Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Vågrörelselära, akustik och optik.
Lösningsförslag till räkneuppgifter
Jonas Persson
15 juli 2007
1
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Förord
Som författare försöker man att anpassa sig till läsarna och presentera materialet
på ett så lättläst och pedagogiskt sätt som möjligt. Samtidigt så måste man
tänka på att det inte är föreläsningsanteckningar som man skall producera utan
någonting som skall kunna användas oberoende av föreläsningar och speciellt
utan ens egna föreläsningar. Men man måste även tänka på dom som skall
använda boken som studenter. Ett sätt är att efter bästa förmåga presentera
lösningsförslag till räkneuppgifter. Detta är ett försök att presentera lösningar
till några av de uppgifter jag har i boken. Det är ungefär var fjärde uppgift
där lösningarna presenteras. Jag har säkert räknat fel på några uppgifter så jag
hoppas att ni som hittar några fel meddelar mig så kan jag korrigera det så fort
som möjligt.
Jonas Persson
[email protected], [email protected]
v
2
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Del I
Vågrörelselära och akustik
1
3
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 1
Harmonisk
svängningsrörelse
3. En partikels rörelse beskrives av x = 0,08 sin(12t + 0,3) m. Vad är accelerationen då x = -0,05 m ?
x = 0; 08 sin(12t + 0; 3)
2
a = ddt2x = 11; 52 sin (12; 0t + 0; 3)
x = 0:05 = 0; 08 sin(12t + 0; 3) =) sin(12t + 0; 3) = 0; 625
a = 11; 52 sin(12t + 0; 3) = 11; 52
0; 625 = 7; 2[m=s2 ]
5. En partikels läge ges av x = 0,25 sin( 5 t + /4) m. bestäm läge, hastighet och acceleration vid tiden t = 0,2 s.
Derivera för att få fram uttrycket för hastighten och accelerationen och
sätt in värdet på tiden.
x = 0; 25 sin(5 t + =4) = 0; 177 [m]
d
x = 1; 25 cos(5 t + =4) = 2; 78 [m=s]
v = dx
d2
a = dx2 x = 6; 25 2 sin(5 t + =4) = 43; 6 m=s2
9. En plan transversell våg utbreder sig i ett långt snöre. Vågen som är sinusformad har amplituden 1,0 cm och utbredningshastigheten 7,0 m/s.
Svängningen åstadkoms av en vibrator som har frekvensen 5,0 Hz. I ett
visst ögonblick be…nner sig vibratorsvängningen i det övre vändläget. Hur
stort är vågens utslag 0,15 s senare i en punkt som ligger 2,0 m ifrån vibratorn?
Ställ upp vågekvationen: (x; t) = A cos (kx ! t + )
A = 1; 0 [cm] ; v = 7; 0 [m=s] ; f = 5; 0 [Hz]
! = 2 f = 10 [rad=s] ; k = v=! = 7; 0=10 = 7=10 m 1
Vid vändläget är (x; t) som störst, sätt t = 0; x = 0; = 0 och använd
cos.
3
4
4
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren
och Studentlitteratur
2007 SVÄNGNINGSRÖRELSE
KAPITEL
1. HARMONISK
(x; t) = 1; 0 cos 21 x 10 t
Sätt in x = 2; 0 m och t = 0; 15 s
(x; t) = 1; 0 cos 107
2 10
0; 15 =
0:43 [cm]
13. Alla uttryck som satis…erar vågekvationen beskriver möjliga lösningar till
denna. Den verkliga lösningen bestäms av rand- och/eller begynnelsevillkor.
(a) Visa att
= A cos [2 ( t
a)] sin (2 x= )
satis…erar den endimensionella vågekvationen. A, , och a är konstanter.
(b) Vad beskriver
(x; t) för slags vågrörelse?
(c) Vilka är vågens fashastighet och grupphastighet?
2
2
2
(a) Vågekvationen: d dt(x;t)
= !k2 d dx(x;t)
:
2
2
= A cos [2 ( t a)] sin (2 x= )
d
A
cos [2 ( t a)] cos (2 x= )
dx = 2
d
a)] sin (2 x= )
dt = 2 A sin [2 ( t
d2
dx2 =
d2
dt2 =
d2 (x;t)
dt2
4
2 A
cos [2 ( t
4
2
2
=
2
A
1
(
a)] sin (2 x= )
cos [2 ( t
d2 (x;t)
dx2
)2
=
a)] sin (2 x= )
2
1 d (x;t)
v2
dx2
(b) Nodernas läge är fast i rummet men inte i tiden, dvs en stående våg.
