LOGIK, M¨ANGDER OCH FUNKTIONER 1. Utsagor, implikation och

LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER
KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILL
MMA121 MATEMATISK GRUNDKURS
VÅRTERMINEN 2014
ERIK DARPÖ
1. Utsagor, implikation och ekvivalens
En utsaga är en påstående, formulerat med matematiska formler eller vanlig text, som kan
vara sant eller falskt, eventuellt beroende på någon okänd variabel. Några exempel är:
a) 2 < 3;
b) 2 > 3;
c) 4x > 3;
d) jorden är rund;
e) det är måndag idag.
Nedanstående exempel är inte utsagor:
f) 2;
g) x;
h) jorden;
i) måndag.
Observera skillnaden mellan de två typerna: Exemplen (a)–(e) är påståenden om någonting,
(f)–(i) är enbart namn på saker eller företeelser. Emedan de förra är antingen sanna eller falska,
har de senare inget eget sanningsvärde.
Det som händer när man löser en ekvation är att man har en utsaga (ofta om ett tal x)
som man steg för steg omformulerar till “enklare” utsagor, så att man till sist kan läsa ut vad
värdet av x måste vara för att utsagan skall vara sann. Till exempel:
x x
+ = 10
2
3
3x 2x
+
= 10
6
6
5x
= 10
6
5x = 60
x = 12
I varje steg ersätter man den ovanstående utsagan med en annan, som är sann om och endast
om den ovanstående är det. Exempelvis är den första och den andra raden sanna för samma
värden på x, ty x/2 = 3x/6 och x/3 = 2x/6, så vänsterleden
x x
+
2
3
och
1
3x 2x
+
6
6
2
ERIK DARPÖ
i de båda utsagorna är lika med varandra. Likaledes gäller att exempelvis utsagorna
5x
= 10
6
och
5x = 60
är sanna precis samtidigt, eftersom den ena ekvationen kan fås från den andra genom att
multiplicera respektive dividera båda led i den andra med talet 6.
Att två utsagor (om exempelvis variabeln x) är sanna precis samtidigt uttrycks i matematiken ofta med en så kallad ekvivalenspil : “⇔”. Lösningen av ekvationen ovan skulle alltså
även kunna skrivas som:
x x
+ = 10
2
3
⇔
3x 2x
+
= 10
6
6
⇔
5x
= 10
6
⇔
5x = 60
⇔
x = 12 .
I exemplet ovan visar kalkylen att likheten x2 + x3 = 10 är uppfylld om och endast om x = 12.
Det är emellertid inte alltid som det typen av omskrivningar är de mest praktiska.
Vissa typer av uträkningar (bland annat lösningar av rotekvationer) kan ge upphov till så
kallade falska rötter. Betrakta nedanstående ekvationslösning:
x2 − 4
=0
x−2
x2 − 4 = 0
(1)
x2 = 4
x = ±2
Eftersom vänsterledet den ursprungliga ekvationen inte är definierat för x = 2, är detta värde
inte en lösning, trots att vår kakyl verkar indikera just det. Förklaringen ligger i det första
2 −4
steget i uträkningen, där ekvationen xx−2
= 0 ersätts med x2 − 4 = 0 . För att den första
likheten skall kunna vara sann, måste den senare hålla (ty en kvot a/b är lika med noll endast
om täljaren a är lika med noll). Dock kan x2 − 4 = 0 vara sant utan att den första ekvationen
är det; nämligen om x = 2: Det är klart att 22 − 4 = 0, medan uttrycket (x2 − 4)/(x − 2)
2 −4
är odefinierat (och därmed i synnerhet inte lika med noll) för x = 2. Ekvationerna xx−2
=0
2
−4
= 0 är sann så måste
och x2 − 4 = 0 är alltså inte ekvivalenta, däremot gäller att om xx−2
2
även x − 4 = 0 vara det. Detta förhållande mellan två utsagor kallas inom matematiken för
implikation, och indikeras med symbolen “⇒”. Vårt sista exempel skulle alltså kunna skrivas
som:
x2 − 4
= 0 ⇒ x2 − 4 = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2 .
x−2
Slutsatsen är att om x är en lösning till ekvation (1) så måste x vara lika med 2 eller −2,
däremot är det inte säkert att dessa två värden verkligen är lösningar till ekvationen. För att
avgöra detta måste vi sätta in dem i den ursprungliga ekvationen och testa, varvid vi ser att
endast x = −2 är en lösning.
Sammafattningsvis används alltså symbolerna “⇔” och “⇒” mellan utsagor, till skilland
från exempelvis “=” och “>”, som sätts mellan termer som en del av en utsaga. Låt p och q
vara utsagor (som kan bero på en eller flera variabler). Då skriver man
p⇔q
p⇒q
ifall p och q är sanna precis samtidigt;
ifall p är sann endast om q är sann.
