Årgång 49 1966

Elementa
Årgång 49, 1966
Årgång 49, 1966
Första häftet
2555. Visa att 4n + 11n + 18 ej kan vara primtal för något heltal n ≥ 0.
2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer 1 m3 , i form av
en rätvinklig parallellepiped. Den tillverkas av fyra stålplåtar, som
svetsas samman och sedan svetsas fast på ett befintligt stålgolv.
Man vill minimera kostnaden. Hur stor skall då resp. längd, bredd
och höjd vara om plåten kostar 60 kr/m2 och svetsningskostnaden
är 20 kr/m (golvkostnaden är 0)?
2557. Låt a, b och c vara sidor i en triangel, vars yta är T . Bevisa att
p
4T 3 ≤ a 2 + b 2 + c 2 .
Enklare matematiska uppgifter
2558. I ett nybyggt affärscentrum finns 8 butiker, fördelade i två plan
med 4 butiker i varje plan. I båda planen är butikerna ordnade intill
varandra i rad. De olika butikerna utlottas bland 8 sökande. Två av
dessa, A och B , tänker öppna speceriaffär. Beräkna sannolikheten
att a) A och B får butiker i samma plan, b) A och B får butiker intill
varandra i samma plan.
(Svar: a) 3/7, b) 3/14)
2559. Sannolikheten att en tillverkningsprocess skall ge defekt enhet är
lika med 0,2. Hur många enheter måste man minst tillverka för
att man med en sannolikhet, som är minst 0, 99, skall ha tillverkat
åtminstone en defekt enhet?
(Svar: 21)
2560. Rötterna till ekvationen x 3 + px 2 + q x + r = 0 bildar termer i en
geometrisk serie. Vilket samband råder mellan koefficienterna p,
q och r ?
(Svar: r = q 3 /p 3 )
2561. P är ett polynom av andra graden, sådant att P (1) = −P (2) = P (3) =
P
1. Beräkna nk=1 P (k).
(Svar: (2n 3 − 9n 2 + 10n)/3)
2562. Givet en rät linje l och tre punkter A, B och C på en annan rät linje.
P är en variabel punkt på l , medan Q är en punkt på AP och R en
punkt på C P . Sök orten för Q, då B är mittpunkt på QR.
(Svar: En rät linje parallell med l )
1
Årgång 49, 1966
Elementa
P
2563. Visa att om a v ≥ 0, v = 1, 2, 3, . . ., så konvergerar inte både ∞
v=1 1/a v
P∞
och v=1 a v /v. Gäller detta även om villkoret a v ≥ 0 strykes?
p
(Svar: Nej. Sätt t.ex. a v = (−1)v v)
2564. Beräkna
∞
X
1
för varje naturligt tal k.
v=1 v(v + 1)(v + 2) . . . (v + k)
1
(Svar: k·k!
)
2565. Bevisa att kurvorna y = e x och y = Ax 2 ej kan ha mer än tre skärningspunkter. för vilka värden på A finns resp. noll, en, två och tre
skärningspunkter?
(Svar: a) 0 skärningspunkter för A ≤ 0, b) 1 skärningspunkt för 0 < A < e 2 /4,
c) 2 skärningspunkter för A = e 2 /4, d) 3 skärningspunkter för A > e 2 /4)
2566. Visa att
p
p
3
1 2 + 22 + . . . + n 2 ≥ 1 3 + 23 + . . . + n 3 .
Andra häftet
2567. För vilka heltal h är (359 + 749 )17 + h delbart med 7?
P∞
2568. För följden {a n }∞
1 av reella tal gäller att 1 a n b n är konvergent
för varje följd {b n }∞
1 av reella tal med limn→∞ b n = 1. Visa att
P∞
|a
|
<
∞.
n
1
2569. f (x) är en icke-negativ funktion, som är definierad, monotont avtagande och kontinuerlig för x > 0. Dessutom existerar en konstant
a < 2, sådan att f (x) < a f (2x) för alla x > 0. Visa att det finns en
konstant A sådan att
Z
1 x
f (t ) d t ≤ A f (x) för alla x > 0.
x 0
Enklare matematiska uppgifter
2570. Visa att ekvationen nx 3 − x 2 − 1 = 0 för varje naturligt tal n har
P
precis en positiv rot a n och att ∞
1 a n är divergent.
