Matematik 1a
Centralt innehåll
Taluppfattning, aritmetik
• Metoder för beräkningar med reella tal skrivna på olika
former inom vardagslivet och karaktärsämnena, inklusive
överslagsräkning, huvudräkning och uppskattning samt
strategier för att använda digitala verktyg.
• Strategier för att använda hjälpmedel från karaktärsämnena,
till exempel formulär, mallar, tumregler, föreskrifter, manualer
och handböcker.
Babylonska siffror
(3000f.kr-500f.kr)
Egyptiska siffror (hieroglyfer)
(2000f.kr-600f.kr)
Romerska siffror
(200f.kr-1500e.kr)
𝐈=𝟏
𝐕=𝟓
𝐗 = 𝟏𝟎
𝐋 = 𝟓𝟎
𝐂 = 𝟏𝟎𝟎
𝐃 = 𝟓𝟎𝟎
𝐌 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
𝑰 = 𝟏
𝑰𝑰 = 𝟐
𝑰𝑰𝑰 = 𝟑
𝑰𝑽 = 𝟒
𝑽 = 𝟓
𝑽𝑰 = 𝟔
𝑽𝑰𝑰 = 𝟕
𝑽𝑰𝑰𝑰 = 𝟖
𝑰𝑿 = 𝟗
Grekiska siffror
(500f.kr-300e.kr)
Indiska, Arabiska och Europeiska
siffror
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi
(780-ca 850 e Kr)
•En iranske matematiker och astronom
•Känd för att ha fått ge namn åt ”algoritm”
•En algoritm är en systematisk procedur som
beskriver hur man genom ett begränsat antal
steg utför en beräkning eller löser ett
problem
•Införde begreppet ”Algebra”
•Algebra (al-jabr) – "återförening" eller
"koppling"
Leonardo av Pisa ”Fibonacci”
(780-ca 850 e Kr)
• Italiens och världens
största matematiker
• Isitt verk Liber Abaci (”Boken
om
räknekonsten”) introducerar
han år 1202 arabiska siffror
och positionssystemet till
Europa
• Fibonaccitalen: 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21
Vilka olika typer
av tal finns det?
Naturliga tal ⟹ N
•
Till naturliga tal räknas alla positiva heltal, inklusive 0
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Naturliga tal
Vad händer vid en beräkning av typen…
•
Det är 4 grader mitt på dagen. På kvällen sjunker
temperaturen 10 grader. Vad är temperaturen?
- Negativa tal krävs
Hela tal ⟹ Z
• Till hela tal räknas förutom alla naturliga tal även negativa tal
… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…
N
Naturliga tal
Z
Hela tal
Vad händer vid en beräkning av typen…
•
Vi har 3 tårtor som skall delas på 15 personer. Hur mycket
får var och en?
- Bråktal krävs
Rationella tal ⟹ Q
•
Till rationella tal räknas förutom alla hela tal även bråktal,
𝒂
dvs. alla tal som skrivas i följande form , där 𝒂 och 𝒃 är
𝒃
heltal och 𝒃 är skilt från 0.
• Vi har nu alla positiva och negativa tal som kan skriva som hela
eller i bråk/decimalform, alltså de tal som kan markeras ut på en
tallinje.
N
Naturliga
Naturligatal
tal
Hela tal
tal
ZZ Hela
Q Rationella
Rationellatal
tal
Irrationella tal
𝒂
𝒃
• Tal som inte kan skriva som bråktal (där 𝒂 och 𝒃 är heltal),
t.ex. π eller 𝟐 , som är oändliga decimaltal
π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628
034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521
105559 644622 948954 930381 964428 810975 665933 446128 475648 233786 783165 271201 909145 648566 923460
348610 454326 648213 393607 260249 141273 724587 006606 315588 174881 520920 962829 254091 715364 367892
590360 011330 530548 820466 521384 146951 941511 609433 057270 365759 591953 092186 117381 932611 793105
118548 074462 379962 749567 351885 752724 891227 938183 011949 129833 673362 440656 643086 021394 946395
224737 190702 179860 943702 770539 217176 293176 752384 674818 467669 405132 000568 127145 263560 827785
771342 757789 609173 637178 721468 440901 224953 430146 549585 371050 792279 689258 923542 019956 112129
021960 864034 418159 813629 774771 309960 518707 211349 99999...
• Talet pi (𝝅 ) är ett irrationellt tal som betecknas med
bokstaven 𝝅 i det grekiska alfabetet.
• Geometriskt kan π tolkas som förhållandet mellan en cirkels
diameter 𝒅 och omkrets 𝑶 på så sätt att 𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅
• Pi dyker upp nästan överallt i matematiken, exempelvis inom
geometri, trigonometri, räkning med komplexa tal och
sannolikhetsteori.
Reella tal
• De rationella talen (där naturliga tal och hela tal ingår) samt
irrationella talen kallas tillsammans för Reella tal
N
Naturliga tal
Irrationella tal
Z Hela tal
Q Rationella tal
Reella
Positionssystem ↔ Tiotalssystem
0,1
hundradelssiffra
betyder 5 ∙ 0,01 = 0,05
betyder 8 ∙ 0,001 = 0,008
tusendelssiffra
tiotusendelssiffra Betyder 9 ∙ 0,0001 = 0,0009
0,1589
tiondelssiffra
betyder 2 ∙ 0,1 =
643517,2589
entalssiffra betyder 7 ∙ 1 =
tiotalssiffra
betyder 1 ∙ 10 =
hundratalssiffra
tusentalssiffra
tiotusentalssiffra
hundratusentalssiffra
betyder 5 ∙ 100 =
betyder 3 ∙ 1000 =
betyder 4 ∙ 10000 =
betyder 6 ∙ 100000 =
Algoritm
7
10
500
3 000
40 000
600 000
643 517
