16-­‐09-­‐20 Från naturliga tal 2ll hela tal -­‐ Vad kan göra skillnad för elevers möjligheter a5 bli bekanta med de nega7va talen? Anna Lövström, Nässjö 2016 Bakgrund • Forskarskolan i Learning Study – undervisningsutvecklande ämnesdidak2sk forskning, 2012 • Licen2atuppsats, 2015 • Lektor och specialpedagog i Mörbylånga kommun: Ø Arbetar i åk 7-­‐9 samt kommunövergripande. Ø Vara en brygga mellan teori och prak2k. Ø Forskning: Från N 2ll Z II, Bokkapitel: När det konkreta skymmer – Om metaforer och representa2oner i undervisningen av nega2va tal. Ø Aktuella utvecklingsprojekt: Forma7v bedömning samt Ord, begrepp och a5 skriva i alla ämnen. Anna Lövström, Nässjö 2016 Om licen2atuppsatsen • Titel: Från naturliga tal 2ll hela tal (Från N 2ll Z) – Vad kan göra skillnad för elevers möjligheter a5 bli bekanta med de nega7va talen? • Varia2onsteorin, Learning study • 64 elever, årskurs 2 och 3, tre lärare. • Förtest och eXertest • 4 lek2oner • Intervjuer • Analys och fördjupad analys Anna Lövström, 2016 1 16-­‐09-­‐20 Varför nega2va tal? • Inte så vanligt område i aktuell åldersgrupp. • E[ inlägg i forskningsdeba[en: Ball (1993). • E[ inlägg i undervisningskulturen, vilka uppgiXer bör våra elever engagera sig i? Lampert (1990); O[en (2009). • Berikar uppfa[ningen av tals olika egenskaper. Utmanar 2digt den konkreta föreställningen av tal. Se exempelvis: Bishop, J. P., Lamb, L. L., Philipp, R. A., Whitacre, I., & Schappelle, B. P. (2014); Kilhamn (2011). Anna Lövström, Nässjö 2016 Tre synvinklar 1. Resultatet i form av de kri2ska aspekterna. 2. A[ använda de kri2ska aspekterna i nya sammanhang. 3. Metaforers och representa2oners roll i undervisningen. Anna Lövström, Nässjö 2016 Anna Lövström, Nässjö 2016 2 16-­‐09-­‐20 Lärandeobjekt: ”A[ förstå a[ de nega2va talen existerar, genom a[ inse a[ subtrak2on av två posi2va heltal kan ge nega2v differens”. Anna Lövström, Nässjö 2016 Arbetet i learning study-­‐gruppen • Ny[ ämnesområde för lärarna • Tvärsäkra: Så här gör man. Famlande: Kan man göra annorlunda? • Varia2onsteore2skt ugormade exempel: och och och och Anna Lövström, Nässjö 2016 Hela tal Anna Lövström, Nässjö 2016 3 16-­‐09-­‐20 Omformulering och precisering av kri2sk aspekt 1 Inför lektion 1:
A. Att urskilja tals
värde inom
talområdet −10 till
10.
Inför lektion 2:
B. Att urskilja
negativa tals värde i
förhållande till andra
heltal.
Genom den fördjupade
analysen:
C. Att särskilja två
negativa tals värden.
Anna Lövström, Nässjö 2016 Exempel i undervisningen som relaterar 2ll KA 1, P=planerat, G=genomfört Lek2on 1
Lek2on 2
Lek2on 3
Lek2on 4
P
G
P
G
P
G
P
G
X
X
X
X
X
-­‐
X
X
-­‐
-­‐
X
-­‐
X
-­‐
X
X
-­‐
-­‐
X
-­‐
X
-­‐
X
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
X
Tal som jämförs
och och och och Anna Lövström, Nässjö 2016 För-­‐ och eXertest: Vilket tal har högst värde? −1, −9, −6, −2, −5 Grupp/svarsalternativ
1
2
N=19
N=16
FT ET FT
ET
3
4
N=15
N=14
FT ET
FT
Totalt
N=64
ET FT ET
−1
-
4
7
7
4
6
3
10
14
27
−9
17
14
9
9
10
9
11
3
47
35
−6
1
-
-
-
1
-
-
1
2
1
−5
1
-
-
-
-
-
-
-
1
-
-
1
-
-
-
-
-
-
-
-
Inget svar
Anna Lövström, 2015 4 16-­‐09-­‐20 “Clearly, the representa2on of nega2ve numbers is fraught with dilemmas” (Ball, s.16, 1993). Representa2on Begränsning Byggnad med våningar över och under 0 • Ball var osäker på om eIeverna kopplade beräkningar av personers resor i hissen 2ll innebörden av a[ subtrahera och addera med heltal. • “I also thought that the building was not helping students develop a sense that -­‐5 was less than -­‐2” . Pengar • Eleverna undvek nega2va tal.En av Balls elever: "There is no such thing as belowzero dollars!” Anna Lövström, Nässjö 2016 Dilemma? [1] Lärare: … Vad skulle vi kunna kalla våningen där Kalle går