2571. f har kontinuerlig
R 1derivata i intervallet 0 ≤ x ≤ 1 och f (1) = 2.
Beräkna f (0), om 0 f (x) f 0 (x) d x = 1.
p
(Svar: f (0) = ± 2)
2572. Beräkna I n =
R∞
0
dx
(1+x 2 )n
för varje naturligt tal n.
(Svar: Rekursionsformeln I n = 2nI n −2nI n+1 och I 1 = π/2 ger I n = π·(2n−3)!!
2n (n−1)! ,
n ≥ 2)
2
Elementa
Årgång 49, 1966
2573. Visa att om A och B är händelser med sannolikheter mindre än
1/3 vardera så är sannolikheten för snitthändelsen { A ∩ {B större
än 1/3. ({ A och {B är komplementhändelserna till A respektive
B .)
2574. Fyra tärningar kastas. Beräkna sannolikheten att tre av dem visar
ett och samma antal ögon och den fjärde ett antal skilt från detta.
(Svar: 5/54)
2575. Visa, t.ex. med induktion, att för varje naturligt tal k gäller | sin kt | ≤
k| sin t | för alla t .
2576. A och B är delmängder av en viss grundmängd. Visa att
{ A∩(A∪B ) = B , om och endast om A∩B = ; (= tomma mängden).
2577. Lös fullständigt differentialekvationen
y 00 − 4y 0 + 5y = sin x + e 2x .
(Svar: y = e 2x (c 1 cos x + c 2 sin x) + 14 (cos x + sin x) + e 2x , c 1 and c 2 godtyckliga konstanter)
1−i −z
, i = imaginära enheten, z ∈ C = mängden av
1+i +z
komplexa tal. Visa att M 1 = {z ∈ C : |w| < 1} och
M 2 = {z ∈ C : |w| > 1} är delmängder av högra respektive vänstra
komplexa halvplanet.
2578. Låt w =
Tredje häftet
2579. Tre spelare A , B och C spelar med lika vinstchanser och lika förlustchanser ett spel, varvid en av dem vinner och en förlorar. Vid
spelets slut betalar den förlorande en krona till den vinnande. A
startar med 2 kronor och de båda övriga med 1 krona var. Spelet
upprepas till någon blir ruinerad. Bestäm sannolikheten att A blir
ruinerad.
(Från 2-betygsskrivning i matematisk statistik. Insänt av Bengt Klefsjö.)
2580. Låt x vara ett reellt tal skilt från 0. Bevisa att
∞
sin x Y
x
=
cos k .
x
2
k=1
(Högerledet betecknar gränsvärdet, då n → ∞, av produkten av de
n faktorerna cos 2xk , k = 1, 2, . . . , n)
3
Årgång 49, 1966
Elementa
2581. Existerar det två reellvärda funktioner f 1 och f 2 , definierade på
intervallet 0 ≤ x ≤ 1, som båda saknar lokala maxima och minima
men som är sådana att f 1 + f 2 har oändligt många lokala maxima
och oändligt många lokala minima, utan att vara konstant i något
delintervall av 0 ≤ x ≤ 1? Ge exempel eller motbevisa!
Enklare matematiska uppgifter
nn
, n = 1, 2, . . .. Visa att limn→∞ a n = 0.
(n + 1)(n + 2) . . . (n + n)
2583. a, b, c och d är rella tal, c 6= d . Visa att
2582. a n =
lim
x→0
e ax − e bx
e cx − e d x
=
a −b
.
c −d
2584. För vilka heltal n ≥ 2 finns ett heltal k, 1 ≤ k ≤ n − 1, sådant att
Ã
! Ã
!
à !
n
n
n
+
=2
?
k −1
k +1
k
(Svar: För alla n av formen a 2 − 2, a heltal, a ≥ 3)
2585. Låt a vara ett heltal ≥ 3. Visa att (a − 1)n − 1 är delbart med a(a − 2)
för alla jämna, naturliga tal n.
2586. A är en delmängd av det komplexa talplanet C, sådan att A = A 2 ,
där A 2 = {z ∈ C : z = w 2 för något w ∈ A}. Dessutom finns ett tal
R > 1 så att A ⊂ {z ∈ C : |z| ≤ R}. Bevisa att A ⊂ {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
2587. A 1 och A 2 är två ändliga mängder, som består av 17 respektive 22
element. Dessutom vet man att A 1 ∪ A 2 består av 29 element. Hur
många element har A 1 ∩ A 2 ?