(c) Grupphastigheten för en stående våg är noll. Fashastigheten erhålles
från vågekvationen. vf = .
15. En ‡addermus som sänder ut korta skrik med frekvensen 50 kHz ‡yger
med en hastighet på 8,0 m/s i riktning mot en insekt som i sin tur rör
sig mot ‡addermusen med hastigheten 3,0 m/s. Beräkna vilken frekvens
som ‡addermusen uppfattar hos de ljudvågor som re‡ekteras från insekten. Antag att luften är stilla håller normalt lufttryck och 20 C
Dela upp problemet i två delar. vilken frekvens upplever insekten? Denna
frekvens är densamma som insekten sänder utgenom re‡ektion. Med hjälp
av denna kan man då få fram vilken frekvens ‡addermusen hör.
Fladdermusens utsända frekvens: ff
Fladdermusens hastighet vf , Insektens hastighet vi , Ljudhastigheten c.
Insektens mottagna (utsända) frekvens: fi . Fladdermusens mottagna frekvens: ff
m
fm = f c+v
c vs , m och s står för mottagare resp sändare.
Insektens upplevda frekvens: fi = ff cc+vvfi
5
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Fladdermusens mottagna frekvens:
c+v
c+v
340+3 340+8
f = fi c vfi = ff cc+vvfi c vfi = 50 103 340
8 340 3 = 53; 3
6
103 [Hz]
5
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 2
Ljud - Akustik
3. Beräkna hur lång tid det tar för bogvågen på en båt att nå stranden om
denna är belägen på 30 m från båten och våglängden är 1,5 m.
Det rör sig i detta fall om vattenvågor, närmare
bestämt havsvågor, vars
p
utbredningshastighet beskrivs av: v = 1; 25
p
p
t = s=v = s= 1; 25
= 30=1; 25 1; 5 = 19:6 [s] = 20 [s]
5. Man brukar säga att enheten 1 dB motsvarar den minsta skillnad som ett
mänskligt öra kan uppfatta, men den är för ett normalöra snarare 0,6 dB.
Hur stor procentuell ökning i intensitet svarar mot en ökning av ljusintensitetsnivån med 0,6 dB?
Ljudintensiteten LI = 10 log II0 [dB] ; I0 = 10
LI = 10 log II0 [dB] ; I0 =referensnivån
I
I0
= 10
LI
10
12
W=m2
0;6
= 10 10 = 1:15 =) en procentuell förändring på 15%
9. Om en ensam person står på en fotbollsläktare och skriker kommer intensitetsnivån mitt på planen att vara 50 dB. Vad blir intensitetsnivån när
20 000 åskådare skriker från ungefär samma avstånd?
LI = 10 log II0 [dB], en person(I) ger 50 dB,
20000 personer ger 20000I =)
= 10 log 20000 + 10 log
L20000I = 10 log 20000I
I0
43 dB + 50dB = 93dB
I
I0
=
11. En pipa har två närliggande resonanser på 607 Hz och 850 Hz. Vilken typ
av pipa är det och vilken är grundfrekvensen? Ljudhastigheten är okänd!
öppen pipa: fn =
n
2L v,
förhållandet mellan två på varandra följande reso7
7
8
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och StudentlitteraturKAPITEL
2007
2. LJUD
- AKUSTIK
nanser är: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6...
sluten pipa: fn = (2n4L 1) v, förhållandet mellan två på varandra följande
resonanser är: 1/3, 3/5, 5/7, 7/9, 9/11...
5=7
Förhållandet mellan resonanserna 607
850 = 0; 714 12
Sluten pipa, n1 = 3; n2 = 4
5
1
v; f3 = 4L
v
f0 = 4L
f0 = f3 =5 = 607=5 = 121; 4 [Hz]
8
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Del II
Ljus som en
stråle-Geometrisk optik
9
9
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 3
Re‡ektion och brytning
3. Ljus som rör sig i luft faller mot en plan yta, med brytningsindex n=1,52.
För vilken infallsvinkel är det re‡ekterade och det brutna ljuset vinkelräta
mot varandra?
