c Mikael Forsberg 2008
1
Exempel ::
Längden av en vektor
Vi härleder längden av en vektor m.h.a. två exempel
Exempel 1. Beräkna längden av vektorn i figur 1 i.
z
y
(0,0,c)
(a,b)
b
(a,0,c)
u
a
x
(a,b,c)
v
(a,0,0)
(0,b,0)
y
(a,b,0)
x
i.)
(0,b,c)
ii.)
Figur 1: Ortsvektor i planet (i.) och i det tredimensionella rummet (ii.)
Vi betecknar längden av vektorn u med ||u||. Eftersom u = (a, b) så ger Pythagoras sats att
p
||u||2 = a2 + b2 ⇒ ||u|| = a2 + b2
Exempel 2. Beräkna längden ||v|| av vektorn v i figur 1 ii.
Här använder vi Pythagoras sats på triangeln som ges av de tre punkterna 0 = (0, 0, 0), 0a =
(a, b, 0) och v = (a, b, c). De tre punkterna definierar tre vektorer 0a, c = (a, b, c) − (a, b, 0) =
(0, 0, c) och v. För att kunna använda Pythagoras sats så behöver vi beräkna längden för vektorerna 0a = (a, b, 0) och c = (0, 0, c). Den första av dessa vektorer kan identifieras med den
tvådimensionella
vektorn (a, b) eftersom xy-planet i R3 fås precis om z = 0. Detta
√ betyder att
√
2
2
||0a|| = a + b , vilket vi visade i föregående exempel. Att längden ||c|| = |c| = c2 följer eftersom denna vektor är parallell med sträckan från origo till punkten (0, 0, c) som har längden |c|1
Pythagoras sats ger nu
p
||v||2 = ||0a||2 + ||c||2 = a2 + b2 + c2 ⇒ ||v|| = a2 + b2 + c2
Exempel 3. Beräkna avståndet mellan punkterna p = (1, 3, −2) och q = (−2, 2, 1).
Här utnyttjar vi att punkterna tolkas som ortsvektorer och att avståndet mellan punkterna ges som
längden av en skilnadsvektor2 mellan dessa ortsvektorer. En skilnadsvektor blir
1I
figur 1 har vi ritat som om c > 0 vilket skulle göra att vi kan glömma beloppstecknen. Våra räkningar ska
fungera för alla värden på c vilket då kräver att vi sätter beloppstecken eftersom sträckor alltid tänks som positiva.
Notera också att problemet med detta tecken försvinner i och med att Pythagoras sats innehåller kvadreringar.
2 Det finns alltid två skillnadsvektorern mellan två punkter, en som startar i den första punkten och slutar i den
andra, den andra startar i dan andra punkten och slutar i den första; de är lika långa men pekar åt motsatt håll
c Mikael Forsberg 2008
2
pq = q − p = (−2, 2, 1) − (1, 3, −2) = (−3, −1, 3),
som ger oss längden
||pq|| =
p
(−3)2 + (−1)2 + 32 =
√
19
Exempel 4. Låt p = (1, 3, 1) och q = (5, −1, −1) vara två punkter i det tredimensionella rummet.
Antag att det genom q går en linje L som bildar vinkeln α = π/6 = 30◦ till linjesegmentet som
förbinder p och q. Beräkna avståndet från p till linjen L.
p
L
α
q
Figur 2: Bild till exempel 3.
Beteckna avståndet från p till L med a. Då har vi med hjälp av triangeltrigonometri att
d
→ = sin α,
||−
qp||
→ sin(π/6) = 6 ·
vilket ger oss att d = ||−
qp||
1
2
= 3, som följer eftersom
→ = ||(1, 3, 1) − (5, −1, −1)|| = ||(−4, 4, 2)|| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6
||−
qp||
Räkneregel för vektorlängd::
||t(u)|| = |t| · ||u||
(1)
Normering av en vektor
Vi använder nu denna räkneregel för att visa hur man normerar en vektor, dvs hittar en ny vektor
i samma rikning som den första men som har längden ett. Sådana vektorer med längden ett kallas
för enhetsvektorer.
Exempel 5. Visa att givet en vektor v = (v1 , v2 , v3 ) så är vektorn u =
riktning som v men som har längden 1.
v
||v||
en vektor med samma
Eftersom u är en konstant gånger v så är vektorn u är parallell med v,dvs de båda vektorerna har
samma riktning. Vi visar nu att längden för u är ett:
||u|| = ||
1 v
||v|| = 1 ||v|| = 1,
|| = ||v||
||v|| ||v||
där vi i andra likheten använt oss av räkneregel (1).
