Fasta tillståndets fysik
Räkneövning 10
Våren 2012
Returnera dina svar senast på måndag 16.4 kl. 10.
1. Hur förändras ekvationssystemet i α och β i uppgift 2 i räkneövning 9 då
integralerna utförs för en ändlig endimensionell kristall, vars kanter ligger i
punkterna x = −M a och x = N a?
2. sp3 -hybridisering, dvs kombination av s, px , py , pz för att erhålla fyra vågfunktioner vars sannolikhetstäthet är kraftigt riktad, förklarar den interatomära
bindningen i diamant, kisel och germanium. Bindningarna är riktade så att de
går från mittpunkten till fyra hörnpunkter i en kub och därmed bildar en reguljär tetraeder (vinkeln mellan bindnigarna är då 109◦ ). Härled utifrån detta
de fyra linjärkombinationerna av s, px , py , pz som bildar sp3 -hybridiseringen.
Tips: Eftersom s-tillståndet är sfäriskt symmetriskt medan px , py och pz har
lober i riktningarna x, y respektive z, kan man först kombinera p-vågfunktionerna
så att de ovannämnda fyra bindningsriktningarna formas.
3. (a) Visa att elektronens effektiva massa reduceras till den normala elektronmassan för fria elektroner.
(b) Bestäm hur den effektiva massan varierar med vågtalet k för dispersionsrelationen
ε = ~ω = B − 2A cos(ka) ,
som erhålls från tätbindningsmodellen. Visa att uttrycket som fås för
k = π/a överensstämmer med det som fås då man expanderar ε till
andra ordningen i k − π/a.
4. Beräkna energidensiteten hos elektronerna i ledningsbandet i en typisk intrinsisk halvledare med Fermi-nivån µ och gapet EG . Vad är energin per elektron?
5. Energin för en elektron nära toppen av ett valensband i en halvledare ges av
ε = −10−18 k 2 eV
där k är vågtalet givet i 1/m. Om man nu tar bort en elektron med vågtalet
k = 109 1/m, beräkna (a) det resulterande hålets effektiva massa, (b) dess
energi, och (c) dess hastighet.
