦ + tan−1 ( ωC )
) = arg(
1
UIn
R
R − j ωC
(15)
(16)
(17)
1
1
kommer uttrycket att bli √ och den speciella vinkelfrekvensen kallas brytvinkelfrekvens.
RC
2
(18)
Vid samma brytvinkelfrekvens ωc =
jωRC
90◦
1
kommer vinkeln för
att bli ◦ = 45◦
RC
1 + jωRC
45
(19)
5
2.3 Bodediagram
För att rita en graf som beskriver ett lters karakteristik går man tillväga på
detta sätt:
1. Dela upp överföringsfunktionen i någon eller era av dessa funktioner:
1 + jωRC
(20)
1
1 + jωRC
(21)
1
jωRC
(22)
6
jωRC
(23)
K
(24)
2. Rita ut alla faktorers kurvor med resp brytfrekvenser i ett bodediagram
3. Addera alla kurvor
7
2.4 Exempel på lter
1
R2 + jωC
1
Uut
R2 + Z c
= 1+jωR2 C
(25)
=
=
1
UIn
Zc + R1 + R2
1 + jωC(R1 + R2 )
R1 + R2 + jωC
1 + jωR2 C ⇒ ωc1 =
1
⇒ fc1 = 10000Hz
R2 C
1
1
⇒ ωc2 =
⇒ fc2 = 1000Hz
1 + jωC(R1 + R2 )
C(R1 + R2 )
8
(26)
(27)
3
Resonans
3.1 Serieresonans
Z = R + jXL − jXC = R + jωL − j
Z blir minst då ωL =
1
1
= R + j ωL −
ωC
ωC
1
och detta ω brukar kallas ωo
ωC
ωo = √
1
LC
Vid ωo är I =
9
(28)
(29)
(30)
E
R
(31)
Q är ett kvalitetsmått på en resonanskrets och uttrycker egentligen bara hur
stor någon av reaktanserna (De är ju lika stora så det spelar ingen roll vilken
man tar) är i förhållande till resistansen.
Q=
ω0 L
R
(32)
I topp
2
På varje sida om ω0 nns vinkelfrekvenser där I minskat till √
(33)
Dessas motsvarande frekvenser kallas f1 och f2
(34)
Bandbredden B denieras som f2 − f1
(35)
10
3.2 Parallellresonans
11