Snells lag: ni sin i = nt sin t ; i + t = 90
t = 90
i
ni sin i = nt sin t = nt sin (90
i ) = nt cos
nt
sin i
nt
=
=
tan
;
=
arctan
i i
ni
cos i
ni = arctan
i
1:52
1:0
= 56:66
7. En glas…ber som leder ljus, totalre‡ekterar ljus internt om ljusets vinkel
mot ytan är minst 39 , då …bern be…nner sig i luft. Vilken är den minsta
vinkeln för totalre‡ektion om …bern be…nner sig i vatten?
Kritisk vinkel: c = arcsin nnti
Bestäm brytningsindex för glas…bern:
ni = nt = sin c = 1; 0= sin 39 = 1; 59:
Kritiskvinkel i vatten:nt = 1:33
nt
= arcsin 1= 1;33
= 56; 8
c = arcsin ni
sin 39
12. En punktformig ljuskälla lyser på 80 cm djup i en vattensamling. Hur stor
diameter har den cirkel på vattenytan genom vilken ljus kan tränga upp?
Vi kommer att för ett visst avstånd från ljuset att få totalre‡ektion, detta
avstånd bestäms av den kritiska vinkeln och hur djupt ljuset be…nner sig.
11
10
12
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och
Studentlitteratur
2007
KAPITEL
3. REFLEKTION
OCH
Från …guren får vi att tan
Kritisk vinkel: c = arcsin
nt = 1; ni = 1; 33;
1
c = arcsin 1;33 = 48:75
r = h tan
c
BRYTNING
r
c = h
nt
ni
= h tan arcsin
nt
ni
d = 2r = 1; 82 [m]
11
= 0; 8 tan arcsin
1
1;33
= 0; 91 [m]
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 4
Speglar och linser
3. En konvex spegel har en kurvatur på 48 cm. Var skall ett objekt placeras
för att bilden skall vara rättvänd och en tredjedel så stor som objektet?
Spegel/lins-formeln: 1s + s10 = f1 , förstoring: m =
f = R=2
m = 1=3; R = 48cm
s0 = m s = s=3
1
1
1
1
1
2
s + s0 = f =) s
s=3 = R =)
3
2
2
1
s
s = s = R =) s = R = 48 [cm]
s0
s
7. En divergerande lins med fokallängden –15 cm be…nner sig 12 cm framför
en konvergerande lins med fokallängden 14 cm. Ett objekt …nns 25 cm
framför den divergerande linsen.
(a) Var …nns den slutliga bilden?
(b) Vilken är förstoringen hos den slutliga bilden. Rita ett diagram.
0
Spegel/lins-formeln: 1s + s10 = f1 , förstoring: m = ss
Linssystem, behandla en lins i taget, bilden för lins 1 är objektet för
lins 2.
(a) f1 = 15cm; f2 = 14cm; L = 12cm; s1 = 25cm
1
1
1
1
1
0
s + s0 = f =) s = 1= f
s
1
f1
s01
1
f2
s01 = 1=
s2 = L
s02 = 1=
(b) mtot = m1
s0
1
s1
= 12
1
s2
= 1=
1
25
=
9; 375 [cm]
( 9; 375) = 21; 375 [cm]
1
1
= 1= 14
21;375 = 40; 576 = 40; 6 [cm]
m2 =
s0
1
15
s01
s1
9;375
25
s02
s2
40;576
21;375
2
mtot = s11
s2 =
Förminskad inverterad bild.
13
=
12
0; 711 86 =
0; 71
14
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur
20074. SPEGLAR
KAPITEL
OCH LINSER
15. En lins med brytningsindex 1.5 har en plan och en konkav sida med krökningsradien 0.2 m. Linsen placeras horisontellt och den konkava sidan fylls
med vatten. Hur lång är fokallängden för vatten-glas-systemet? (tips: behandla systemet som två tunna linser i kontakt med varandra.)
1
Linsmakarformeln: f1 = (n 1) R11
R2
Två linser, en med brytningsindex 1,5, plan sida och en konkav sida med
krökningsradien 0,2 m, en med brytningsindex 1,33, en plan sida och en
konvex sida med krökningsradien 0,2 m.
