LITE OM M¨ANGDTERMINOLOGI OCH OLIKHETER Lite

LITE OM MÄNGDTERMINOLOGI OCH OLIKHETER
Lite mängdterminologi
Mängden naturliga tal: 0, 1, 2, 3, 4 . . . , beteckas N
Heltal: . . . − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . betecknas Z
Rationella tal: p/q där p, q ∈ Z, och q ̸= 0, betecknas Q,
Reella tal: betecknas R.
p ∈ M betyder ”p tillhör mängden M”. p ∈
/ M betyder ”p tillhör inte
mängden M”.
Givet två mängder A och B så är unionen A ∪ B mängden av alla element
som antingen ligger i A eller B. Snittet A ∩ B är mängden av alla element
som ligger i både A och B.
Detta kan skrivas i förkortad form som
A ∪ B = {x : x ∈ A eller x ∈ B}
A ∩ B = {x : x ∈ A och x ∈ B}.
Här betyder uttrycket {x : Villkor} alla reella tal x sådana att villkoret
”Villkor” är uppfyllt. Kolonet kan översättas ”sådana att”. Man kan också
skriva {x ∈ R : "Villkor"} för att understryka att x är reellt.
Exempel: Om A = (1, 3] och B = (2, 10) så är A ∩ B = (2, 3] och A ∪ B =
(1, 10). Kan också skrivas A ∩ B = {x : 2 < x ≤ 3} och A ∪ B = {x : 1 <
x < 10}.
En mängd som innehåller elementen a1 , a2 , . . . , an skrives {a1 , a2 , . . . , an }.
Några tecken
Tecknet ∀ betyder “för alla” och tecknet ∃ betyder “existerar”.
Några enkla regler om olikheter
1. Om a ≤ b och c < 0 så gäller
ac ≥ cb.
Om a ≤ b och c ≥ 0 så gäller
ac ≤ cb.
2. Ur detta kan härledas att om a, b ̸= 0 har samma tecken och a ≤ b så
gäller
1
1
≥ .
a
b
Övning: Bevisa det!
3. Olikheten a2 ≤ b2 är ekvivalent med olikheten |a| ≤ |b| som i sin tur
är ekvivalent med
−|b| ≤ a ≤ |b|.
1