Document

Komplexa tal
• Imaginära talet i:
i2 = −1
• Komplexa tal har en realdel och en imaginärdel:
z = x + iy
z – komplext tal
x – reellt tal, realdel (x = Re z)
y – reellt tal, imaginärdel (y = Im z)
• Mängden av alla komplexa tal betecknas
C, dvs z ∈ C.
• Man kan också notera komplexa tal som
z = (x, y)
Komplexkonjugatet
Givet z = x + i y ∈ C definieras komplexkonjugatet z̄ som
z̄ = x − i y.
Komplexkonjugatet motsvarar spegling i reella axeln.
Några egenskaper
• z + z̄ = 2 Re z
• z − z̄ = i 2 Im z
• z̄¯ = z
• x = x̄ ⇔ x reell
Sats 9.4
Antag att z1 och z2 är komplexa tal. Då
gäller
z1 + z2 = z̄1 + z̄2
z1z2 = z̄1z̄2
Absolutbeloppet av komplexa tal
Då z = x + i y ∈ C, så är absolutbeloppet |z|
längden av vektorn (x, y), dvs
|z| =
q
x2 + y 2
Viktiga samband:
z z̄ = |z|2,
|z̄| = |z|
Division mellan komplexa tal
z1
Kvoten
beräknas enligt
z2
z1
z z̄
z z̄
= 1 2 = 1 22 .
z2
z2z̄2
|z2|
Formellt sett så definieras kvoten av det
z som löser z z2 = z1 vilket uppfylls av
z = z|z1z̄2|2 .
2
Sats 9.5
Låt z1, z2 ∈ C. Då gäller
z1
z2
Sats 9.6
1. z z̄ = |z|2
2. |z1z2| = |z1||z2|
z1 |z |
3. = 1
z2
|z2|
z̄
= 1
z̄2
Sats 9.7: Triangelolikheten
Om z1, z2 ∈ C så gäller
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
och
|z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|