1
1
2; 5 m 1
1=f1 = (1; 5 1) 1
0;2 =
1=f2 = (1; 33
1
1
1
0;2
1)
1
= 1; 65 m
f = 1= (1=f1 + 1=f2 ) = 1= (1:5
1; 20 [m]
1
1
1)
1
0:2
+ (1:333
1)
1
0:2
1
1
=
18. Ett objekt avbildas med ett system av två konvexa linser. Den första
linsen är placerad 40 cm från objektet och har en fokallängd på 30 cm.
Den andra linsen har en fokallängd på 20 cm. Avståndet mellan linserna
varieras mellan tre olika lägen:
(a) 1.5 m
(b) 1.3 m
(c) 1.1 m
För vart och ett av dessa lägen, ange var den slutliga bilden hamnar, och
vad den totala förstoringen blir. Är bilderna rättvända eller inverterade?
Är de reella eller virtuella?
0
0
Spegel/lins-formeln: 1s + s10 = f1 , förstoring: m = ss = hh
Linssystem, behandla en lins i taget, bilden för lins 1 är objektet för lins
2.
(a) f1 = 30cm; f2 = 20cm; L = 150cm; s1 = 40cm
1
1
1
1
1
0
s + s0 = f =) s = 1= f
s
1
f1
s01
1
f2
s01 = 1=
s2 = L
s02 = 1=
mtot = m1
mtot =
s01
s1
1
s1
= 150
1
s2
=
1
40
= 120 [cm]
120 = 30 [cm]
1
1
= 1= 20
30 = 60 [cm] efter sista linsen
m2 =
s02
s2
1
30
= 1=
s01
s1
120
40
s02
s2
60
30
=
h0
h
= 6:0 Reell rättvänd bild.
(b) f1 = 30cm; f2 = 20cm; L = 130cm; s1 = 40cm
1
1
1
1
1
0
s + s0 = f =) s = 1= f
s
s01 = 1=
1
f1
s01
1
f2
1
s1
= 1=
1
30
1
40
= 120 [cm]
s2 = L
= 130 120 = 10 [cm]
1
1
1
0
s2 = 1=
s2 = 1= 20
10 =
20 cm före sista linsen
13
20 [cm]
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
mtot = m1
mtot =
m2 =
s01
s02
s1
s2
=
s02
s2
s01
s1
120
40
20
10
=
=
h0
h
6:0 virtuell inverterad bild.
(c) f1 = 30cm; f2 = 20cm; L = 130cm; s1 = 40cm
1
1
1
1
1
0
s + s0 = f =) s = 1= f
s
1
f1
s01
1
f2
s01 = 1=
s2 = L
s02 = 1=
mtot = m1
mtot =
s01
s1
1
s1
= 110
1
s2
= 1=
=
1
40
= 120 [cm]
120 = 10 [cm]
1
1
= 1= 20
10 = 6:667 [cm] efter sista linsen
m2 =
s02
s2
1
30
120
40
s01
s1
s02
s2
10
6:667
=
=
h0
h
4; 5 reell inverterad bild.
14
15
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 5
Optiska instrument
1. Ett mikroskop har ett objektiv med en fokallängd på 4 mm och ett okular
med en fokallängd på 30 mm. De två linserna är 0,16 m från varandra,
och den slutgiltiga bilden är 0,25 m från okularet. a) Var …nns bilden
som skapas av objektivet? b) Var är provet relativt objektivet? c) Vilken
förstoring har mikroskopet?
0
0
Spegel/lins-formeln: 1s + s10 = f1 , förstoring: m = ss = hh
Linssystem, behandla en lins i taget, bilden för lins 1 är objektet för lins
2
f1 = 0; 4cm; f2 = 3cm; L = 16cm; s02 = 25cm
(a) s2 = 1=
s01
=L
(b) s1 = 1=
1
f2
1
s02
= 1=
s2 = 16
1
f1
(c) mtot = m1
1
s01
1
25
1
3
= 2; 68 [cm]
2:68 = 13:3 [cm]
= 1=
m2 =
1
0:4
1
13:3
s01
s02
s1
s2
17
=
= 0:412 [cm]
13:3
0:412
15
25
2:68
=
301
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 6
Optiska fenomen i naturen
1. Visa att ett halo uppträder vid 22 vinkel från ljuskällan.
Iskristallerna som ger upphov till halo är hexagonala kristaller, dessa ser
ut som två avkapade 60 prisma. Avlänkningen av ljuset i prisman har ett
minimivärde där en förstärkning ses.