LOGIK, MÄNGDER OCH FUNKTIONER KOMPLETTERANDE STUDIEMATERIAL TILLMMA121 MATEMATISK GRUNDKURSVÅRT
Analogt skriver man ibland
p⇐q
ifall p är sann om q är sann
(det vill säga, q är sann endast om p är sann).
2. Funktioner
Låt A och B vara mängder. En funktion f : A → B från A till B är en regel, som till varje
element a ∈ A ordnar ett element f (a) ∈ B.
Notationen a 7→ b betyder att bilden a av under en given funktion är b. De båda uttrycken
f : A → B, f (a) = b
f : A → B, a →
7 b
betyder alltså samma sak.
• Mängden A kallas f :s definitionsmängd (domain). Ibland skriver man Df för att
beteckna definitionsmängden av f .
• B är målmängden (codomain) till f .
• Värdemängden (image) till f är Vf = {f (a) | a ∈ A} ⊂ B (skrivs ibland också f (A)
eller im(f )).
• Elementet f (a) ∈ B kallas för bilden av a ∈ A under f .
• Mängden f −1 (b) = {a ∈ A | f (a) = b} ⊂ A är urbilden (preimage) av elementet
b ∈ B.
I många sammanhang anges funktioner av reella variabler enbart som formler, utan explicit
angivelse av definition- och målmängd. I dessa fall är det underförstått att definitionsmängden
är den största mängd för vilken funktionsuttrycket är definierat. När man till exempel stöter
på ett uttryck som
x
f (x) =
x+1
skall man tolka det som att definitionsmängden är Df = {x ∈ R | x 6= −1} (eftersom
funktionsuttrycket är inte definierat för x = 1). Värdemängden består av alla tal y som kan
x
för något x ∈ Df . Löser vi ut x ur denna ekvation får vi:
skrivas som y = x+1
y(x + 1) = x
yx + y = x
y = x − yx
y = (1 − y)x
y
=x
1−y
Det sista uttrycket, x = y/(1 − y), är definierat och ingår i Df om och endast om y 6= 1. I så
fall har vi att
y
y
1−y
y
y
y
1−y
1−y
= y
·
= = y,
= y+(1−y) =
f
1−y
1
−
y
1
1
+
1
1−y
1−y
det vill säga, y ingår i värdemängden om y 6= 1. Om istället y = 1 så implicerar likheten
y = x/(x + 1) att x + 1 = x, vilket inte är uppfyllt för något x, och talet 1 ligger därför inte
i värdemängden. Vi har alltså visat att Vf = {y ∈ R | y 6= 1}.
4
ERIK DARPÖ
3. Blandade övningar
(1) Sätt in någon av följande symboler i uttrycket, så att det bildar en sann utsaga:
⇒ ,
(a) 2
⇔ ,
=
− 1,
..........
(b) x > 2
⇐ ,
(c) x2 = y
..........
6
(d)
x > −1,
..........
,
x=
√
y,
,
,>
(x−2)(x+3)
x2 −4
=0
..........
x = −3,
(e) x + 1
..........
x − 1,
(f) z ∈ Q
..........
{z ∈ Q | x 6 2}.
(2) Ange i var och ett av nedanstående fall vilken av de tre symbolerna ⇒, ⇐, ⇔ som
passar in.
(a) x = 5
..........
(x − 5)(x − 6) = 0
(d) |x| < 2
..........
x<2
(b) x < 7
..........
x<6
(e) |x| > 3
..........
x>3
(c) x2 = 16
..........
x=4
(f) (x−3)(x−11) ≤ 0
..........
|x−7| ≤ 4
(3) Lös ekvationen genom att successsivt skriva om den som enklare, ekvivalenta uttryck.
[Mellan alla steg i lösningen skall alltså en ekvivalenspil, “⇔”, kunna skrivas.]
(a)
x2 −4
x+2
=0
(b) −3x − 8 =
√
12x + 29
(4) Bestäm definitions- och värdemängder till följande funktionsuttryck:
x+2
(a) f (x) = x−2
,
√
(b) g(x) = x + 7,
√
(c) h(x) = x1 + x + 2,
(√
x
om x > 0,
(d) u(x) = √
−x + 1 om x < 0.
(5) Funktionerna f och g är relaterade genom sambandet f (x) = g(3x). Antag att definitionsoch värdemängderna för funktionen f är
Df = {x : 0 ≤ x ≤ 4}
respektive
Vf = {y : 2 ≤ y ≤ 5} .
Ange och förklara definitions- och värdemängderna för g.
Mälardalens Högskola, UKK, Box 883, 721 23 Västerås
Följande är saxat ur ett kompendium om logik och mängdlära av Clas Nordin.
