c Mikael Forsberg
8 december 2010
Referens :: Reella polynom
Sammanfattning
Vi går igenom komplexa nollställen till reellla polynom. Det viktiga resultatet om nollställen till polynom
med reella polynom är att ickereella nollställen kommer parvis: om z = x + iy är ett icke reellt nollställe
så är också konjugatet z = x − iy ett nollställe.
När man vill faktorisera ett reellt polynom i reella faktorer så kan man inte ta med förstagradsfaktorer som
kommer från ickereella nollställen, eftersom dessa inte är reella. Men eftersom dessa kommer parvis kan
man multiplicera faktorerna som hör till ett sådant par och då får man en reell andragradsfaktor. Reella
polynom faktoriseras i ett antal andragradsfaktorer som kommer från ickereella par av nollställen samt ett
antal förstagradsfaktorer som kommer från de reella nollställena.
Reella polynom
Ett polynom
p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n
är reellt om alla koefficienterna a0 , . . . an är reella tal.
√
√
Exempel 1. p(z) = 1 + z + 3z 2 + 23z 3 är ett reellt polynom men q(z) = 1 + z + i 3z 2 + 23z 3
är inte rellt.
För att se vart vi är på väg så kan vi titta på följande exempel
Exempel 2. Betrakta polynomet 1 + x2 . Vi ser direkt att dess nollställen är x = ±i.
Vad är speciellt med detta? Man ska notera att det ena nollstället är det komplexa konjugatet av
det andra. Är detta en slump eller är det för att ovanstående polynom är så enkelt?
Exempel 3. Låt oss titta på polynomet p(z) = 5 + 2z + z 2 . Dess nollställen är z = −1 ± 2i.
Återigen ser vi att komplexa nollställen följs åt två och två!
Vi generaliserar dessa två exempel mha följande exempel:
2
Exempel 4.
q Om man tar ett allmänt reellt andragradspolynom z +az+b så blir ju dess nollställen
2
2
z = − a2 ± a −4b
4 . Om diskriminanten a − 4b < 0 så har polynomet icke-reella nollställen. Och
dessa följs åt parvis nollstället och dess konjugat!!
Fördjupning av dessa observationer ger följande sats:
Theorem 5. Om p(z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + · · · + an z n är reellt så gäller att om z = a + ib är ett
icke reellt nollställe så är dess konjugat z = a − ib också ett nollställe.
Bevis. Låt z0 vara ett nollställe till p. Vi måste visa att p(z0 ) = 0. Vi har följande
0 = a0 + a1 z0 + a2 zo2 + · · · + an z0n = a0 + a1 z0 + a2 z02 + · · · + an z0n =
= a0 + a1 z0 + a2 z0 2 + · · · + an z0 n = a0 + a1 z0 + a2 zo 2 + · · · + an z0 n =
= p(z),
där vi utnyttjat räkneregler för konjugering och att
a ∈ R ⇔ a = a.
1
c Mikael Forsberg
8 december 2010
Exempel 6. Hitta nollställena till polynomet p(x) = x4 − 5x3 − 2x2 + 46x − 60, då man vet att
ett nollställe är x = 3 + i.
Eftersom detta polynom är reellt så har vi enligt ovanstående sats att komplexa nollställen kommer
parvis. Till det givna nollstället x = 3 + i hör alltså dess konjugat x = 3 − i, som alltså också är ett
nollställe. Enligt faktorsatsen är p delbart med båda faktorerna z−(3+i) och z−(3−i) som hör ihop
med nollställena. Detta betyder att p är delbart med dessa faktorers produkt (z−(3+i)(z−(3−i)) =
x2 − 6x + 10. Utför vi nu polynomdivisionen får vi att
p(x) = (x2 − 6x + 10)(x2 + x − 6)
De andra faktorn har nollställena x = 2 eller x = 3, och då har vi hittat alla nollställen till p!
Övningsuppgifter
Övning 7. Ekvationen z 4 + 3z 2 − 6z + 10 = 0 har en lösning z = −1 + 2i. Bestäm de andra
lösningarna
Övning 8. Ekvationen z 4 + 2z 3 + 3z 2 + 2z + 2 = 0 har lösningen z = −1 + i, bestäm alla andra
lösningar.
Irreducibla faktorer till reella polynom
Theorem 9. Om p är ett reellt polynom så kan man faktorisera p i ett antal rella förstagradsfaktorer
och ett antal reella andragradsfaktorer.
Bevis. Som en följd av algebrans fundamentalsats, faktorsatsen och divisionsalgoritmen så vet vi
att varje polynom faktoriseras i lika många första gradsfaktorer som det finns nollställen.
p(z) = cn (z − a1 ) . . . (z − an )
För ett reellt polynom förekommer ickereella faktorer parvis och deras faktorer multipliceras ihop
till en reell andra gradsfaktor. Om vi låter a1 , . . . a2k , 2k ≤ n vara våra icke reella nollställen så
kan vi skriva p som
p(z) = cn (z 2 + b1 z + d1 ) · · · (z 2 + bk z + dk )(z − a2k+1 ) · · · (z − an ),
där z 2 + bj z + dj , j = 1 . . . k är de k stycken reella andra gradsfaktorer som våra ickerella
nollställespar ger upphov till och a2k+1 , . . . , an är de reella nollställena
Corollary 10. Om ett reellt polynom har udda gradtal så finns det minst ett reellt nollställe.
Övningsuppgifter
Övning 11. Skriv polynomet p(z) = z 4 + 3z 2 − 6z + 10 från övning 7 som en produkt av reella
faktorer av högst grad 2.
Övning 12. Skriv polynomet p(z) = z 4 + 2z 3 + 3z 2 + 2z + 2 från övning 8 som en produkt av
reella faktorer av grad högst 2.
2