Matematiskt behandlar problemet med minimi-deviation i prisma: n =
sin
(
min +A)
2
sin[ A
2 ]
n =h 1:3091; Ai = 60
sin ( min2+A) = n sin
2
arcsin 1:3091 sin
A
=)
h2 i
60
2
min
=2
arcsin n sin
60 = 21:77
19
16
A
2
A=
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Del III
Ljus som en våg-Fysikalisk
optik
21
17
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 7
Fysikalisk optik
3. En ljusstråle som från början är helt opolariserad passerar genom ett polaroid…lter. Om ljuset som passerat …ltret har en irradians på 10 W/m2 ,
hur stor är irradiansen hos ljuset före …ltret?
Ljuset passerar en polarisator som tar bort en polarisationsriktning. I =
Io = 2I = 2 10 = 20 W=m2
Io
2
8. Tre ideala polaroid…lter har buntats samman. Det första och den tredje
är korsade, men …ltret i mitten har sin polarisationsriktning i 45 vinkel
mot de andras riktningar. Hur stor andel av en inkommande opolariserad
ljusstråle transmitteras?
Irradiansen genom tre polarisatorer: I =
12 = 45 ; 23 = 45
I = I2o cos2 (45 ) cos2 (45 ) = 18 Io
Io
2
cos2
12
cos2
23
13. Opolariserat ljus re‡ekterats på en vattenyta.
(a) Vid vilken infallsvinkel blir ljus re‡ekterat från en vattenyta fullständigt polariserat?
(b) Beror denna vinkel på ljusets våglängd? I sådana fall, varför, eller
varför inte?
Brewstervinkeln:tan
B
=
n0
n ;n
inkommande brytningsindex.
(a) Från luft till vatten, n = 1:0; n0 = 1:33:
n0
1:33
B = arctan n = arctan 1:0 = 56:03
(b) Ja, vattens brytningsindex varierar med våglängden.
15. Vid Brewstervinkeln är det re‡ekterade ljuset som bekant helt polariserat. Detta gäller t.ex. vid solljus som re‡ekteras på sjö och havsytor mot
seglare. Därför brukar seglare förse sig med polariserande solglasögon.
23
18
24
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur
2007
KAPITEL
7. FYSIKALISK
OPTIK
(a) Beräkna Brewstervinkeln vid ljusinfall från luft mot en vattenyta (n
= 1,33).
(b) Vilken polarisationsriktning skall glasögonen utsläcka för att göra
mest nytta (dvs minimera re‡exerna från vattenytan)? Den som kommer vågrätt eller lodrätt?
Brewstervinkeln:tan
B
=
n0
n ;n
inkommande brytningsindex.
(a) Från luft till vatten, n = 1:0; n0 = 1:33:
1:33
n0
B = arctan n = arctan 1:0 = 56:03
(b) den vågräta, p-komponenten"
19
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 8
Interferens och di¤raktion
3. En dubbelspalt belyses med gult ljus (589 nm) från en natrium lampa. Den
8:de mörka fransen be…nner sig 6,5 mm från central maxima. Skärmen är
placerad 1,2 m från spalterna. Hur stor är spaltavståndet?
Dubbelspalt: m = d sin ; ym = m ds (maxima)
= 589nm; s = 1:2m; y = 6:5mm 8:de minima=) n = 7:5
10 9 1:2
d = m yms = 7:5 589
= 8:16 10 4 [m] = 0:82 [mm] :
6:5 10 3
4. Vitt ljus faller längs normalen mot en tunn …lm (n=1,4) med en tjocklek
på 90 nm, belagd på glas (n=1,5). Hur stor är fasskillnaden mellan ljus
som re‡ekterats från toppen på …lmen och botten på …lmen, för följande
våglängder
(a) 400 nm,
(b) 550 nm,
(c) 700 nm.
Fasskillnad: ' = 2 s = 2 n s
Re‡ektion mot tätare medium ger ett fasskift på .
I detta fallet har vi fasskift vid båda ytorna. s = 2t
Fasskiftet blir ' = 2 n s = 2 n 2t
n = 1:4; t = 90nm
(a)
(b)
(c)
= 400nm
n t
=4
' =4
1:4 90 10
400 10 9
9
= 550nm
n t
=4
' =4
1:4 90 10
550 10 9
9
= 700nm
=4 n t =4
1:4 90 10
700 10 9
9
'
= 3:96 [rad]
= 2:88 [rad]
= 2:26 [rad]
12. Två smala spalter separerade med 0,2 mm belyses med rött ljus som har
en våglängd på 700 nm. Vid vilka vinklar bildas de fem maxima närmast
25
20
26
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren
och Studentlitteratur
2007
KAPITEL
8. INTERFERENS
OCH
DIFFRAKTION
centrum?