Hela kompendiet finns på kurshemsidan som extraläsning för den som är
intresserad.
Några begrepp ur mängdläran
Mängdlära är en avancerad matematisk disciplin, införd av den tyske matematikern
Cantor i slutet av 1800-talet. I denna teori används definitioner och beteckningar som
är användbara även i mindre avancerade sammanhang. Några av dessa skall
beskrivas i detta avsnitt.
I matematiken arbetar man med objekt av olika slag, t ex punkter, tal, räta linjer och
polynom. Man har ofta anledning att intressera sig för en samling av objekt och
betrakta denna samling som en enhet. En sådan samling av objekt kallas en mängd
och objekten som samlingen består av kallas mängdens element.
Om man vill fortsätta ett resonemang kring en viss mängd är det bekvämt att ge den
en beteckning.
Exempel 1
M={efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås 1998-01-01 som fyller år i
januari}
Detta läses ”mängden av efternamn på de personer mantalsskrivna i Västerås 199801-01 som fyller år i januari”. Klamrarna { } kallas i detta sammanhang
mängdklamrar. Elementen i mängden är efternamn. Nordin är ett element i
mängden eftersom det 1998-01-01 fanns en person mantalsskriven i Västerås med
födelsedag i januari som hette Clas Gustaf Nordin. Förmodligen är Andersson ett
element i M.
Övning 2
a) Motivera förmodan att Andersson är ett element i M.
b) Kan du genom att bara utnyttja kunskap om dig själv avgöra om ditt eget
efternamn är ett element i mängden M? Motivera!
c) Ange ett tal, så litet som möjligt, som är sådant att antalet element i M säkert är
mindre än detta tal. Motivera ditt val.
Det finns ett bestämt ändligt antal element i M. Man säger att M är ändlig. Om en
mängd ej är ändlig kallas den oändlig. Lägg märke till hur vi här definierar begreppet
ändlig mängd och sedan använder detta begrepp för att definiera vad som menas med
en oändlig mängd.
Övning 3
a) Ge ett exempel på en ändlig mängd.
b) Ge ett exempel på en oändlig mängd.
Talmängder
Nedan visas hur man kan beskriva den oändliga mängden N av naturliga tal.
N={naturliga tal} ={0, 1, 2, 3, ...}
Denna rad läses ”N är lika med mängden av naturliga tal är lika med mängden av
talen 0,1,2,3 osv.”
Elementen i N består av alla naturliga tal 0, 1, 2, 3, ... . Efter trean finns ett
kommatecken följt av fyra prickar. De tre första prickarna efter kommatecknet står
för en konvention som innebär att uppräkningen skall fortsätta på det sätt som den
påbörjade uppräkningen antyder. Den sista punkten, som föregås av ett mellanslag,
är den vanliga punkt som man använder då man avslutar en mening.
En viktig symbol är ”tillhörtecknet” och ”tillhörintetecknet” . Man skriver
som läses ”7 tillhör N” med innebörden att 7 är ett element i N. Enklare säger man
förstås att 7 är ett naturligt tal. Det är enkelt att inse hur man läser
och vad
detta innebär.
N är en standardbeteckning i all matematisk litteratur över hela världen på mängden
av naturliga tal, eventuellt med undantag av äldre litteratur där talet 0 kan vara
undantaget från mängden.
Resten av detta avsnitt definierar andra viktiga talmängder och anger deras
standardbeteckningar. Beteckningarna är internationella. Det är en bra idé att lära sig
dem och vad de står för så snart som möjligt.
Z={hela tal} ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...} = {0, ± 1, ± 2, …}
Se ovan hur man läser beteckningen för naturliga tal och fundera ut hur man kan
läsa ovanstående rad.
Q ={rationella tal}={tal som kan skrivas på formen a/b där a∈Z och b∈Z och där b≠0}
Övning 4
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Visa med hjälp av definitionen att 3,14 är ett rationellt tal.
Visa med hjälp av definitionen att 0 ∈ Q .
Visa med hjälp av definitionen att –10 är ett rationellt tal.
Vilka av de hela talen är rationella?
Ge exempel på ett rationellt tal som inte tillhör talmängden Z.
Ge exempel på ett x som är sådant att x ∈ Z men x ∉ N .
Naturliga tal, möjligtvis med undantag av talet 0, är enkla att koppla till
vardagslivet. De används när man räknar antal. De flesta människor känner inte
heller något hinder att använda negativa tal, åtminstone inte i Sverige där
temperaturer under noll grader betecknas med hjälp av ett minustecken. Rationella
tal är inte heller svåra att koppla till vardagslivet. De flesta människor är medvetna
av innebörden då man säger att någon skall ärva 2/7, ”två sjundedelar”, av den
totala kvarlåtenskapen. Möjligtvis kan det ålderdomliga ordet kvarlåtenskap ställa
till problem!
