Matematikuppgifter del II, FYTA11

advertisement
Matematikuppgifter del II, FYTA11
51. Lös uppgift 10.1 i boken.
52. Lös uppgift 10.2 i boken.
53. Lös uppgift 10.3 i boken.
54. Lös uppgift 10.4 i boken.
55. Låt en kurva i rummet vara given i parametrisk form:
r(u) =
1 2
u cos u − sin u, u sin u + cos u, u .
2
a) Beräkna avståndet till origo som funktion av u (kan skrivas helt utan kvadratrötter!).
Ange den punkt på kurvan som befinner sig närmast origo.
b) Ange enhetsvektorn t̂ i tangentens riktning (tangentvektorn) som funktion av u, och
visa att den (för u 6= 0) har en konstant lutning av 45◦ i förhållande till z-axeln.
c) För u = 0 blir tangenten odefinierad. Taylorutveckla kurvan kring u = 0 till ordning
u3 . Visa att kurvan har en “spets” i denna punkt, där tangenten byter riktning.
56. Låt φ(r) vara ett skalärt fält, och antag att en partikel rör sig emot gradientens
riktning så att dess position r(t) ändras enligt ṙ = −∇φ(r).
a) Visa att värdet av φ i punkten r(t), sett som funktion av t, aldrig kan öka.
b) Låt speciellt φ = r2 . Visa att det finns precis en punkt rf där φ(r(t)) inte minskar.
c) Lös för detta fall initialvärdesproblemet för godtyckligt val av startpunkt r(0) = a,
dvs. ange r(t) för t > 0 (Ledning: lös ekv. komponentvis). Visa att partikeln alltid hamnar
i punkten rf till slut.
57. Lös uppgift 10.10 i boken.
58. Lös uppgift 10.15 i boken.
59. Betrakta ytorna x2 + y 2 + z 2 = 9 och x2 + y 2 − z = 3.
a) Visa att båda innehåller punkten (2,-1,2).
b) Beräkna vinkeln mellan ytorna i denna punkt.
, ∇×B =
60. Givet att ∇ · E = 0, ∇ · B = 0, ∇ × E = − ∂B
∂t
och magnetiska fälten E och B båda satisfierar
1 ∂E
, visa att de
c2 ∂t
∂2u
vågekvationen ∂t2 = c2 ∇2 u.
elektriska
61. Finn konstanter a, b, c så att vektorfältet
A = (x + 2y + az)êx + (bx − 3y − z)êy + (4x + cy + 2z)êz
blir irrotationellt (dvs. ∇ × A = 0).
62. Det kan vara intressant att studera populära koordinatsystem också i två dimensioner, dvs. i xy-planet. Ett populärt val är som bekant planpolära koordinater
{u1 = r, u2 = φ}, givna av
x = r cos φ, y = r sin φ.
a) Plocka fram de naturliga koordinat-tangentvektorerna ei = ∂r/∂ui , där r = xêx + yêy ,
och visa att de är sinsemellan ortogonala (alltså är koordinaterna ortogonala).
b) Härled motsvarande ortonormerade bas {êi } genom att skriva resp. ei som hi êi . Visa
att skalfaktorerna blir hr = 1, hφ = r. Tolka.
c) Plocka också fram de s.k. reciproka vektorerna, ∇ui , och visa att de blir ei /hi .
d) Härled uttrycket för (det kvadrerade) längdelementet ds2 i planpolära koordinater.
e) Härled motsvarande planpolära uttryck för areaelementet dA = dx dy.
∂2
∂2
+
blir
f) (Överkurs:) Visa till slut att (den tvådim.) Laplace-operatorn
∂x2 ∂y 2
1 ∂
1 ∂2
∂2
+
+
.
∂r2 r ∂r r2 ∂φ2
(Ledning: Visa det “baklänges” genom att uttrycka
∂ ∂
,
i termer av x, y).
∂r ∂φ
63. Lös uppgift 11.3 i boken.
64. Lös uppgift 11.7 i boken.
65. Lös uppgift 11.10 i boken.
66. Lös uppgift 11.14 i boken.
67. Lös uppgift 11.15 i boken.
68. Lös uppgift 11.17 i boken.
69. Använd Gauss lag för det elektriska fältet i närvaro av en elektrisk laddningstäthet,
∇ · E = ρ/ǫ0 , samt Gauss sats (divergenssatsen) för att beräkna det elektriska fältet
på ett avstånd r från en punktladdning q. Antag att fältets riktning är radiellt ut från
laddningen.
70. Lös uppgift 11.19 i boken.
71. Lös uppgift 11.21 i boken.
