Lektion 12 ht 2009
• Komplexa tal:
-
andragradsekvationer
binomiska ekvationer
komplexa rötter till reella polynomekvationer
faktorisering av reella polynom
1
Gå igenom och diskutera i grupp de uppgifter från “Inför lektion 12” som eventuellt ställt till
problem.
2
Andragradsekvationer: En av huvudanledningarna till att införa komplexa tal är att man då (i
alla fall i teorin) kan lösa alla polynomekvationer.
Titta på ”Lösning på rektangulär form” på s.458 i boken. Lös A.37a med denna metod.
Gå sedan gemensamt igenom ex 17 s.459. Lägg märke till de steg som används och diskutera
igenom det som är oklart. Ungefär mitt på sidan plockar man fram hjälpekvationen
p
x2 + y 2 = (−3)2 + (−4)2 = 5.
Hur får man fram denna?
Försök därefter att gemensamt lösa uppgift A.37b genom att upprepa samma procedur.
3
Binomiska ekvationer:
Binomiska ekvationer är ekvationer av typen z n = a, där a är ett komplext (eller reellt) tal.
Här kan vi lösa ekvationen genom att först skriva z på polär form, d.v.s. vi ansätter z = reiθ ,
och därefter skriva om a på polär form. Slutligen jämför vi det uttryck vi får i vänsterledet
med uttrycket i högerledet. För att två komplexa tal på polär form ska vara lika måste både
längderna och argumenten överensstämma.
Gå gemensamt igenom ex 19 s.462-463, där man använder precis denna metod. Observera att
man, då argumenten sätts lika, måste lägga till termen +k2π (k heltal). Varför? När man
slutligen bestämmer rötterna är k-värdet plötsligt begränsat till 0, 1 och 2. Hur kommer det
sig? Diskutera i gruppen om det eventuellt hade gått bra att välja några andra k-värden.
Ekvationen i exemplet är en tredjegradsekvation. Vet man då redan på förhand hur många
rötter denna kommer att få?
Lös sedan uppgift A.41a på motsvarande sätt som i exemplet.
När ni ritar ut rötterna i det komplexa talplanet bildar dessa en viss geometrisk figur. Detta
gäller alltid för rötterna till en binomisk ekvation.
Lös slutligen uppgift A.41b.
Lektionen fortsätter på nästa sida.
4
Komplexa rötter till reella polynomekvationer: Lös först uppgift A.44. Om ni behöver, så gå
tillbaka till kapitel 1.4 och repetera faktorsatsen och hur den används (Sats 3, s.52 och Exempel
12, s.53).
Det finns resultat som ibland kan hjälpa oss när vi löser ekvationer av högre grad. Förutsättningen är att vi har ett reellt polynom (d.v.s. alla koefficienter i polynomet är reella tal).
Studera gemensamt Sats 10 (s.465) och gå sedan igenom Exempel 20 (s.465-466). Lös uppgift
A.45. Behöver vi ens göra några uträkningar i denna uppgift? Hur vet vi att vi har bestämt
alla rötter till ekvationen?
För reella polynom förekommer alltså (icke-reella) rötter alltid i par med sina konjugat.
Observera dock att polynomet måste vara reellt för att detta ska gälla. Slå t.ex. upp er egen
lösning till uppgift A.37b från förra lektionen. Är polynomet i uppgiften reellt? Förekommer
rötterna i par med sina konjugat?
Lös slutligen uppgift A.49. Diskutera igenom vad som menas med en rent imaginär rot. Fundera
även på om ni eventuellt skulle kunna använda Sats 10 (s.465) som hjälp för att lösa ekvationen.
5
Faktoruppdelning: Enligt teorin kan varje reellt polynom delas upp i reella faktorer av högst
andra graden.
Lös först A.52a,b,c.
Lös också den betydligt svårare A.52d. Titta ev. först på ex. 20 och 21 på s.465-467 och på
tipset. Tricket är att parvis multiplicera ihop icke-reella förstagradsfaktorer.
Efter lektion 12
A
Lös uppgifterna A.38a,c, A.39, A.41c,e, A.46 och A.51.