Observera att man med 12 symboler (10 siffror, minustecken och bråkstreck) på ett
lättfattligt sätt kan ange vilket som helst rationellt tal. En fantastisk uppfinning!
Eftersom Q omfattar N och N är oändlig så är även Q oändlig.
Att det finns tal som inte är rationella insåg redan den grupp av grekiska
matematiker som förknippas med Pythagoras och verkade i Grekland mellan 585 f kr
och 400 f kr. Från denna tid finns ett bevis för att längden av diagonalen i en kvadrat
där sidlängden är 1 enhet inte kan uttryckas på formen a/b där a och b är heltal och
b inte lika med noll. Samma bevis används fortfarande när man bevisar att 2 inte är
rationellt.
Tal som inte är rationella kallas irrationella. Ir är en förled som betyder icke. Mängden
av irrationella tal är också oändlig och man kan i en viss, här inte definierad mening,
säga att de irrationella talen är fler än de rationella. Observera att ordet ”fler” här
inte kan ha den vanliga innebörden eftersom de båda talmängderna bägge är
oändliga.
För att namnge irrationella tal räcker det inte med de 12 symbolerna ovan.
Irrationella tal som man ofta refererar får egna beteckningar. π och e är två viktiga
exempel på sådana tal.
Den talmängd som består av alla rationella och alla irrationella tal tillsammans kallas
mängden av reella tal och betecknas R. Det är denna talmängd som du är van att
illustrera på tallinjen.
Talmängden R kan utvidgas till en ”större” talmängd, C={komplexa tal, mängden av
alla komplexa tal. Att talmängden är större innebär att den förutom alla reella tal
också innehåller andra slags tal. Dessa andra tal kallas icke-reella. Ett av talen i denna
talmängd betecknas i och uppfyller i 2 = −1 . C illustreras i det komplexa talplanet.
Sammanfattning av viktiga talmängder
N = {naturliga tal} = {0, 1, 2, 3, ...}
Z = {hela tal} = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...} = {0, ± 1, ± 2, …}
Q = {rationella tal} =
= {tal som kan skrivas på formen a/b där a∈Z och b∈Z och b≠0}
R = {reella tal}
C ={ komplexa tal}
Övning 5
a) Ange minst tre reella tal som inte är rationella.
b) Ange minst ett rationellt tal som inte är ett heltal.
c) Ange minst ett heltal som inte är ett naturligt tal.
Övning 6
Med ett decimaltal avses reellt tal på formen a1a2 ...an ,b1b2 ...bm (m stycken decimaler)
där alla talen a1 , a2 ,...,an ,b1 ,b2 ,...,bm är naturliga tal och a1 ≠ 0 och bm ≠ 0 .
a) Visa med hjälp av definitionen att varje decimaltal är ett rationellt tal.
b) Ge exempel på ett rationellt tal som inte är ett decimaltal.
Illustration av mängder
När man skall illustrera samband och relationer mellan mängder använder man ofta
plana rundade figurer.
Figuren illustrerar en mängd som betecknats med A. Man tänker sig att elementen i
A ligger innanför den runda kurvan.
Nedanstående figur illustrerar att varje rationellt tal är reellt och att de irrationella
talen består av de reella tal som inte är rationella. De irrationella talen skall tänkas
ligga i den del som är innanför den innersta kurvan och utanför den yttersta kurvan.
Illustration av reella intervall
Nedan finns en vanlig variant av standardbeteckningar för de mängder av reella tal
som kallas intervall. I figurerna bredvid visas en vanlig variant på hur de illustreras.
Eftersom dessa standardbeteckningar kommer att användas flitigt i flera kurser är
det bra att lära sig dem utantill så snart som möjligt.
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}
[a, b) = {x : a ≤ x < b}
(a, b] = {x : a < x ≤ b}
(a, b) = {x : a < x < b}
[a, ∞) = {x : x ≥ a}
(a, ∞) = {x : x > a}
(− ∞, b) = {x : x < b}
(− ∞, b] = {x : x ≤ b}
Anmärkning
I beteckningarna ovan så läser man tecknet : ”sådana att”. En annan vanlig
beteckning för frasen ”sådana att” är (ett lodrät streck). Den första beteckningen
kan fullständigt läsas ”mängden av x sådana att a är mindre än eller lika med x som
är mindre än eller lika med b.
Övning 7
Illustrera intervallen
a) (3,4)
b) [-1,0)
c) (0,3]
d) (- ∞ ,-1)
e) [2,5]
Övning 10
a) Vilka tal ingår i talmängden {x ∈ R : x = 2k där k ∈ Z och k > 0}? Hur utläser man
beteckningen?
b) Beskriv med mängdlärans symboler mängden av alla udda tal.