Matematikuppgifter del II, FYTA11
51. Lös uppgift 10.1 i boken.
52. Lös uppgift 10.2 i boken.
53. Lös uppgift 10.3 i boken.
54. Lös uppgift 10.4 i boken.
55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk form:
r(u) =
1 2
u cos u − sin u, u sin u + cos u, u .
2
a) Beräkna avståndet till origo som funktion av u (kan skrivas helt utan kvadratrötter!).
Ange den punkt på kurvan som befinner sig närmast origo.
b) Ange enhetsvektorn t̂ i tangentens riktning (tangentvektorn) som funktion av u, och
visa att den (för u 6= 0) har en konstant lutning av 45◦ i förhållande till z-axeln.
c) För u = 0 blir tangenten odefinierad. Taylorutveckla kurvan kring u = 0 till ordning
u3 . Visa att kurvan har en “spets” i denna punkt, där tangenten byter riktning.
56. Låt φ(r) vara ett skalärt fält, och antag att en partikel rör sig emot gradientens
riktning så att dess position r(t) ändras enligt ṙ = −∇φ(r).
a) Visa att värdet av φ i punkten r(t), sett som funktion av t, aldrig kan öka.
b) Låt speciellt φ = r2 . Visa att det finns precis en punkt rf där φ(r(t)) inte minskar.
c) Lös för detta fall initialvärdesproblemet för godtyckligt val av startpunkt r(0) = a,
dvs. ange r(t) för t > 0 (Ledning: lös ekv. komponentvis). Visa att partikeln alltid hamnar
i punkten rf till slut.
57. Lös uppgift 10.10 i boken.
58. Lös uppgift 10.15 i boken.
59. Betrakta ytorna x2 + y 2 + z 2 = 9 och x2 + y 2 − z = 3.
a) Visa att båda innehåller punkten (2,-1,2).
b) Beräkna vinkeln mellan ytorna i denna punkt.
, ∇×B =
60. Givet att ∇ · E = 0, ∇ · B = 0, ∇ × E = − ∂B
∂t
och magnetiska fälten E och B båda satisfierar
1 ∂E
, visa att de
c2 ∂t
∂2u
vågekvationen ∂t2 = c2 ∇2 u.
elektriska
61. Finn konstanter a, b, c så att vektorfältet
A = (x + 2y + az)êx + (bx − 3y − z)êy + (4x + cy + 2z)êz
blir irrotationellt (dvs. ∇ × A = 0).
62. Det kan vara intressant att studera populära koordinatsystem också i två dimensioner, dvs. i xy-planet. Ett populärt val är som bekant planpolära koordinater
{u1 = r, u2 = φ}, givna av
x = r cos φ, y = r sin φ.
a) Plocka fram de naturliga koordinat-tangentvektorerna ei = ∂r/∂ui , där r = xêx + yêy ,
och visa att de är sinsemellan ortogonala (alltså är koordinaterna ortogonala).
b) Härled motsvarande ortonormerade bas {êi } genom att skriva resp. ei som hi êi . Visa
att skalfaktorerna blir hr = 1, hφ = r. Tolka.
c) Plocka också fram de s.k. reciproka vektorerna, ∇ui , och visa att de blir ei /hi .
d) Härled uttrycket för (det kvadrerade) längdelementet ds2 i planpolära koordinater.
e) Härled motsvarande planpolära uttryck för areaelementet dA = dx dy.
∂2
∂2
+
blir
f) (Överkurs:) Visa till slut att (den tvådim.) Laplace-operatorn
∂x2 ∂y 2
1 ∂
1 ∂2
∂2
+
+
.
∂r2 r ∂r r2 ∂φ2
(Ledning: Visa det “baklänges” genom att uttrycka
∂ ∂
,
i termer av x, y).
∂r ∂φ
63. Lös uppgift 11.3 i boken.
64. Lös uppgift 11.7 i boken.
65. Lös uppgift 11.10 i boken.
66. Lös uppgift 11.14 i boken.
67. Lös uppgift 11.15 i boken.
68. Lös uppgift 11.17 i boken.
69. Använd Gauss lag för det elektriska fältet i närvaro av en elektrisk laddningstäthet,
∇ · E = ρ/ǫ0 , samt Gauss sats (divergenssatsen) för att beräkna det elektriska fältet
på ett avstånd r från en punktladdning q. Antag att fältets riktning är radiellt ut från
laddningen.
