Uppsala Universitet
Matematiska institutionen
Isac Hedén
isac [email protected]
Algebra I, 5 hp
Vecka 22.
Euklides algoritm för polynom
Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma delaren till två polynom,
och precis som för heltal kan Euklides algoritm användas till detta. Enligt faktorsatsen motsvarar
gemensamma delare gemensamma nollställen.
En gemensam delare h till två polynom f och g kallas för en största gemensam delare om
h har maximal grad bland alla polynom som delar både f och g. Om det är fallet skriver vi
SGD(f, g) = h. Den största gemensamma delaren är entydigt bestämd ”upp till associering”.
Med det menas att om h1 och h2 uppfyller villkoret för att vara SGD(f, g), så finns det ett
nollskilt tal λ sådant att h1 = λh2 .
Exempel 6.1. Polynomen x3 − x och x2 − x − 2 har x + 1 som en största gemensam delare.
Man kan se ett exempel på hur det går till att dividera polynom med varandra med kvot
och rest med liggande stolen i [Vre06, sid 159]. Euklides algoritm för två polynom f och g
fungerar som Euklides algoritm för två heltal: Först divideras f med g med kvot och rest. Sedan
divideras g med resten, första resten med andra resten osv, till dess att en division går jämnt
upp och resten därmed blir noll. En största gemensam delare till f och g är den sista nollskilda
resten. Eftersom den endast är bestämd upp till associering, kan vi när som helst byta ut ett
polynom i Euklides algoritm mot ett associerat polynom om det förenklar beräkningarna. Eller,
skrivet med formler:
SGD(p(x), r(x)) = SGD(p(x), λr(x))
för alla tal λ 6= 0.
Reella polynom
Den första satsen om reella polynom säger att dess icke-reella nollställen kommer i konjugerade
par:
Sats 6.2. Låt f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn vara ett reellt polynom, så att a0 , a1 , . . . , an ∈ R.
Om z = α + iβ är ett nollställe till f , så är även z̄ = α − iβ ett nollställe.
Bevis. Räknereglerna för konjugering leder till att f (z̄) = f (z) = 0̄ = 0 om f (z) = 0.
Om f (x) är ett reellt polynom med ett icke-reellt nollställe z så är alltså även z̄ ett nollställe.
Dessa två har samma multiplicitet: f (x) är ju delbart med det reella andragradspolynomet
(x − z)(x − z̄):
f (x) = (x2 − x(z + z̄) + z z̄)q(x)
där q(x) är ett reellt polynom av grad två lägre än f . Om z skulle vara ett nollställe till q(x),
kommer dess multiplicitet vara ett lägre än det var i f (x), och även z̄ skulle vara ett nollställe
till q(x). Detta argument kan upprepas ända tills kvoten q(x) inte längre har z som nollställe.
För varje faktor (x − z) vi dividerar bort, kan vi också dividera bort en faktor (x − z̄).
Vi fortsätter med ytterligare en sats om reella polynom; den säger att ett reellt icke-konstant
polynom alltid kan skrivas som en produkt av reella första- och andragradsfaktorer – faktorer av
grad tre eller högre behövs aldrig. De irreducibla andragradsfaktorerna motsvarar konjugerade
par av icke-reella nollställen och förstagradsfaktorerna motsvarar polynomets reella nollställen.
Sats 6.3. Ett reellt icke-konstant polynom kan alltid skrivas som en produkt av reellt irreducibla första- och andragradsfaktorer. Faktoriseringen är entydig (så när som på associering och
faktorernas ordningsföljd).