Dubbelspalt: m = d sin
d = 0:2mm = 2 10 4 m;
= arcsin md
1
2
3
4
5
1 700 10
2 10 4
9
2 700 10
2 10 4
9
= arcsin
3 700 10
2 10 4
9
= arcsin
4 700 10
2 10 4
9
5 700 10
2 10 4
9
= arcsin
= arcsin
= arcsin
= 700nm; m = 1; 2; 3; 4; 5
= 3:5 [mrad] = 1:98
= 7:0 [mrad] = 3:96
= 10:5 [mrad] = 5:94
= 14 [mrad] = 7:92
= 17:5 [mrad] = 9:90
17. Två små likadana högtalare är riktade åt samma håll och står på 1 m avstånd i från varandra. De matas med en sinusformad växelspänning från
samma oscillator. En lyssnare står 4 m rakt framför den ena högtalaren.
När växelspänningens frekvens ökas från ett mycket lågt värde så hör lyssnaren hur ljudintensiteten växelvis minskar och ökar. För vilka frekvenser
hör han att intensiteten har ett minimum?
Bestäm avståndet
från högtalarna.
p till lyssnaren
p
r1 = 4m; r2 = r12 + 12 = 42 + 12 = 4:123 1m
r = jr1 r2 j = 0:1231m
r = (2m + 1) 2 ; m = 0; 1; 2; 3; :::
=2
r= (2m + 1)
340
m = 0; = 2 0:1231= (1) = 0:2462 [m] ; f = v = 0:2462
= 1381 [Hz]
v
340
m = 1; = 2 0:1231= (2 + 1) = 0:08206 [m] ; f = = 0:08206
= 4143 [Hz]
340
m = 2; = 2 0:1231= (2 2 + 1) = 0:04924 [m] ; f = v = 0:04924
=
6905 [Hz]
20. Vitt ljus infaller vinkelrätt mot en såphinna. Det re‡ekterade ljuset har
ett interferensmaximum vid 600 nm och ett minimum vid 450 nm, utan
något annat minimum mellan dessa våglängder. Bestäm hinnans tjocklek.
Såpans brytningsindex är 1,33.
Re‡ektion, luft-såpvatten-luft, fasvändning vid ena ytan.
2T = m n , destruktiv interferens
2T = m + 21 n , konstruktiv interferens
2 450
T =m
2n = 2 1:333 = 338 [nm]
1
T = m + 2 2n = 1 + 12 2 600
1:333 = 338 [nm]
24. Mellanrummet mellan två smala spalter är 80 gånger så stort som våglängden av det ljus som passerar spalterna.
(a) Hur stor är vinkelseparationen mellan det centrala maximet och ett
angränsande maximum?
21
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
27
(b) Hur stort blir avståndet mellan dessa maxima, om mönstret avbildas
på en skärm 70 cm från spalterna?
Dubbelspalt: m = d sin ; ym = m
(a) d = 80 ; m = 1
arcsin d = arcsin
(b) ym = m
s
d
=
0:7
80
80
=
1
80
s
d (maxima)
[rad] = 0:0125 [rad] = 7:1
= 0:00875 [m] = 8:75 [mm]
28. En tjock glasplatta (n = 1,50) är täckt av ett tunt skikt av aceton (n
=1,25). Plana ljusvågor faller in vinkelrätt mot skiktet. Man mäter upp
det re‡ekterade ljusets intensitet, och observerar ett minimum för 600 nm
och ett maximum för 700 nm våglängd hos det infallande ljuset. Beräkna
acetonskiktets tjocklek.
Re‡ektion, luft-medium-glas, fasvändning vid båda ytorna.
2T = m + 12 n , destruktiv interferens
2T = m n , konstruktiv interferens
T = m + 12 2n = m + 12 2 600
1:25 = 240m + 120 [nm]
700
T = m 2n = m 2 1:25 = 280m [nm]
Samma tjocklek erhålles för m = 3 =) T = 840nm
29. En bred ljuskälla ( = 680 nm) belyser två glasskivor som ligger ovanpå
varandra. Glasskivorna är i kontakt med varandra längs ena sidan medan
de är separerade längs andra sidan av en tråd med 0,048 mm diameter.
