LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
TENTAMENSSKRIVNING
ENDIMENSIONELL ANALYS
DELKURS A1
2012–04–16 8–13
INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.
Lämna tydliga svar om så är möjligt.
1. a) Rita kurvan 4x2 + y 2 = 4. Ange speciellt skärningspunkterna med koordinataxlarna
(0.3)
b) Bestäm de punkter (x, y) i vilka linjen y = x + 2 skär kurvan i a).
(0.3)
c) Bestäm koefficienten framför x15 i uttrycket (2x5 − 1)9 .
(0.4)
2. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen
sin x cos x =
√
3
.
4
b) Om x ∈ [−π/2, π/2] är sådant att tan x = 1/2, vad är sin x och cos x då?
3. a) Bestäm alla x som löser ekvationen 2 ln x + ln(x2 ) + (ln x)2 + 3 = 0.
b) Bestäm det minsta heltal n som är sådant att (0.4)n < 0.002. Använd att
10
log 2 är ungefär lika med 0.3.
(0.5)
(0.5)
(0.5)
(0.5)
4. a) Bestäm maximal definitionsmängd för funktionen f (x) = ln(|x2 − 2| + x). (0.5)
b) Figuren på baksidan visar grafen för en funktion y = f (x). Ange definitions- och
värdemängd för dess invers, och skissera grafen för inversen. Grafen för funktionen
och dess invers ska ritas i samma figur på skrivningspapper (alltså inte detta
papper).
(0.5)
5. a) Formulera och bevisa Pythagoras sats.
(0.5)
b) Betrakta följande tre påståenden:
A: x + 1 är en faktor till polynomet x100 + a2 x17 + a.
B: Funktionen (x100 + a2 x17 + a)/(x + 1) är ett polynom.
√
C: a = 12 (1 + 5).
Vilka implikationer gäller mellan dem?
(0.5)
6. Låt ABC vara en likbent triangel vars toppvinkel A är 36◦ . Låt bisektrisen till vinkeln
B skära sidan CA i punkten D. Bestäm förhållandet mellan sträckorna CD och DA.
(Svaret får inte innehålla några trigonometriska funktioner.)
Lycka till!
1
0.8
0.6
y
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1.2
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
LÖSNINGAR
ENDIMENSIONELL ANALYS
DELKURS A1
2012–04–16
1. a) En ellips med centrum i origo och halvaxlar 1 och 2. Skär axlarna i (±1, 0) och
(0, ±2).
b) Instoppning ger ekvationen 4x2 + (x + 2)2 = 4 ⇔ x(5x + 4) = 0, alltså i (0, 2) och
(−4/5, 6/5).
3 9·8·7
= 672.
c) Enligt binomialsatsen är koefficienten 93 23 (−1)9−3 = 2 3·2
√
2. a) Ekvationen är ekvivalent med att sin(2x) = 3/2, alltså att 2x = π/3 + 2nπ eller
2x = π − π/3 + 2nπ = 2π/3 + 2nπ. Det följer att x = π/6 + nπ eller x = π/3 + nπ,
n heltal.
b) tan x = 1/2 ⇔ cos x = 2 sin x. Stoppa in i trigonometriska ettan: (2 sin x)2 +
sin2 x = 1 ⇔ sin2 x = 1/5. Enligt villkoret
√ på vinkeln ska cos
√ x vara positiv, och
alltså även sin x. Det följer att sin x = 1/ 5 och cos x = 2/ 5.
3. a) 2 ln x + ln x2 + (ln x)2 + 3 = (ln x)2 + 4 ln x + 3 = (ln x + 1)(ln x + 3). Uttrycket är
alltså noll då antingen ln x = −1 ⇔ x = e−1 eller ln x = −3 ⇔ x = e−3 .
b) Ta 10-logaritm på uttrycket (är en växande funktion): n lg 0.4 < lg 0.002. Eftersom
lg 0.4 < 0 är detta ekvivalent med att
n > (lg 0.002)/(lg 0.4) = (lg 2 − 3)/(2 lg 2 − 1) ≈ 2.7/0.4 = 7 − 1/4.
Det minsta heltalet är alltså 7.
4. a) Maximal definitionsmängd är de x för vilka |x2 − 2| + x > 0. Två fall:
1. Om x2 ≥ 2 gäller att x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1) > 0 ⇔ x < −2 eller√x > 1.
Tillsammans med initialvillkoret följer att det gäller om x < −2 eller x > 2
2. Om x2 < 2 gäller att 2−x2 +x > 0 ⇔ x2 −x−2 = (x−2)(x+1)
< 0 ⇔ −1 < x < 2.
√
Tillsammans med initialvillkoret blir detta −1 < x < 2.
Sammantaget ser vi att maximal definitionsmängd är reella axeln med intervallet
[−2, −1] borttaget.
Anm. Det kan vara enklare att rita de två andragradskurvorna y = x2 − 2 + x och
y = 2 − x2 + x och identifierar från det hur grafen för y = |x2 − 2| + x ser ut. Då
ser man lätt hur definitionsmängden ser ut.
b) Definitionsmängden för inversen är värdemängden för funktionen, alltså [0, 1].
Värdemängden för inversen är definitionsmängden för funktionen, alltså [0, 1.2].
För att få grafen för inversen gör som följer. Rita av grafen (med axlar) på ett
papper, och titta sedan på den från baksidan av detta papper. Fyll i figuren och
rotera den 90◦ medurs. Med bytta beteckningar för axlarna får du då en graf
liknande den härunder:
1.2
1
0.8
y 0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
x
0.6
0.8
1
5. a) Se geometriboken. Totalt finns hundratals bevis, av vilka några återfinns på Wikipedia.
b) Påståendena A och B är ekvivalenta; bara olika sätt att uttrycka samma sak.
2
Villkoret
√ på a för att A ska gälla är enligt faktorsatsen att 1 − a + a = 0 ⇔ a =
(1 ± 5)/2. Det följer att C ⇒ A men inte omvänt, och C ⇒ B men inte omvänt.
6. Fixera en skala genom att sätta längden av BC till 1. Eftersom triangeln BCD har
samma vinklar som ABC är de likformiga, och alltså är sträckan BD också 1. Triangeln
DAB blir också likbent med topptriangel D, varför även sträckan AD är 1. Kalla
längden av CD för x.
Av likformighetsskäl gäller då att 1 + x (längden på AC) förhåller sig till 1 (basen
i ABC) som 1 (längden på BC) förhåller sig till x (basen på BCD): (1 + x)/1 = 1/x.
Detta√är ekvivalent med att x2 + x − 1 = 0, och löser vi den ekvationen får vi att
x = ( 5 − 1)/2. Detta är det sökta förhållandet. (Det omvända förhållandet är det
gyllene snittet.)