Bevis. Enligt algebrans fundamentalsats, har vi
p(x) = c(x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn )
där α1 , α2 , . . . , αn är polynomets nollställen, och den faktoriseringen är entydig. Nollställena är
à priori komplexa tal, men en del av dem kan mycket väl vara reella (de som har imaginärdel
noll). De icke-reella nollställena kommer i konjugerade par, och varje sådant par ger upphov till
en reell andragradsfaktor: Paret α och α ger upphov till
(x − α)(x − α) = x2 − (α + α)x + αα,
som är reellt eftersom de tre koefficienterna är reella. Dessutom är det irreducibelt, eftersom en
faktorisering uppenbarligen skulle kräva icke-reella tal. Därefter återstår de reella nollställena,
och de ger upphov till reella förstagradsfaktorer: Ett reellt nollställe β ger upphov till den reella
faktorn
x − β.
Säg att ett reellt polynom p(x) har det komplexa nollstället x = 2 − 3i. Då följer det att
dess konjugat x = 2 + 3i också är ett nollställe, och tillsammans ger de upphov till den reella
andragradsfaktorn
(x − (2 − 3i))(x − (2 + 3i))
=
(x − 2 + 3i)(x − 2 − 3i)
(∗)
=
(x − 2)2 − (3i)2
=
(x2 − 4x + 4) + 9
=
x2 − 4x + 13.
Observera likheten (∗) där konjugatregeln används – att multiplicera på det viset sparar en
del möda när man vill hitta den reella andragradsfaktorn som hör till ett konjugerat par av
icke-reella nollställen.
Exempel 6.4. Bestäm samtliga nollställen till polynomet
p(x) = x7 − 9x6 + 34x5 − 70x4 + 89x3 − 81x2 + 56x − 20
givet att det har nollställena x = i, x = 2 + i och x = 2.
Lösning: Eftersom p(x) är ett reellt polynom, kommer dess icke-reella nollställen i konjugerade par. Paret x = i och x = −i ger upphov till en faktor (x − i)(x + i) = x2 + 1, och
paret x = 2 + i och x = 2 − i ger upphov till en faktor (x − 2 + i)(x − 2 − i) = x2 − 4x + 5.
Till sist ger nollstället x = 2 upphov till en faktor (x − 2). Kvoten då p(x) divideras med
(x2 − 4x + 5)(x2 + 1)(x − 2) = x5 − 6x4 + 14x3 − 16x2 + 13x − 10 är x2 − 3x + 2, så
p(x) = (x2 + 1)(x2 − 4x + 5)(x − 2)(x2 − 3x + 2).
Eftersom x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) följer det att p:s samtliga (sju) nollställen är i, −i, 2 +
i, 2 − i, 2 (dubbelt nollställe) och 1.
Det följer av sats 6.3 att alla reella polynom av udda grad har (minst) ett reellt nollställe:
De icke-reella nollställena kommer ju i konjugerade par, så antalet icke-reella nollställen är jämnt.
Men det sammanlagda antalet nollställen (räknade med multiplicitet) är udda – alltså måste
det finnas minst ett reellt nollställe. Detta kan också ses på grafen till f : om högstagradstermen
har positiv koefficient så gäller det att lim f (x) = ∞ och lim f (x) = −∞, så grafen måste
x→∞
x→−∞
skära x-axeln någonstans ”däremellan”. Om högstagradskoefficienten skulle vara negativ har vi
istället lim f (x) = −∞ och lim f (x) = ∞, men vi kan ändå dra samma slutsats.
x→∞
x→−∞
Exempel 6.5. Faktorisera följande reella polynom i reella faktorer av grad högst 2.
a) p(x) = x3 − x2 − 4x − 6 (tips: p(3) = 0),
b) p(x) = x4 + 4,
Lösning:
a) Faktorn som hör till x = 3 är (x − 3), och med hjälp av liggande stolen kan vi se att
p(x) = (x − 3)(x2 + 2x + 2). Den andra faktorn har nollställena −1 − i och −1 + i, alltså
ett konjugerat par av icke-reella nollställen.
b) Det komplexa talet a är ett nollställe till p(x) omm det löser den binomiska ekvationen
a4 = −16 (se v21.pdf för beskrivning av hur en sådan ekvation löses). Lösningarna ligger
på en cirkel i det komplexa talplanet med radie två och centrum i origo, och de har
argument π/4, 3π/4, 5π/4 och 7π/4. Man ser (enklast genom att rita en figur) att de
kommer i konjugerade par: lösningarna är 1 ± i och −1 ± i. Motsvarande faktorisering av
p(x) är
p(x) = (x − 1 + i)(x − 1 − i)(x + 1 − i)(x + 1 + i)
= (x2 − 2x + 2)(x2 + 2x + 2).