in? … [2] Elev 1: Våning 0. … [3] E2: Man kan kalla det hallen. [4] L: Ja visst kan man göra det. … Vad tänkte du säga? [5] E3: Våning 5. [6] L: Våning 5 tänker du. Då börjar du där nerifrån. … [7] E4: Våning 0. [8] L: … Vi kallar den här för våning 0 i det här våningshuset. … [9] E5: Jag vill kalla den för miCenvåningen. [10] L: Du vill kalla den för miCenvåningen, okej. [11] E6: Jag med. [12] E7: Det är en utgång 2ll underjorden. [13] L: Här är ju fak2skt lite underjord kan man säga. (Excerpt A, Lek2on 3) Anna Lövström, Nässjö 2016 Från N 2ll Z Läraren uppmanar eleverna a5 jämföra −3 och − 2. [1] L: Vilken har högst värde? [2] Erik: −3 [3] L: −3 har högst varde tycker du? Hur tänker du da Erik? [4] Elin: För a[ det är en sån´ siffra. [5] L: Men heter du Erik? Hur tanker du Erik? Svårt a5 höra vad eleven säger. (Excerpt G, Lek2on 4, Tid: 41:13-­‐41:22) [1] L: Du kanske tänker sa som Elin sa? Det är ju jä[esmart, men om vi ska tänka på pilen blir det verkligen rä[ då? [2] Elever: Nej. [3] L: Då blir det knasigt va´, vad säger Erik? [4] Eleven säger ingen7ng. [5] L: Jä[esmart förslag, men vad säger Emma? [6] Emma: −2 är närmare åt det hållet. [7] L: Ja, det är ju det. Det är ju fak2skt det, eller vad säger du Erik? [8] Eleven säger ingen7ng. (Excerpt H, Lek2on 4, Tid: 41:22-­‐42:02) Anna Lövström, Nässjö 2016 5 16-­‐09-­‐20 Omformulering och precisering av kri2sk aspekt 2 Inför lektion 1:
A. Att urskilja
riktningen för
subtraktion på
tallinjen.
Genom den fördjupade
analysen:
C. Att särskilja
minuendens och
subtrahendens
funktion i en
subtraktion.
Inför lektion 2:
B. Att urskilja att
subtraktion inte lyder
under den
kommutativa lagen.
Anna Lövström, Nässjö 2016 Exempel i undervisningen som relaterar 2ll KA 2, P=planerat, G=genomfört Lek2on 1
Exempel
P
Lek2on 2
G
P
Lek2on 3
G
P
Lek2on 4
G
P
G
A.
-­‐
-­‐
X
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
B.
-­‐
-­‐
X
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
C.
X
X
X
X
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
D.
X
-­‐
X
X
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
E.
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
X
X
X
X
F.
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
X
X
X
X
G.
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
X
X
X
X
H.
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
X
X
X
X
I.
-­‐
-­‐
-­‐
X
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
Anna Lövström, Nässjö 2016 𝐽𝑒𝑛𝑛𝑦: 6 −4=0 4 −6=2 [1] Intervjuare: Och hur tänker du då? (6-­‐4) [2] Jenny: Sex är ju e[ större tal än fyra och då blir det ju noll. [3] I: Sex är e[ större tal än fyra. [4] J: Mm. Jag tar och kryssar över det. Eleven skriver dit 0 på uppgiGen 6-­‐4= [5] I: Och här då? [6] J: 4-­‐6=2 [7] I: Hur tänker du där då? [8] J: Jag har fyra, eller jag har…sex och tar bort fyra. [9] I: Mm. Är det lika med? [10] J: Två. (Excerpt T, Intervju 1, 2013-­‐10-­‐03) Anna Lövström, Nässjö 2016 6 16-­‐09-­‐20 För-­‐ och eXertest: 4 −6= Grupp/svarsalternativ
1
2
3
4
Totalt
N=19
N=16
N=15
N=14
FT
ET
FT
ET
FT
ET
FT
ET
FT
ET
-
9
4
11
-
3
1
10
5
33
1
-
−2
−0
-
-
-
−4
-
-
-
7
0
3
2
-
7
1
-
-
-
1
6
3
2
-
18
1
1
-
1
1
7
10
38
20
1
1
10
5
10
1
1
-
-
-
-
-
-
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1
Inget svar
-
4
-
-
2
-
-
1
-
-
4
-
-
-
1
3
-
-
-
N=64
8
4
1
1
-
Anna Lövström, 2015 Omformulering och precisering av kri2sk aspekt 3 Inför lektion 1:
A1. Att urskilja
tecken för negativt
tal samt tecken som
indikerar subtraktion.
A2. Att urskilja att
negativa tal alltid har
ett synligt tecken.
Genom den fördjupade
analysen:
C. Att särskilja
minustecknen för
negativt tal och för
subtraktion.
Inför lektion 2:
B. Att urskilja tal
både som platser och
avstånd på tallinjen.
