Linjär Algebra, Föreläsning 15 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Nollrum, Värderum och Dimensionssatsen Sats Låt F :U→V vara linjär. N(F ) := {u ∈ U : F (u) = 0} är ett delrum till U, kallat nollrum, V (F ) := {F (u) : u ∈ U} är ett delrum till V, kallat värderum. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 F :s F :s Exempel 1 Exempel 1: Låt E vara ett Euklidiskt rum och låt W vara ett delrum till E. Låt vidare F vara ortogonal projektion på W. Beskriv F :s nollrum N(F ) och värderum V (F ). Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Exempel 2 Exempel 2: För sträckning vridning och spegling i ett Euklidiskt rum E gäller att N(F ) = {0̄} och V (F ) = E. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Vi har också följande resultat: U = [u 1 , u 2 , . . . , u m ] ⇒ V (F ) = [F (u 1 ), F (u 2 ), . . . , F (u m )]. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Exempel 3 Exempel 3: Avbildningen F : R3 → R3 har (i standardbasen) matris 1 2 3 A = 1 0 1 . 0 1 1 Bestäm baser till F :s nollrum N(F ) och värderum V (F ). Skriv även V (F ) som ett lösningsrum. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Sats (Dimensionssatsen) Låt F :U→V vara linjär. Då gäller att dimN(F ) + dimV (F ) = dimU. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Sammansatta avbildningar Antag att vi fått tre vektorrum U, V, W och F : U → V, G : V → W är linjära. Vi denierar då den sammansatta avbildningen G ◦ F : U → W via (G ◦ F )(u) = G (F (u)). Det är lätt att visa att detta är en linjär avbildning, vidare om u, v , w är baser där F respektive G har matriser A respektive B då har G ◦ F matris BA relativt u, w . (Man kan säga att matrismultiplikationen är denierad precis så att detta ska gälla). Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Exempel 4 Exempel 4: Antag att F : R2 → R2 ges av F (x1 , x2 ) = (x2 , 2x1 ) och G : R2 → R ges av G (x1 , x2 ) = x1 + 2x2 . Bestäm matrisen till den sammansatta avbildningen G ◦ F . Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Inversa Avbildningar Låt F : U → V vara en linjär avbildning. Vi säger då att F är inverterbar om det nns en linjär avbildning F −1 : V → U, kallad F :s invers, sådan att F ◦F −1 (v ) = v för alla v ∈ V, F −1 ◦F (u) = u för alla u ∈ U. Om U, V är ändligdimensionella, då har F en invers om och endast om dimU = dimV och N(F ) = {0}. Vi har också (som förväntat) följande resultat: Sats u respektive v , där dimU = dimV. Den linjära avbildningen F : U → V har då en invers om och endast om dess −1 har då matris A−1 matris A i dessa baser är inverterbar, och F Låt U, V ha baser relativt dessa. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Exempel 5 Exempel 5: Avgör om F : R2 → R2 är inverterbar och bestäm i så fall dess invers, om F (x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , x1 + 4x2 ). Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15 Exempel 6 Exempel 6: Låt F : R2 → R2 via F (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , x1 − x2 ). Bestäm baser till F :s nollrum och värderum samt avgör om F är inverterbar. Tomas Sjödin Linjär Algebra, Föreläsning 15