Det bildas sålunda en kil av luft mellan skivorna. Skivornas längd är 120
mm. Ljuset infaller vinkerätt mot skivorna. Hur många ljusa interferensfransar syns utmed skivornas längd?
Den största optiska vägskillnaden erhålles i närheten av tråden. = 2T =
96 m:
Denna vägskillnad motsvarar ett antal ljusvåglängder, m :
Antalet kommer att motsvara antalet maxima eller ljusa fransar.
96 10 6
m = 2T = 680
10 9 = 141:18
22
28
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren
och Studentlitteratur
2007
KAPITEL
8. INTERFERENS
OCH
DIFFRAKTION
Vi ser 141 ljusa interferensfransar.
35. Man önskar studera komponenterna i en dubbelstjärna med det inbördes
avståndet 108 km, belägna 10 ljusår från jorden? Vad krävs för diameter på
objektivlinsen hos ett teleskop för att upplösa dessa komponenter? Antag
= 500 nm.
Rayleighs upplösningsvillkor: c = 1;22
= Ly
a
11
y = 10 m; = 550nm; L = 10 ljusår
1 ljusår = 3 108 3600 365 24 = 9:460 8 1015 m
9
15
a = 1;22y L = 1:22 550 101011 94:608 10 = 0:634 82 = 0:64m
40. Ljus med 633 nm våglängd faller in på en smal spalt. Vinkeln mellan
första minimet på ena sidan om centralmaximet och första minimet på
andra sidan är 1,2 . Hur bred är spalten?
Di¤raktion: a sin = m där m = 1; 2; : : : ;
= 1:2 ; = 633nm; m = (1
1) = 2
= 0:6 ; m = 1
m
633 10 9
a = sin
= 1 sin
= 6:04 10 5 [m] = 60:4 [ m]
0:6
43. Avståndet mellan strålkastarna på en annalkande bil är 1,45 m. Antag att
ögats pupilldiameter är 4,0 mm och ljusets våglängd 550 nm.
(a) Vilken vinkelseparation krävs för att upplösa strålkastarna, om ögats
upplösning begränsas enbart av di¤raktionen?
(b) Vilket avstånd till den mötande bilen svarar detta mot?
=
Rayleighs upplösningsvillkor: c = 1;22
a
y = 1:45m; a = 4:0mm; = 550nm
(a)
c
=
(b) L =
1;22
a
y a
1:22
=
=
c
=
1:22 550 10
4:0 10 3
1:45 4:0 10
1:22 550 10
3
9
9
= 1:68
y
L
10
4
[rad]
= 8644 [m] = 8:64 [km]
47. Ett gitter har 315 linjer/mm. För vilka våglängder i det synliga spektret
kan femte ordningens di¤raktion observeras?
Gitterekvationen: m = d sin
1
d = 315000
[m] ; m = 5; max = 90
d sin
1
= 315000
10 7 [m] = 635 [nm]
max =
m
5 = 6:35
< 635nm kan observeras i femte ordningen.
51. Pollenkorn på en glasplatta belyses med en HeNe laser. Laserstrålens diameter är 2,5 mm. På en skärm 1,2 meter från pollenkornen ser man ett
ringmönster. Första mörka ringen har en diameter på 34 mm. Vad har
23
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
kornen för diameter?
Di¤raktion:a sin = 1:22
1:22 L
r=L = 1:22
a ;a =
r
= 632:8nm; L = 1:2m; r = 17mm
10 9 1:2
= 5:4
a = 1:22r L = 1:22 632:8
17 10 3
10
24
5
[m] = 54 [ m]
29
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Del IV
Ljus som fotoner
31
25
Vågrörelselära, akustik och optik. Lösningsförslag – Studentversion
© Författaren och Studentlitteratur 2007
Kapitel 9
Kvantoptik
1. Ögats känslighet är som störst vid 555 nm, där solens spektrum har sitt
maximum. Vilken är solens yttemperatur?
Wiens förskjutningslag: max T = 2; 88
3
103
T = 2:88max10 = 2:88
= 5190 [K]
0:555
33
103 m K
26