(Svar: 10)
2588. V0 är en fix vektor i planet med |V0 | = 1. visa att om V är en vektor,
skild från V0 , men sådan att V är vinkelrät mot V −V0 , så är |V | < 1.
2589. Urnorna U1 och U2 innehåller vardera 4 vita och 4 svarta kulor.
Man flyttar två slumpmässigt utvalda kulor från från U1 till U2 och
därefter två slumpmässigt utvalda kulor från U2 till U1 . Beräkna
sannolikheten att urnorna efter dessa omflyttningar fortfarande
innehåller 4 vita och 4 svarta kulor vardera.
(Svar: 29/63)
2590. a och b är positiva tal och α är större än eller lika med 1. Bevisa att
|a α − b α | ≤ α|a − b|{a α−1 + b α−1 }.
(Ledning: Använd medelvärdessatsen på f (x) = x α .)
4
Elementa
Årgång 49, 1966
Fjärde häftet
2591. En statistiker låter en fiapjäs vandra längs ett långt måttband. Den
startar på noll och går sedan varje gång 1 steg med sannolikheten 2/3 och 2 steg med sannolikheten 1/3. Visa att sannolikheten
att pjäsen gör uppehåll på ruta n är 14 (− 13 )n + 34 . Lös eventuellt
problemet utan kännedom om svaret.
(Bengt Klefsjö.)
2592. I ett sällskap har man gått runt och hälsat på varandra, dock ej
nödvändigtvis alla på alla. Visa att det finns två personer, som
hälsat lika många gånger.
(Efter American Math. Monthly. Insänt av Torgny Lindvall.)
2593. z 1 , z 2 , . . . , z n är komplexa tal. Visa att det finns en delmängd M av
{1, 2, . . . , n} sådan att
n
¯X ¯
1 X
¯
zi ¯ ≥ p
|z i |.
4 2 i
i ∈M
(Ledning: Betrakta separat de z i som ligger i vart och ett av de
fyra områden som begränsas av axelbisektriserna till rella och
imaginära axlarna.)
Enklare matematiska uppgifter
2594. Visa att cos x + x sin x ≥ 1 för alla x sådana att 0 ≤ x ≤ π/2.
P
serie med positiva termer. Med b i = a i2 −a i3
2595. ∞
i a i är en konvergent
P∞
bildas en ny serie 1 b i . Visa att denna är konvergent. Gäller detta
även om villkoret a i ≥ 0 strykes?
i
p . Jämför uppgift 2531)
(Svar: Nej. Exempel: a i = (−1)
i
2596. Visa att för varje naturligt tal n gäller
n
X
v(n − v) ≤
v=1
n3
.
6
2597. En spelare vinner 6 kronor om han får en sexa vid ett tärningskast,
i annat fall förlorar han 1 krona. Bestäm förväntningsvärdet och
variansen för hans vinst.
(Svar: 1/6 respektive 6 29
36 )
2598. Lös ekvationen z 3 = −27i .
(Svar: z = 3e i (π/2+2nπ/3) , n = 0, 1, 2)
2599. För två godtyckliga mängder M och N införes operationen 4 genom M 4 N = M ∪ N − M ∩ N . Visa att
A ∩ (B 4 C ) = (A ∩ B ) 4 (A ∩C )
5
Årgång 49, 1966
Elementa
för alla mängder A, B och C . Ge även exempel på att det kan gälla
att
A ∪ (B 4 C ) 6= (A ∪ B ) 4 (A ∪C ).
(Rita figur!)
2600. f är en kontinuerlig funktion på 0 ≤ x < ∞ sådan att f (x) → a då
x → ∞. Visa att
Z t
t −1
f (x) d x → a då t → ∞.
0
¢
¡
−1
2601. I ett tredimensionellt koordinatsystem är givet vektorerna 0, p1 , p
2
2
¢
¡
och p1 , p1 , p1 . Komplettera detta vektorpar med en tredje vektor
3
3
3
så att de tre vektorerna utgör basvektorer i ett nytt ortonormalsystem.
¡
¢
−1 p
(Svar: ± p2 , p
, −1 )
6
6
6
2602. Är funktionen f , definierad av
 2
 |x − 1|
, x 6= 1
f (x) =
 x −1
2,
x =1
kontinuerlig för alla x?
(Svar: Nej)
6