Om {an }är en konvergent talföljd , så är den begränsad.
Bevis : Kom ihåg att en talföljd är begränsad om det finns ett tal K 0 sådant att∣an∣K
Antag att {an }är konvergent. Därför gäller med =1i definitionen att det finns ett heltal N 1,
sådant att∣an−L∣1 för nN.
Vi vet Triangelolikheten att för x , y∈ℝ så gäller att
∣∣x∣−∣y∣∣∣x− y∣
1
Vi använder detta med x=an och y=L
∣∣an∣−∣L∣∣∣an−L∣
2
Vi vet att för alla x∈ℝ så gäller x∣x∣. Alltså med x=∣an∣−∣L∣så är då
∣an∣−∣L∣∣∣an∣−∣L∣∣
3
Med hjälp av detta får vi
∣an∣−∣L∣∣∣an∣−∣L∣∣∣an−L∣ 1
3
2
1
för nN
Vi har fått att∣an∣1∣L∣för nN
Dvs. {an }är begränsad för nN.Välj nu k=max {∣a1∣,∣a2∣, ... ,∣an∣, 1L}
Då har vi att∣an∣k för alla n=1,2,3,4,5,. ..
Alltså {an }är begränsad.
