1
1.
Funktioner av flera variabler
1.1.
Rummet Rn
Med mängden Rn betecknar vi alla n-tiplar
x = (x1 , x2 , . . . , xn )
av reella tal. Rn är ett vektorrum med räkneoperationerna
1. Addition:
x + y = (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ).
2. Multiplikation med rella tal:
λx = λ(x1 , x2 , . . . , xn ) = x = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ).
3. Skalärprodukt:
x · y = (x1 , x2 , . . . , xn ) · (y1 , y2 , . . . , yn ) = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn .
Man kan också visa att
x · (y + z) = x · y + x · z.
Vi gör nu följande definition
Definition 1.1. Låt x och y vara två vektorer i Rn .
1. Vi säger att x och y är parallella om det finns ett reellt tal λ så att
x = λy.
2. Längden av vektorn x ges av
|x| =
q
√
x · x = x21 + x22 + · · · x2n .
3. Avståndet mellan x och y ges av
p
|x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · (xn − yn )2 .
Nu följer några viktiga olikheter.
2
1
FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER
Sats 1.2. Låt x och y vara två vektorer i Rn . Då gäller
1. Cauchy-Schwarz olikhet:
|x · y| ≤ |x| |y|.
2. Triangelolikheten:
|x + y| ≤ |x| + |y|.
3. För varje xj , j = 1, . . . , n, i x = (x1 , . . . , xj , . . . , xn ) gäller att
|xj | ≤ |x| ≤ |x1 | + · · · + |xj | + · · · + |xn |.
Bevis:
1.2
1.2.
Mängder i Rn
3
Mängder i Rn
Nedan ska vi generalisera öppna intervall i R till högre dimensioner. Låt a, r ∈ R. Det
öppna intervallet I = (a − r, a + r) är mängden av alla x sådana att a − r < x < a + r, dvs
I = {x ∈ R : |x − a| < r}. I Rn är motsvarande ett klot som är mängden
{x ∈ R : |x − a| < r},
där a ∈ Rn är klotets medelpunkt och r ∈ R är klotets radie.
Definition 1.3. Låt M vara en mängd i Rn . Vi säger att punkten a ∈ Rn är en
1. inre punkt till M om det finns ett klot kring a som ligger helt i M .
2. yttre punkt till M om det finns ett klot kring a som ligger helt i komplementet
M c till M .
3. randpunkt till M om varje klot kring a innehåller punkter från såväl M som
M c.
Mängden av alla randpunkter till M kallar vi randen och betecknas ∂M .
Definition 1.4. Låt M vara en mängd i Rn . Vi säger att M är
1. öppen om randen ∂M ⊂ M c .
2. sluten om randen ∂M ⊂ M .
3. begränsad om det finns ett tal K, så att |x| ≤ K för alla x ∈ M .
4. kompakt om den är både sluten och begränsad.
Exempel 1.5. Undersök följande mängder med avseende på egenskaperna definierade ovan.
1. M1 = {(x, y) : y > x2 }
2. M2 = {(x, y) : |x| + |y| ≤ 1}
3. M3 = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
4. M4 = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}
Lösning:
4
1
1.3.
FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER
Funktioner från Rn till Rp
Definition 1.6. Låt D vara en mängd i Rn . Med en funktion
f : D → Rp
menar vi en regel som till varje punkt x = (x1 , . . . , xn ) i definitionsmängden D
ordnar ett en punkt y = (y1 , . . . , yp ) ∈ Rp . Punkten y kallas värdet av f i punkten x
och vi skriver
y = f (x) = (f (x1 ), . . . , fp (x))
eller ännu utförligare
y1 = f1 (x1 , . . . , xn )
y2 = f2 (x1 , . . . , xn )
...
yp = fp (x1 , . . . , xn )
Vi kallar funktionen reellvärd om p = 1 och vektorvärd om p > 1.
Fallet n = p = 1 har vi redan stött på i kursen envariabelanalys. Nedan ska titta närmare
på fallet reellvärda funktioner av två variabler, dvs n = 2 och p = 1.
1.4
1.4.
Reellvärda funktioner av två variabler
5
Reellvärda funktioner av två variabler
För en reellvärd funktion
z = f (x, y),
(x, y) ∈ D,
av två variabler x och y definierar vi grafen av f som den tredimensionella punktmängden
{(x, y, z) : z = f (x, y) och (x, y) ∈ D}.
Denna bildar en yta i rummet, uppspänd rakt ovanför definitionsmängden D.
Exempel 1.7. Läs Exempel 6, 7, och 8 på sidan 14 i boken.
Exempel 1.8. Rita följande funktionsytor
p
a) f (x, y) = 1 − x2 − y 2 ,
b) z = −x − y + 1,
Lösning:
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x.
6
1
FUNKTIONER AV FLERA VARIABLER
Exempel 1.9. Nivåkurvor är den mängd i xy-planet som fås för olika värden på konstanten c i
f (x, y) = c.
Rita nivåkurvorna till funktionerna i förra exemplet.
Lösning:
1.4
Reellvärda funktioner av två variabler
7
Exempel 1.10. Kurvor. En vektorvärd funktion av en variabel:
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
kallas en kurva. T.ex. beskriver funktionen
x = a cos t
y = b sin t,
0 ≤ t ≤ 2π,
en ellips i planet med halvaxlarna a och b genomluppen ett varv i positiv led. Detta inses
med hjälp av trigonometriska ettan:
2 2
x
y
x2 y 2
1 = cos t + sin t =
+
= 2 + 2.
a
b
a
b
2
2
Exempel 1.11. Ytor. På en kurva finns en frihetsgrad, representerad av parametern t i en
parameterframställning. För att beskriva en yta behövs två parametrar, dvs en funktion
r(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)).
T.ex. kan en sfär med radien R och medelpunkt i origo, x2 + y 2 + z 2 = R, parametrisers via
x = R sin θ cos ϕ
0≤θ≤π
y = R sin θ sin ϕ
0 ≤ ϕ ≤ 2π.
z = R cos θ,
Detta val av parametrar på en sfär brukar kallas sfäriska koordinater.
