Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Tomas Sjödin
Linköpings Universitet
Tomas Sjödin
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Potensserier repetition
f (x) =
∞
X
cn x n .
n=0
Konvergensradie: finns ett unikt tal R ( 0 ≤ R ≤ ∞) sådant att
serien är absolutkonvergent om |x| < R, och divergent om |x| > R
Konvergensradien kan oftast fås fram med rot- eller kvotkriteriet.
Tomas Sjödin
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Exempel 1
Exempel 1: Avgör för vilka x som
∞
X
x 4n
n=1
5n
är konvergent.
Tomas Sjödin
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Termvis derivation och integration av potensserier
Sats
P
n
Antag att f (x) = ∞
n=0 cn x har konvergensradie R > 0. Då har f
derivator av godtycklig ordning på ] − R, R[, och vi har:
P
n−1 ,
f 0 (x) = ∞
n=1 ncn x
Rx
P∞ cn n+1
,
n=0 n+1 x
0 f (t)dt =
cn =
f (n) (0)
n! .
Alla potensserier ovan har konvergensradie R.
Så vad vi har är att
f (x) =
∞
X
f (n) (0)
n=0
n!
Tomas Sjödin
x n om |x| < R.
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Potensserielösningar till diffekvationer
Givet en diffekvation är det ibland möjligt att hitta lösningar genom
att ansätta att den ska vara på formen
y=
∞
X
cn x n ,
n=0
och sedan använda de räknelagar vi har för derivation av sådana.
Tomas Sjödin
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Exempel 2
Exempel 2: Lös
(1 + x)y 0 = 1,
y (0) = 0,
samt utnyttja lösningen för att serieutveckla ln(1 + x).
Tomas Sjödin
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Exempel 3
Exempel 3: Lös
y 00 − (2 + 4x 2 )y = 0,
Tomas Sjödin
y (0) = 1, y 0 (0) = 0.
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Maclaurinserier
ex =
xn
n=0 n!
P∞
(x ∈ R),
P∞ (−1)n+1
ln(1 + x) = n=1 n x n (−1 < x ≤ 1),
P
n x 2n+1
sin x = ∞
n=0 (−1) (2n+1)! (x ∈ R),
P
n x 2n
cos x = ∞
n=0 (−1) (2n)! (x ∈ R),
P∞
α n
α
x (−1 < x ≤ 1),
(1 + x) = n=0
n
P
n x 2n+1
arctan x = ∞
n=0 (−1) (2n+1) (−1 ≤ x ≤ 1).
Tomas Sjödin
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Exempel 4
Exempel 4: Approximera talet e med ett rationellt tal så att felet
är ≤ 10−2 .
Tomas Sjödin
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
Exempel 5
Exempel 5: Approximera
Z
1
cos x 2 dx
0
med ett rationellt tal så att felet är ≤ 10−2 .
Tomas Sjödin
Envariabelanalys 2, Föreläsning 12
