Linjär Algebra, Föreläsning 4
Tomas Sjödin
Linköpings Universitet
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Kryssprodukt, trippelprodukt och plan
Denna föreläsning ska främst handla om det tredimensionella
rummet R3 , men vissa saker gör vi något mer allmänt.
Kryssprodukt (vektorprodukt) Denna produkt är endast
definierad i tre dimensioner. Vi definierar
(a1 , a2 , a3 ) × (b1 , b2 , b3 ) = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ).
Notera alltså att vi tar två vektorer i R3 och får en ny vektor i R3 .
Det är enkelt att visa följande:
Om u = kv då gäller att u × v = 0.
u • (u × v ) = 0 och v • (u × v ) = 0. Det vill säga kryssprodukten
ger en vektor som är ortogonal mot både u och v .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Geometrisk tolkning, högersystem
Vi såg ovan att kryssprodukten av två vektorer u, v i R3 gav en ny
vektor som är ortogonal mot båda dessa. Angående storleken kan vi
säga att vi har följande
|u × v | = |u||v | sin(θ),
där θ återigen är vinkeln mellan u och v . Dessutom kan man se att
den pekar i den riktning som anges av den så kallade
högerhandsregeln. Man säger att u, v , u × v utgör ett så kallat
högersystem.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Dessa två egenskaper är enkelt att inse att de karaktäriserar
kryssprodukten unikt. Om de två vektorerna u, v inte är parallella
(om de är det är ju kryssprodukten nollvektorn) då finns det ju bara
två riktningar att välja på sådana att de är ortogonala mot bägge
dessa vektorer. Storleken ges av formeln ovan, och
högerhandsregeln ger oss en av dessa två riktningar.
För att motivera ovanstående påstående, antag för enkelhets skull
att u = (1, 0, 0) och v = (b1 , b2 , 0) med b1 , b2 > 0 Då gäller enligt
ovanståendeqatt u × v = (0, 0, b2 ). Notera nu att
b2 = sin(θ) b12 + b22 = sin(θ)|v |, samt att denna vektor pekar i
positiva e 3 -riktningen.
Vidare kan vi säga att uttrycket |u||v | sin(θ) helt enkelt är arean av
det parallellogram som “ spänns upp” av u och v .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Trippelprodukt (volymprodukt)
Denna produkt tar tre vektorer och ger ett reellt tal. Givet tre
vektorer u, v , w i R3 , då är trippelprodukten mellan dessa uttrycket
(u × v ) • w .
Observera att denna produkt alltså beror på ordningen av dessa
vektorer. Rent geometriskt är detta tal ± volymen av den
parallellepiped som de tre vektorerna “spänner upp”. Vi har även
följande resultat:
Sats
(u × v ) • w > 0 om och endast om u, v , w utgör ett högersystem.
Om (u × v ) • w = 0, då ligger alla tre vektorer i ett gemensamt
plan.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Plan på parameterform i Rn
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Ett plan Π i rummet ses enkelt vara bestämt av att vi vet en punkt
P0 i Π samt två vektorer u, v som är parallella med Π men inte
parallella med varandra. Då ligger en punkt P i Π om och endast
om det finns två tal (parametrar) s, t sådana att
−→
−−→
[OP] = [OP0 ] + su + tv .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
I Rn kan vi göra motsvarande med koordinater. Om vi låter
(a1 , a2 , . . . , an ) vara en fix punkt , och u = (u1 , u2 , . . . , un ),
v = (v1 , v2 , . . . , vn ) där u och v inte är parallella, då kallar vi
mängden av alla (x1 , x2 , . . . , xn ) som uppfyller
(x1 , x2 , . . . , xn ) =
(a1 , a2 , . . . , an ) + s(u1 , u2 , . . . , un ) + t(v1 , v2 , . . . , vn ) s, t ∈ R
för ett plan på parameterform.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Plan på normalform i R3
I rummet är det också lätt att se att ett plan Π är unikt bestämt om
vi vet en punkt P0 i Π samt en normalvektor n. En punkt P ligger
−−→
då i Π om och endast om n • [P0 P] = 0. Om vi är i R3 kan detta i
koordinater (precis som för linjer i planet) skrivas som en ekvation
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 ,
där (n1 , n2 , n3 ) är normalvektorn och (a1 , a2 , a3 ) en fix punkt i Π.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 4
