Roterande obalans Kritiskt varvtal för roterande axlar

Roterande obalans
Kritiskt varvtal för
roterande axlar
Rotation, krit. varvtal, s 1
m0
Roterande obalans
Modeller för roterande
maskiner ej fullständigt
utbalanserade
t ex tvättmaskiner, motorer,
verkstadsmaskiner etc.

e
0t
k
c
e : eccentricitet
mo : obalansmassa
ω0 : rotationfrekvens
Rotation, krit. varvtal, s 2
Roterande obalans

Hur stora blir obalanskrafterna?
Rx
0
x 0  e sin  0 t
m0
 a x  x 0   e  0 sin  0 t
2
e
q
Krafter:
Ry
R x  m 0 a x   m o e  0 sin q   m o e  0 sin  0 t
2
2
R y  m 0 a y   m o e  0 co s q   m o e  0 co s  0 t
2
2
Rotation, krit. varvtal, s 3
Roterande obalans
m0e02sin(0t)
R ö re lse e k v a tio n :
m x  cx  kx  m o e 0 sin  0 t
2
x(t)
eller
m
x  2  n x   n x 
2
mo
e 0 sin  0 t
2
m
x p ( t )  X sin( 0 t   )
k
c
X 
moe
m
  tan
1
 0 /  n 
2
(1    0 /  n  )   2    0 /  n  
2
 2   /  
0
n

 1   /  2
0
n

2
2




Rotation, krit. varvtal, s 4
Roterande obalans

Amplitud som funktion av frekvensförhållandet
ω0/ωn
ω0/ωn
Rotation, krit. varvtal, s 5
Roterande obalans - exempel
Rotation, krit. varvtal, s 6
Kritiskt varvtal, roterande axlar
a





Obalanserade hjul, skivor etc. monterade på roterande axlar kan
ge mycket höga vibrationsamplituder vid vissa varvtal, sk. kritiska
varvtal.
Pga obalansen är tyngdpunkten (masscentrum) förskjuten i
förhållande till rotationscentrum
Tyngdpunktens förskjutning relativt rotationscentrum är lika med a.
Axelns vinkelhastighet (driftvarvtal) betecknas ω0
Kritisk vinkelhastighet är lika med axelns egenfrekvens, ωn
Rotation, krit. varvtal, s 7
Kritiskt varvtal roterande axlar
Rörelseekvationer:
𝑚𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑘𝑥 = 𝑚𝑎𝜔0 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡)
𝑚𝑦 + 𝑐𝑦 + 𝑘𝑦 = 𝑚𝑎𝜔0 2 𝑠𝑖𝑛(𝜔0𝑡)
axeln böjer ut i xy-planet sträckan OE
Rotation, krit. varvtal, s 8
Lösning av rörelseekvationerna
𝑎
𝑥 𝑡 =
1−
2
𝜔0 2
+
𝜔𝑛
𝑎
y 𝑡 =
1−
𝜔0 2
𝜔𝑛
𝜔0 2
2ζ
𝜔𝑛
𝜔0 2
𝜔𝑛
2
𝜔0 2
+
𝜔𝑛
𝜔0 2
2ζ
𝜔𝑛
𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡-Φ)
Φ
θ
sin(𝜔0𝑡-Φ)
Fasvinkeln Φ är vinkeln mellan linjerna OE och EG
Vinkeln θ är vinkeln mellan linjen OE och x-axeln
𝑡𝑎𝑛θ =
𝑦
𝑥
=
𝑠𝑖𝑛⁡(𝜔0𝑡−Φ)
⁡𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡−Φ)
 θ = 𝜔0𝑡−Φ 
𝑑θ
𝑑𝑡
= 𝜔0
Rotation, krit. varvtal, s 9
Axelns utböjning
X är beloppet (amplituden) av x(t)
Y är beloppet (amplituden) av y(t)
X=Y
a är avståndet mellan
rotationsaxeln och
tyngpunktsaxeln
0
Rotation, krit. varvtal, s 10
Slutsatser






En axel bör inte rotera nära det kritiska varvtalet.
Vid körning under kritiska varvtalet bör rotationshastigheten
vara högst 0.5 av det kritiska varvtalet
Vid körning över kritiskt varvtal bör rotationshastigheten
vara minst ca 2 ggr det kritiska varvtalet.
Om man ligger nära det kritiska varvtalet behövs dämpning
Dämpare används för dämpa bort energi ur systemet
Vid höga varvtal blir utböjningen lika med a, dvs rotationen
sker runt axeln genom masscentrum, fasvinkeln går mot
180 grader.
Rotation, krit. varvtal, s 11
Statisk obalans



Har en snedfördelad massa i statiskt tillstånd.
Masscentrum ligger utanför axelcentrum
Axeln anses ha liten massa gentemot rotorn.
Rotation, krit. varvtal, s 12
Dynamisk obalans




Skapar obalans i rörelse.
Exemplet i figuren saknar statisk obalans.
Svänghjulen har olika eccentriciteter.
Masscentrumen är fasförskjutna mot varandra.
Rotation, krit. varvtal, s 13
Åtgärder vid vibrationsproblem







Tillfällig passage kräver god balansering.
Balansering
Man kan minska vibrationen mha dämpning.
Anpassa konstruktionen (dimensionera) för undvika att
driftvarvtalet hamnar nära kritiska varvtalet.
Varvtalskvoten bör inte ligga i intervallet 0.7 < ωn/ωn < 1.4
Alternativ; ändra styvheten, k, hos axeln.
Alternativ; ändra massan, m, hos axeln.
Rotation, krit. varvtal, s 14
Dynamisk balansering







Upphängd i fjäderinfästa lager som kan
förskjutas i en riktning
Obalansamplitud, X0, och fasvinkel
uppmäts vid ett specifikt varvtal.
En testvikt, m1, sätts på rotorn. Ny
obalansamplitud, X1, uppmäts och ny
fasvinkel.
Vektorerna X0 (oa) och X1 (ab) kan nu
ritas in, se figuren.
Skillnadsvektorn ab beror endast på effekten
av testvikten m1.
Om placeringen av testvikten m1 flyttas vinkeln Φ
och storleken av m1 ändras till m1 *(oa/ab),
får skillnadsvektorn ab, samma belopp och
motriktad vektorn oa.
Rotorn är utbalanserad eftersom X1 då blir noll.
blir
Rotation, krit. varvtal, s 15
Dynamisk balansering - exempel




Vid 300 varv/min
uppmäts en obalans
amplitud på 3,2 mm
30° från referensmärket.
En testvikt på 25 gram
fastsätts på kanten vid 143°
från ref. märket.
Ny obalansamplitud vid 300
varv/min är 7 mm vid
fasvinkeln 77° från ref.
märket.
Hur stor skall
korrektionsvikten vara och
var (vid vilken vinkel ) skall
den sättas fast?
Rotation, krit. varvtal, s 16
Övningsuppgifter

Rekommenderade övningsuppgifter: (nya övningsuppfigter
från Inman – Engineering Vibration)
Roterande obalans: 2.61, 2.62, 2.63, 2.64, (2.67)
Kritiskt varvtal: 5.74, 5,75, (5.78 överkurs), 5.79, 5.80
Rotation, krit. varvtal, s 17