Linjär Algebra, Föreläsning 13
Tomas Sjödin
Linköpings Universitet
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 13
Nollrum, Värderum och Dimensionssatsen
Följande sats är rättfram att visa från definitionen av linjära
avbildningar.
Sats
Låt F : U → V vara linjär.
N(F ) := {u ∈ U : F (u) = 0} är ett delrum till U, kallat F :s
nollrum,
V (F ) := {F (u) : u ∈ U} är ett delrum till V, kallat F :s
värderum.
Vi har också följande resultat:
U = [u 1 , u 2 , . . . , u m ] ⇒ V (F ) = [F (u 1 ), F (u 2 ), . . . , F (u m )].
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 13
Sats (Dimensionssatsen)
Låt F : U → V vara linjär. Då gäller att
dimN(F ) + dimV (F ) = dimU.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 13
Sammansatta avbildningar
Antag att vi fått tre vektorrum U, V, W och F : U → V,
G : V → W är linjära. Vi definierar då den sammansatta
avbildningen G ◦ F : U → W via (G ◦ F )(u) = G (F (u)). Det är lätt
att visa att detta är en linjär avbildning, vidare om u, v , w är baser
där F respektive G har matriser A respektive B då har G ◦ F matris
BA relativt u, w . (Man kan säga att matrismultiplikationen är
definierad precis så att detta ska gälla).
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 13
Inversa Avbildningar
Låt F : U → V vara en linjär avbildning. Vi säger då att F är
inverterbar om det finns en linjär avbildning F −1 : V → U, kallad
F :s invers, sådan att
F ◦F −1 (v ) = v
för alla v ∈ V,
F −1 ◦F (u) = u
för alla u ∈ U.
Om U, V är ändligdimensionella, då har F en invers om och endast
om dimU = dimV och N(F ) = {0}. Vi har också (som förväntat)
följande resultat:
Sats
Låt U, V ha baser u respektive v , där dimU = dimV. Den linjära
avbildningen F : U → V har då en invers om och endast om dess
matris A i dessa baser är inverterbar, och F −1 har då matris A−1
relativt dessa.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 13
