Linnéuniversitetet
DFM
Hans Frisk
Tentamen i Grundläggande Matematik, 1MA101, 7,5 hp
Fredagen den 20:e Maj, Tid 14.00-19.00.
För att erhålla maximal poäng skall en fullständig lösning presenteras på ett sådant sätt
att beräkningar och resonemang är enkla att följa.
Hjälpmedel : Formelblad
1. a) Visa att z + z = 2Rez
b) Visa att |w · z| = |w| · |z|.
(2p)
(3p)
2. a) Är 4 en delare till n2 + 2 för något heltal n?
(Tips: Studera udda och jämna n separat)
b) 1317 divideras med 5. Vad blir resten?
(2p)
(3p)
3. a) 10 personer träffas på en fest. Alla skakar hand med alla andra precis en gång. Hur
många handskakningar utförs?
(3p)
b) Hur många bokstavskombinationer kan bildas av ordet semester om alla bokstäver
skall användas precis en gång?
(2p)
4. a) Skissera följande tre områden i det komplexa talplanet.
i) 0 < arg z <
ii) 1 < |z| < 2
iii) | z+2i
z−2i | < 1
π
4
(3p)
b) Beräkna −i + eiπ/6 + ei5π/6
(1p)
iφ
2
c) Finn ett uttryck för cosinus av dubbla vinkeln genom att beräkna (e ) på två olika
sätt.
(1p)
5. Lös ekvationen
x4 − 6x3 + 18x2 − 30x + 25 = 0,
då du vet att x = 1 − 2i är en rot.
(5p)
6. Bestäm samtliga lösningar till
z 4 − 2z 2 + 2 = 0.
Svara på potensform.
(5p)
7. a) Bestäm antalet icke-negativa heltalslösningar till ekvationen
x1 + x2 + x3 = 4.
De tre variablerna är alltså heltal ≥ 0 och som exempel är 0+2+2 en av lösningarna. (1p)
b) Tre bollar (numrerade 1, 2 och 3) dras, med ȧterläggning, fyra gånger från en urna.
Ingen hänsyn tas till i vilken ordning bollarna kommer.
På hur många sätt kan detta ske?
c) Bestäm antalet icke-negativa heltalslösningar till ekvationen
(1p)
x1 + x2 + x3 = r.
där nu r kan vara ett godtyckligt naturligt tal. I deluppgiften ovan är r = 4. Ledning:
Ersätt talen med stickor (ettor). T.ex. lösningen 0+2+2 ovan kan då representeras av
sekvensen +|| + ||.
(3p)
8. Betrakta mängden av alla polynom där koefficienterna och de möjliga x-värdena endast
får tillhöra restklasser modulo n. Vi inför beteckningen Zn [x] för denna mängd. Med en
restklass menar vi mängden av heltal som alla har samma samma rest vid division med n.
För t.ex. n = 3 kan resterna kan vara 0,1 eller 2 och vi låter i fortsättningen 0,1,2,....,n − 1
beteckna de n restklasserna modulo n. Låt oss nu se se hur man räknar med dessa polynom.
Här är två exempel på andragradspolynom tillhörande Z3 [x],
f (x) = 2x2 + x,
g(x) = x2 + 2x + 2.
Koefficienterna antar som synes endast värdena 0,1 och 2. Man adderar och multiplicerar
polynomen på vanligt sätt men kom ihåg att man nu räknar modulo 3. Därför får vi
f (x) + g(x) = 2,
f (x) · g(x) = 2x4 + 2x3 + 2x
Genom insättning ser vi att f (x) har två nollställen, 0 och 1, medan däremot g(x) saknar
nollställen. Kom ihåg att i mängden Z3 [x] så kan x endast anta värdena 0,1 eller 2.
a) Hur många andragradspolynom finns det i Z10 [x]?
(1p)
2
b) Låt f (x) = 3x + 2x + 3 och g(x) = 2x + 4 vara två polynom i Z6 [x].
Beräkna f (x)g(x).
(1p)
2
c) Bestäm samtliga nollställen till polynomet x + 1 då det tillhör Z5 [x].
(1p)
d)Dividera polynomet f (x) = x8 + x6 + x3 + x + 1 med polynomet g(x) = x5 + x2 + x + 1
båda tillhörande Z2 [x]. Sök alltså kvot q(x) ∈ Z2 [x] och rest r(x) ∈ Z2 [x] sådana att
f (x) = q(x)g(x) + r(x)
(2p)
Lycka Till!
