Fö9 Vridmoment, vinkelacceleration och arbete för fasta kroppar

Vridmoment (eng. Torque)
q
Verkningslinje
Hävarm= vinkelräta avståndet mellan kraftens
verkningslinje och vridningspunkten O.
Vridmomentets belopp är produkten av kraften och kraftens hävarm
(momentarm), |F|b
F b enligt figuren. Vridmoment kan ses som en analogi till kraft
fast den rör sig om vridning.
Enligt figuren är vridmomentets belopp F r sinq
Vi definierar vektorn: t =rrFF som är vinkelrät mot planet där rr och FF ligger
och har riktning enligt skruvregeln. Se figuren till höger.
Exempel: 1
1
Vridmoment och vinkelacceleration (Newtons II för rotation)
qˆ
r̂
  q Antag är att en partikel med massan m utför en cirkulär
Fq
rotation (fastsatt på en viktlös stav med längden r). Antag är
att en kraft verkar på partikeln.
Enligt Newton II lag gäller att: F  ma
Dela upp krafterna polärt i radiell och tangentiell riktning :
F  Fr rˆ  Fqqˆ
Vi får vridmomentet:
Vridmomentet  mot
vridningsplanet
t  r  F  rrˆ  ( Fr rˆ  Fqqˆ)  rFq zˆ  t z zˆ
t z  rFq  Newton II  r (maq )  rm(2rq  rq)  r  0  mr2q
aq från PH. a  ar rˆ  aqqˆ  (r  rq2 )rˆ  (2rq  rq)qˆ
t z  mr2q  I partikel  mr2  I partikelq  I partikel
tröghetsmoment
vinkelacceleration
Vridmomentet är produkten av tröghetsmomentet och vinkelaccelerationen.
Vridmoment och vinkelacceleration (Newtons II för rotation)
Om vi har ett partikelsystem får vi summera vridmomenten från alla partiklar:
t z ,tot  t z ,i   mri 2qi
Fn
rn
Antag att alla partiklar har samma vinkelacceleration (stel kropp):
 mr q   mr q  I
2
t tot
2
i
i
i
F1
r1
t z ,tot
Där I är tröghetsmomentet:
I   mi ri2
Partikelsystem
I   R2dm
Stel kropp
i
F2
ri
För en stel kropp gäller alltid att hela kroppen har samma vinkelacceleration
runt vridningsaxeln. Vidare övergår summeringen till en integral.
Newtons II för rotation
 Iq  I
r2
Fi
Arbete och effekt vid rotation
qˆ
r̂
Fq
Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel
  q med massan m fastsatt i änden.
Vi har då:
dW  Fq ds  ds  rdq   Fq rdq  tdq
(Fr gör inget arbete eftersom det inte sker någon förflyttning i den
riktningen).
qf
W   dW  tdq
Arbete vid rotation
qi
Om vridmomentet är konstant får vi:
W  t (q f  qi )
Effekten P är definierad som hastigheten som arbete utförs på:
P
dW t dq

 t Effekt vid rotation
dt
dt
Exempel: 2
Intern och "orbital" kinetisk energi
Vi betraktar ett partikelsystem med n partiklar:
Massor: m1, m2 ... mn, , Lägesvektorer: r1, r2 ... rn,
cm x
vcm
Hastigheter: v1, v2 ... vn. Den totala kinetiska energin hos
1
systemet ges då av :
2
mi
Ek 
vi
mv

2
i i
i
Vi kan uttrycka partikel i’s hastighet som:
vi  vCM  (vi  vCM )
Masscentrums hastighet
Den kinetiska energin kan då skrivas:
Ek 
Partikel i:s hastighet rel. masscentrum
1
1
1


2
2
2


m
v

(
v

v
)

m
v

m
(
v

v
)

v

m
(
v

v
)





i CM
i
CM
i CM
i i
CM
CM
i i
CM 
2 i
2 i
2 i
 i

1 2
Ek,orb  MvCM
2
Ek = Ek, orb + Ek, int
Masscentrums rörelse relativt observatören "orbital"
Ek, int
 0, ty  mi vi  MvCM
i
Kinetiska energin relativt
masscentrum "intern"
Kinetisk energi hos roterande kropp
Den total interna energin hos ett partikelsystem är: Uint = Ek, int + Ep, int
där Ep, int är den interna potentiella energin.
Vid stel kropp är alla inbördes avstånd konstanta så Ep, int ändras inte. Vi kan sätta
Ep, int = 0. Den totala interna energin hos kroppen består då endast av kinetisk energi:
Uint = Ek, int
Kroppens kinetiska energi kommer bestå av orbital kinetisk
energi och intern rotationsenergin: E  1 Mv2 , E  1 I 2
k, orb
Kinetiska energin för roterande kropp:
Då vi satt Ep, int = 0 blir totala energin :
2
cm
k, rot
2
1 2
1 2
Ek  MvCM  I
2
2
1 2
1
E  Ek  E p,ext  MvCM
 I 2  E p,ext
2
2
E bevaras om externa krafter konservativa
6
Rullning utan glidning
Rullningsvillkor:
s  Rq
vcom  R
R
acom
dq
 R
dt
d 2q
 R 2  R
dt
OBS! Vid rullning utan glidning är kontaktpunkten P:s momentana hastighet 0 !!
Kan betraktas som
rotationsaxel
vcom  R 
v  2R   2 vcom
7
Homogen cylinder rullar utför lutande plan

Cylindern rullar utan att glida nerför sträckan L
från A till B.
Bestäm v(B)
a) med hjälp av kraft och vridmoment samband
b) med hjälp av energiprincipen
Exempel:3
8