Precis som förväntat krävdes ingen faktor av grad tre eller högre. Eftersom faktoriseringen
är entydig, finns inte heller något annat sätt att faktorisera p(x) på (så när som på associering och att faktorerna byter plats), så att faktorisera polynomet i reella första- och
andragradsfaktorer är verkligen precis samma sak som att hitta dess nollställen. Känner
man till nollställena så känner man till faktoriseringen och om man känner till faktoriseringen så känner man till nollställena. Annars kanske det vore frestande att försöka
faktorisera polynomet ”direkt” utan att först hitta dess nollställen – men det är inte så
enkelt som det ser ut!
Multipla rötter
Derivatan av ett polynom
p(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a2 z 2 + a1 z + a0
är polynomet
p0 (z) = nan z n−1 + (n − 1)an−1 z n−2 + . . . + 3a3 z 2 + 2a2 z + a1 .
Sats 6.6. Om z = a är ett nollställe av multipliciteten m ≥ 2 till polynomet f (z), så är z = a
ett nollställe av multipliciteten m − 1 till derivatan p0 (z). Om a är ett enkelt nollställe till p(z),
så är det inte ett nollställe till p0 (z).
För att hitta multipla rötter till ett polynom p(z) bör man alltså söka en största gemensam
delare till p(z) och p0 (z), för om z = a är en rot till både p(z) och p0 (z), så har båda dessa en
faktor (z − a).
Exempel 6.7. Bestäm samtliga nollställen till polynomet p(x) = x4 − 2x3 − 7x2 + 20x − 12
givet att det har ett dubbelt nollställe.
Lösning: Vi söker gemensamma faktorer till p(x) och p0 (x) = 4x3 − 6x2 − 14x + 20, med
hjälp av Euklides algoritm.
(
)
( 2 53
)
38
p(x) = 41 x − 12 p0 (x) − 17
x − 17 x + 17
4
(
) ( 2 53
) 800
38
p0 (x) = 4 x + 55
x − 17 x + 17
− 289 (x − 2)
34
(
)
2
53
38
19
x − 17 x + 17 = x − 17 (x − 2).
Vi drar slutsatsen att p(x) och p0 (x) har en gemensam faktor x − 2, och alltså att p(x) har ett
nollställe x = 2 av multiplicitet 2. Det ger upphov till en faktor (x − 2)2 = x2 − 4x + 4. Division
av p(x) med denna faktor visar att
p(x) = (x − 2)2 (x2 + 2x − 3),
så förutom det dubbla nollstället x = 2 har p nollställena 1 och −3.
Rationella rötter
Sats 6.8. Antag att a0 , a1 , . . . , an är heltal och att polynomet
a0 + a1 x + . . . + an xn
har ett rationellt nollställe a = p/q, där p och q är heltal och SGD(p, q) = 1. Då måste p|a0 och
q|an . Om speciellt an = 1, så måste eventuella rationella nollställen vara heltal.
Exempel 6.9. Ekvationen 15x3 + 10x2 + 21x + 14 = 0 har en rationell rot. Lös ekvationen!
Lösning: Om x = p/q är en rot, så måste p ∈ {±1, ±2, ±7, ±14} och q ∈ {1, 3, 5, 15}.
