Linjär Algebra, Föreläsning 22
Tomas Sjödin
Linköpings Universitet
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 1
Exempel 1: Avgör om (1, 2, 0), (1, 1, 2), (2, 3, 4) utgör en bas till
R3 .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 2
Exempel 2: Låt F : R2 → R3 via
F (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 − x2 , 2x2 ).
(a) Bestäm F :s matris i standardbaserna.
(b) Bestäm baser till F :s nollrum och värderum.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 3
Exempel 3: Låt e vara standardbasen till R3 och
f = ((2, 0, 0) (2, 2, 0) (2, 2, 2)).
(a) Bestäm övergångsmatrisen (transformationsmatrisen) från f
till e -basen samt från e till f -basen. Bestäm även
koordinaterna i f -basen till vektorn
1
(1, 2, 3) = e 2 .
3
(b) Låt F : R3 → R3 ha matris
2 2 3
Ae = 1 2 1
0 0 2
i e -basen. Bestäm F :s matris Af i f -basen.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 4
Exempel 4: Låt Q(x1 , x2 , x3 ) = x12 + 2x1 x2 + x22 + x32 vara en
kvadratisk form på R3 .
(a) Bestäm en ON-bas till R3 sådan att Q inte har några
blandtermer i denna.
(b) Bestäm det största och minsta värdet till Q på
x12 + x22 + x32 = 1, samt ange i vilka punkter (uttryckt i det
ursprungliga koordinatsystemet) som dessa värden antas.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 5
Exempel 5: Låt W = {(x1 , x2 , x3 ) : x1 − x2 + x3 = 0} ⊂ R3 .
(a) Bestäm en ON-bas till W.
(b) Utvidga denna bas till en ON-bas till hela R3 .
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 6
Exempel 6: Låt F : P2 → P1 ges av
F (a0 + a1 x + a2 x 2 ) = a0 + a1 + a2 x.
Betsäm en bas till F :s nollrum.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 7
Exempel 7: Lös systemet
1 2 2
1 3 x1 = 0
x2
0 4
5
i minstakvadratmening.
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 8
Exempel 8: Lös systemet av dierentialekvationer:
√
x10 (t) = 5√x1 (t) + 8x2 (t)
,
x20 (t) = 8x1 (t) − 2x2 (t)
Tomas Sjödin
x1 (0) = 0
.
x2 (0) = 1
Linjär Algebra, Föreläsning 22
Exempel 9
Exempel 9: Beräkna A6 då
1 1 0
A = 1 1 0 .
0 0 1
Tomas Sjödin
Linjär Algebra, Föreläsning 22