72. Lös uppgift 11.27 i boken.
73. Lös uppgift 11.28 i boken.
74. Använd Ampéres lag för det magnetiska fältet i närvaro av en elektrisk strömtäthet,
∇ × B = µ0 j, samt Stokes sats för att beräkna det magnetiska fältet på ett avstånd d
från en rak ledare genom vilken det flyter en likström I. Antag att fältets riktning är
vinkelrät mot ledaren och riktat cirkulärt runt den.
75. Lös uppgift 12.4 i boken.
76. Lös uppgift 12.12 i boken.
77. Lös uppgift 12.14 i boken.
78. Lös uppgift 12.15 i boken.
79. Lös uppgift 12.24 i boken.
80. Lös uppgift 12.26 i boken.
81. Lös uppgift 20.3 i boken.
82. Lös uppgift 20.4 i boken.
83. Lös uppgift 20.5 i boken.
84. Lös uppgift 20.6 i boken.
85. Lös uppgift 20.10 i boken.
86. Lös uppgift 20.14 i boken.
87. Lös uppgift 21.1 i boken.
88. Lös uppgift 21.3 i boken.
89. Lös uppgift 21.9 i boken.
90. Lös uppgift 21.13 i boken.
91. Lös uppgift 21.16 i boken.
92. Lös uppgift 30.1 i boken.
93. Lös uppgift 30.3 i boken.
(Svensk översättning:) A och B har vardera två rättvisa fyrsidiga “tärningar”, med sidorna numrerade 1,
2, 3, 4. Utan att titta försöker B gissa summan x av siffrorna på bottenytorna av A:s två tärningar efter
det att de kastats på ett bord. Om gissningen är riktig vinner B x2 euro, om inte förlorar han istället x
euro. Bestäm B:s förväntade vinst per kast av A:s tärningar, för var och en av följande strategier för B:
(a) han väljer x på måfå från intervallet 2 ≤ x ≤ 8;
(b) han kastar sina egna två tärningar och gissar att x är vad de råkar visa;
(c) han tar ditt råd och väljer alltid samma värde för x. Vilket tal skulle du rekommendera?
Notera att det råder viss förvirring om hur mycket B ska förlora vid felgissning, vilket
beror på att det inte står helt klart vad x betyder då: är det A:s summa eller B:s gissning?
Det förra är troligast, men facit indikerar viss förvirring. Analysera därför båda fallen
och jämför!
94. Lös uppgift 30.4 i boken.
95. Lös uppgift 30.5 i boken.
96. Lös uppgift 30.6 i boken.
97. Lös uppgift 30.13 i boken.
98. Beräkna medelvärdet µ = E[X] och variansen σ 2 = V[X] för några olika diskreta
och kontinuerliga slumpvariabler (def. i avsnitt 30.8–9):
a) Binomialfördeln. (diskret):
n
pk (1 − p)n−k ,
Pr(X = k) = pk =
k
för k ∈ {0, 1, . . . , n};
b) Poissonfördeln. (diskret):
Pr(X = k) = pk = e−a
ak
,
k!
för k ≥ 0;
c) Likformig fördeln. på [0,1] (kontin.), definierad av sannolikhetsfördelningen
1, 0 < x < 1
f (x) =
0, annars.
(Övningstenta för FYTA11:M2)
99. Lös uppgift 10.14.
100. Bevisa Arkimedes princip: En kropp nedsänkt i en vätska utsätts för en lyftande
kraft lika med tyngden av den undanträngda vätskan (Ledning: Använd lämplig version
av Gauss sats).
101. Lös uppgift 12.16.
102. Lös uppgift 20.12.
103. Betrakta Laplace ekvation i disken x2 + y 2 ≤ a2 .
a) Lös den för u(x, y), givet att u = (x2 − b2 )2 på randen.
b) Visa att värdet i origo, u(0, 0), är medelvärdet av värdena på randen.
c) Visa att detta gäller för alla val av randvärden.
104. Lös uppgift 30.28.
(Se också separat utlagd tenta från 2008).
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

organsik kemi

5 Cards oauth2_google_80bad7b3-612c-4f00-b9d5-910c3f3fc9ce

Multiplacation table

156 Cards Антон piter

Fysik

46 Cards oauth2_google_97f6fa87-d6cd-4ae9-bcbf-0f9c2bb34c13

Fgf

5 Cards oauth2_google_07bf2a28-bcd3-42a3-9eef-1d63e3edcbe8

Create flashcards