Eftersom alla koefficienter i polynomet är positiva finns ingen positiv rot, så p < 0. Då återstår
16 tal att testa, och det visar sig att x = − 23 är en rot. Om man är listig, kan man utesluta
ytterligare några av de 16 utan att testa: Om x ≤ −1 så följer det till exempel att både
15x3 + 10x2 och 21x + 14 är negativa, så deras summa kan ej bli noll. Då återstår bara talen med
|p| < |q|. De resterande två nollställena finner man genom att dividera 15x3 + 10x2 + 21x + 14
med (x + 32 ), eller med (3x + 2) för den delen; då blir kvoten 5x2 + 7 som har de två nollställena
√
x = ±i 7/5.
Samband mellan nollställen och koefficienter
Antag att andagradspolynomet t2 + a1 t + a0 har nollställen α och β. Då gäller det att
t2 + a1 t + a0 = (t − α)(t − β)
= t2 − t(α + β) + αβ,
så att polynomets koefficienter a1 och a0 ges av
{
−a1 = α + β
a0 = αβ.
För ett tredjegradspolynom ser det ut som följer: Om polynomet
t3 + a2 t2 + a1 t + a0
har nollställen α, β och γ, så följer det att
t3 + a2 t2 + a1 t + a0 = (t − α)(t − β)(t − γ)
= t3 − t2 (α + β + γ) + t(αβ + αγ + βγ) − αβγ,
så att polynomets koefficienter a2 , a1 och a0 ges av
−a2 = α + β + γ
a1
= αβ + αγ + βγ
−a0 = αβγ.
I både andra- och tredjegradsfallet är alltså summan av polynomets nollställen lika med nästhögstagradskoefficienten med ombytt tecken. Och produkten av rötterna är lika med (−1)deg(f ) a0 .
Detta gäller mer allmänt: Om ett polynom
tn + an−1 tn−1 + . . . + a2 t2 + a1 t + a0
har nollställen α1 , α2 , α3 , . . . , αn så gäller det att summan av dem är nästhögstagradskoefficienten
med ombytt tecken och produkten av dem är (−1)n gånger konstanttermen eller, skrivet med
formler:
n
n
∑
∏
−an−1 =
αi och (−1)n a0 =
αi .
i=1
i=1
Detta var det sista som ingår i kursen, men vi säger ytterligare några ord om sambandet mellan
ett polynoms nollställen och koefficienter för att stilla vår nyfikenhet.
Överkurs
Hur är det med de övriga koefficienterna? Vi har rett ut hur konstanttermen och nästhögstagradskoefficienten uppför sig, men om man tittar på formeln a1 = αβ + αγ + βγ ovan så
verkar det finnas en slags regelbundenhet även där. Om vi tittar vidare på sambandet för
fjärdegradspolynom så framträder mönstret ännu tydligare: nollställena α, β, γ och δ till ett
fjärdegradspolynom
t4 + a3 t3 + a2 t2 + a1 t + a0
uppfyller
−a3
a
2
−a
1
a
0
=α+β+γ+δ
= αβ + αγ + αδ + βγ + βδ + γδ
= αβγ + αβδ + αγδ + βγδ
= αβγδ,
och i allmänhet har vi följande samband mellan ett polynoms nollställen och dess koefficienter:
Om polynomet
tn + an−1 tn−1 + an−1 + . . . + a2 t2 + a1 t + a0
har nollställen α1 , α2 , α3 , . . . , αn så gäller det för alla 0 ≤ i ≤ n − 1 att
∑
(−1)i ai =
ασ(1) ασ(2) ασ(3) · · · ασ(i) ,
S
där summan löper över mängden S av alla funktioner σ : {1, 2, 3, . . . , i}−→{1, 2, 3, . . . , n} som
är växande i meningen att σ(k) < σ(l) för alla 1 ≤ k < l ≤ i.
Referenser
[Vre06] A. Vretblad och K. Ekstig. Algebra och geometri. Gleerup, 2006.
