Uppsala Universitet
Matematiska institutionen
Isac Hedén
Algebra I, 5 hp
Sammanfattning av föreläsning 16.
Divisionsalgoritmen för polynom
Polynom kan divideras med varandra med kvot och rest: Givet två polynom f och g, g 6= 0,
finns det polynom q och r sådana att f = qg + r och deg r < deg g (speciellt innebär det att
r = 0 om g är konstant, eftersom nollpolynomet är det enda polynomet som har negativ grad).
För att hitta kvoten och resten kan man utföra polynomdivision med liggande stolen.
Exempel 0.1. Låt f (x) = 3x3 + 2x2 − 5x + 7 och g(x) = x2 + 3. Då är
f (x) = (3x + 2)g(x) − 14x + 1.
Sats 0.2 (Faktorsatsen). Polynomet (x − α) är en delare i polynomet f (x) om och endast om
α är ett nollställe till f (x).
Bevis. Dividera f (x) med (x − α) med kvot och rest:
f (x) = q(x)(x − α) + r.
Eftersom deg(x − α) = 1, följer det att deg r < 1 så att polynomet r är konstant. Om (x − α)
är en delare i f (x), blir resten r = 0, och då är f (α) = q(α)(α − α) = 0. Om å andra sidan α är
ett nollställe till f (x), följer det att 0 = q(α)(α − α) + r så att r = 0 och (x − α) är en delare i
f (x).
Exempel 0.3. Polynomet x − 2 delar polynomet f (x) = x2 − 5x + 6 eftersom f (2) = 0.
Enligt faktorsatsen är det ekvivalent att hitta förstagradsfaktorer till ett polynom och
nollställen till detsamma.
Sats 0.4. (Algebrans fundamentalsats). Varje (reellt eller komplext) polynom av grad ≥ 1 har
minst ett komplext nollställe.
Bevis. Kommer i kursen komplex analys.
Kombinerat med faktorsatsen, får vi följande sats om faktorisering:
Sats 0.5. Om f (x) är ett polynom av grad n, så finns det en konstant c och komplexa tal αi
sådana att
f (x) = c(x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn ).
Bevis. Enligt fundamentalsatsen har f ett nollställe, säg α1 , så att
f (x) = (x − α1 )g1 (x)
för något g1 (x), med deg g1 (x) = n − 1. Om n − 1 > 0, har även g1 (x) ett nollställe, vilket leder
till
f (x) = (x − α1 )(x − α2 )g2 (x)
för något g2 (x) av grad n − 2. Vi kan upprepa detta så länge kvoten gi (x) har positiv grad, och
när kvoten till slut blir konstant (lika med c) är vi klara.
Talen αi är f :s nollställen – det är fullt möjligt att flera av dem är lika med varandra.
Om samma nollställe förekommer 2 gånger säger man att det är ett dubbelt nollställe, och mer
allmänt säger man att ett nollställe som förekommer m gånger har multiplicitet m.
Faktoriseringen i Sats 0.5 är entydig i den meningen att om f (x) har två olika faktoriseringar:
f (x) = c(x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn )
= d(x − β1 )(x − β2 ) · · · (x − βn )
så är c = d och
(α1 , α2 , . . . , αn ) = (β1 , β2 , . . . , βn )
förutsatt att vi skriver följden av βi i ”rätt” ordning.
Euklides algoritm för polynom
Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma delaren till två polynom,
och precis som för heltal kan Euklides algoritm användas till detta. Enligt faktorsatsen motsvarar
gemensamma delare gemensamma nollställen.
En gemensam delare h till två polynom f och g kallas för en största gemensam delare om
h har maximal grad bland alla polynom som delar både f och g. Om det är fallet skriver vi
SGD(f, g) = h. Den största gemensamma delaren är entydigt bestämd ”upp till associering”.
Med det menas att om h1 och h2 uppfyller villkoret för att vara SGD(f, g), så finns det ett
nollskilt tal λ sådant att h1 = λh2 .
Exempel 0.6. Polynomen x3 − x och x2 − x − 2 har x + 1 som en största gemensam delare.
Vi gick igenom hur man dividerar polynom med varandra med kvot och rest. Euklides
algoritm för två polynom f och g fungerar som Euklides algoritm för två heltal: Först divideras
f med g med kvot och rest. Sedan divideras g med resten, första resten med andra resten osv,
till dess att en division går jämnt upp och resten därmed blir noll. En största gemensam delare
till f och g är den sista nollskilda resten. Eftersom den endast är bestämd upp till associering,
kan vi när som helst byta ut ett polynom i Euklides algoritm mot ett associerat polynom om
det förenklar beräkningarna. Eller, skrivet med formler:
SGD(p(x), r(x)) = SGD(p(x), λr(x))
för alla tal λ 6= 0.
Reella polynom
Den första satsen om reella polynom säger att dess icke-reella nollställen kommer i konjugerade
par:
Sats 0.7. Låt f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn vara ett reellt polynom, så att a0 , a1 , . . . , an ∈ R.
Om z = α + iβ är ett nollställe till f , så är även z̄ = α − iβ ett nollställe.
Bevis. Räknereglerna för konjugering leder till att f (z̄) = f (z) = 0̄ = 0 om f (z) = 0.
Om f (x) är ett reellt polynom med ett icke-reellt nollställe z så är alltså även z̄ ett nollställe.
Dessa två har samma multiplicitet: f (x) är ju delbart med det reella andragradspolynomet
(x − z)(x − z̄):
f (x) = (x2 − x(z + z̄) + z z̄)q(x)
där q(x) är ett reellt polynom av grad två lägre än f . Om z skulle vara ett nollställe till q(x),
kommer dess multiplicitet vara ett lägre än det var i f (x), och även z̄ skulle vara ett nollställe
till q(x). Detta argument kan upprepas ända tills kvoten q(x) inte längre har z som nollställe.
För varje faktor (x − z) vi dividerar bort, kan vi också dividera bort en faktor (x − z̄).