70. Lös uppgift 11.19 i boken.
71. Lös uppgift 11.21 i boken.
72. Lös uppgift 11.27 i boken.
73. Lös uppgift 11.28 i boken.
74. Använd Ampéres lag för det magnetiska fältet i närvaro av en elektrisk strömtäthet,
∇ × B = µ0 j, samt Stokes sats för att beräkna det magnetiska fältet på ett avstånd d
från en rak ledare genom vilken det flyter en likström I. Antag att fältets riktning är
vinkelrät mot ledaren och riktat cirkulärt runt den.
75. Lös uppgift 12.4 i boken.
76. Lös uppgift 12.12 i boken.
77. Lös uppgift 12.14 i boken.
78. Lös uppgift 12.15 i boken.
79. Lös uppgift 12.24 i boken.
80. Lös uppgift 12.26 i boken.
81. Lös uppgift 20.3 i boken.
82. Lös uppgift 20.4 i boken.
83. Lös uppgift 20.5 i boken.
84. Lös uppgift 20.6 i boken.
85. Lös uppgift 20.10 i boken.
86. Lös uppgift 20.14 i boken.
87. Lös uppgift 21.1 i boken.
88. Lös uppgift 21.3 i boken.
89. Lös uppgift 21.9 i boken.
90. Lös uppgift 21.13 i boken.
91. Lös uppgift 21.16 i boken.
92. Lös uppgift 30.1 i boken.
93. Lös uppgift 30.3 i boken.
(Svensk översättning:) A och B har vardera två rättvisa fyrsidiga “tärningar”, med sidorna numrerade 1,
2, 3, 4. Utan att titta försöker B gissa summan x av siffrorna på bottenytorna av A:s två tärningar efter
det att de kastats på ett bord. Om gissningen är riktig vinner B x2 euro, om inte förlorar han istället x
euro. Bestäm B:s förväntade vinst per kast av A:s tärningar, för var och en av följande strategier för B:
(a) han väljer x på måfå från intervallet 2 ≤ x ≤ 8;
(b) han kastar sina egna två tärningar och gissar att x är vad de råkar visa;
(c) han tar ditt råd och väljer alltid samma värde för x. Vilket tal skulle du rekommendera?
Notera att det råder viss förvirring om hur mycket B ska förlora vid felgissning, vilket
beror på att det inte står helt klart vad x betyder då: är det A:s summa eller B:s gissning?
Det förra är troligast, men facit indikerar viss förvirring. Analysera därför båda fallen
och jämför!
94. Lös uppgift 30.4 i boken.
95. Lös uppgift 30.5 i boken.
96. Lös uppgift 30.6 i boken.
97. Lös uppgift 30.13 i boken.
98. Beräkna medelvärdet µ = E[X] och variansen σ 2 = V[X] för några olika diskreta
och kontinuerliga slumpvariabler (def. i avsnitt 30.8–9):
a) Binomialfördeln. (diskret):
n
pk (1 − p)n−k ,
Pr(X = k) = pk =
k
för k ∈ {0, 1, . . . , n};
b) Poissonfördeln. (diskret):
Pr(X = k) = pk = e−a
ak
,
k!
för k ≥ 0;
c) Likformig fördeln. på [0,1] (kontin.), definierad av sannolikhetsfördelningen
1, 0 < x < 1
f (x) =
0, annars.
(Övningstenta för FYTA11:M2)
99. Lös uppgift 10.14.
100. Bevisa Arkimedes princip: En kropp nedsänkt i en vätska utsätts för en lyftande
kraft lika med tyngden av den undanträngda vätskan (Ledning: Använd lämplig version
av Gauss sats).
101. Lös uppgift 12.16.
102. Lös uppgift 20.12.
103. Betrakta Laplace ekvation i disken x2 + y 2 ≤ a2 .
a) Lös den för u(x, y), givet att u = (x2 − b2 )2 på randen.
b) Visa att värdet i origo, u(0, 0), är medelvärdet av värdena på randen.
c) Visa att detta gäller för alla val av randvärden.
104. Lös uppgift 30.28.
(Se också separat utlagd tenta från 2008).
