UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Inger Sigstam
Dugga i matematik
Algebra 1
2010-04-26
Skrivtid: 8.15-10.00. Inga hjälpmedel tillåtna. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text.
Varje uppgift ger högst 5 poäng.
1. (a) Avgör med sanningsvärdestabell vilka av följande utsagor som är ekvivalenta.
A ∧ ¬B
B −→ A
¬ (A −→ B)
(b) Betrakta mängderna X = {1, 2, 3, 4, } och Y = {3, 4, 5, 6, 7, 8} i universumet
U = {n ∈ Z : 1 ≤ n ≤ 10}. Bestäm följande mängder:
X ∩Yc
X ∩ (X c ∪ Y c )
2. Använd Euklides algoritm för att bestämma SGD(357, 493).
357
Förkorta därefter bråket
så långt som möjligt genom att använda din uppställning av
493
Euklides algoritm.
3. Visa att för varje udda heltal n så gäller att talet n2 + 4n + 7 är delbart med 4 men inte
med 8.
4. Bestäm den minsta ickenegativa rest som kan fås då talet 9218 + 5917 divideras med 15.
LYCKA TILL !
Korta svar:
1. (a) Första och tredje är ekvivalenta. Den mellersta är inte ekvivalent med de övriga.
(b) X ∩ Y c = {1, 2} och X ∩ (X c ∪ Y c ) = {1, 2}.
2. Euklides algoritm ger SGD(357, 493) = 17:
493 = 1 · 357 + 136
357 = 2 · 136 + 85
136 = 1 · 85 + 51
85 = 1 · 51 + 34
51 = 1 · 34 + 17
34 = 2 · 17.
Vi får 51 = 34 + 17 = 3 · 17, 85 = 51 + 34 = 3 · 17 + 2 · 17 = 5 · 17, 136 = 85 + 51 =
(5 + 3) · 17 = 8 · 17. Nu får vi 357 = 2 · 136 + 85 = 2 · 8 · 17 + 5 · 17 = 21 · 17 och slutligen
493 = 357 + 136 = (21 + 8) · 17 = 29 · 17. Förkortningen blir
357
21 · 17
21
=
= .
493
29 · 17
29
3. Låt n ett udda heltal. Då finns ett heltal k så att n = 2k + 1. Vårt tal blir
A = n2 + 4n + 7 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 7 = 4k 2 + 12k + 12 = 4(k 2 + 3k + 3),
som alltså är delbart med 4. Talet k är antingen jämnt eller udda. I båda fallen visas att
k 2 + 3k + 3 blir udda, dvs k 2 + 3k + 3 = 2a + 1 för något heltal a. Vi har nu
A = 4(k 2 + 3k + 3) = 4 (2a + 1) = 8a + 4.
A ger alltså resten 4 vid division med 8, så A är inte delbar med 8.
4. 92 ≡ 2 (mod 15), och 59 ≡ −1 (mod 15). Vi har
9218 + 5917 ≡ 218 + (−1)17 = 24·4+2 − 1 = 24
modulo 15.
SVAR: Minsta ickenegativa resten är 3.
4
· 22 − 1 = 164 · 4 − 1 ≡ 1 · 4 − 1 = 4 − 1 = 3