Anna Lövström, Nässjö 2016 Exempel i undervisningen som relaterar 2ll KA 3, P=planerat, G=genomfört Lek2on 2
Lek2on 3
Lek2on 4
Lek2on 1 P
G
P
G
P
G
P
G
A. -­‐
-­‐
-­‐
-­‐
X
X
X
X
B. -­‐
X
-­‐
-­‐
X
X
X
X
C. X
X
X
X
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
D. X
-­‐
X
X
-­‐
-­‐
-­‐
-­‐
E. X
-­‐
X
X
X
-­‐
X
-­‐
F. X
-­‐
X
-­‐
X
-­‐
X
X
G. X
-­‐
X
X
X
-­‐
X
X
Exempel
Anna Lövström, Nässjö 2016 7 16-­‐09-­‐20 För-­‐ och eXertest: −2 −2= Grupp/svarsalternativ
1
2
3
4
Totalt
N=19
N=16
N=15
N=14
FT
ET
FT
ET
FT
ET
FT
ET
FT
7
3
9
-
-
-
11
3
27
−4
-
N=64
ET
4−
-
-
-
-
-
1
-
-
-
1
−3
-
1
-
-
-
-
-
-
-
1
−1
-
-
-
-
-
1
-
-
-
1
1−
-
-
-
-
1
-
-
-
1
-
−0
1
4
-
1
-
2
-
-
1
7
0
16
5
13
5
12
9
12
2
53
21
2
-
1
-
-
1
1
1
1
2
3
3
1
-
-
-
-
-
-
-
1
-
4
-
-
-
1
-
-
-
-
-
1
1
-
-
-
-
-
1
-
2
-
-
1
-
-
1
1
-
-
1
2
6
Inget svar
Anna Lövström, 2015 Vad kan göra skillnad för elevers möjligheter a[ bli bekanta med de nega2va talen? • Resultatet av licen2atstudien visar a[ det genom undervisning kan göras möjligt för elever i årskurs 2 och 3 a[ utvidga talområdet från naturliga tal (N) 2ll hela tal (Z), det vill säga a[ bli bekant med de nega2va talen. • För a[ förstå a[ de nega2va talen, liksom de naturliga talen, också är tal behöver eleverna kunna särskilja två nega7va tals värden. De behöver också kunna särskilja minuendens och subtrahendens funk7on i en subtrak7on, samt särskilja minustecken som indikerar nega7vt tal och minustecken som indikerar subtrak7on. (Lövström, 2015) Anna Lövström, 2016 Tvärsäkra/famlande/lyhörda • En komplex process då de kri2ska aspekterna preciserades och omformulerades: ”A[ ta hänsyn 2ll elevernas interna rela2on 2ll ämnesinnehållet innebar a[ det egna erfarandet av ämnesinnehåll och undervisning sa[es inom parentes. -­‐-­‐-­‐ A[ ta elevernas erfarande på större allvar innebar däremot a[ elevernas förståelse blev en utgångspunkt för a[ diskutera vad som var kri2skt och hur ämnesinnehållet skulle behandlas. (Mårtensson, 2015, s.181) Anna Lövström, Nässjö 2016 8 16-­‐09-­‐20 A[ använda de kri2ska aspekterna i nya sammanhang Anna Lövström, Nässjö 2016 Från N 2ll Z II • 8 nya klasser (N=116), 5 lärare, åk: 2, 3 & 7. • Utgick ifrån de tre kri2ska aspekterna. • Särskilt fokus på hur tallinjen användes under lek2on 4 i studie 1, samt på a[ alla planerade exempel skulle genomföras under lek2onen. • Störst värde av: −9, −1, −6, −2 och −5. Före: 34st, EXer: 85st. A[ räkna ut: −2 −2=. Före: 11st, EXer:51st. • Slutsatser? Anna Lövström, Nässjö 2016 Metaforers och representa2oners roll i undervisningen av nega2va tal Anna Lövström, Nässjö 2016 9 16-­‐09-­‐20 Från det konkreta 2ll det abstrakta, eller tvärtom? 1. Inledande diskussioner: våningshus, termometer, pengar och va[endjup. Ball (1993): hiss och pengar. 2. EXer första lek2onen: tal som plats och tal som rörelse (Lakoff och Núñez, 2000) införs som tankemodell. 3. EXer andra lek2onen: minskat fokus på termometern. 4. Under tredje lek2onen: numeriska symboler och fingrar. 5. Under ~ärde lek2onen: minskat fokus på våningshuset. Använder: numeriska symboler och tallinjen. Inspireras av: Duval, 2006. Anna Lövström, 2016 Ökat fokus på tallinjen Anna Lövström, 2016 Referenser Ball, D. L. (1993). With an eye on the mathema2cal horizon: Dilemmas of teaching elementary school mathema2cs. Elementary School Journal, 93(4), 373-­‐397. Bishop, J. P., Lamb, L. L., Philipp, R. A., Whitacre, I., & Schappelle, B. P. (2014). Using order to reason about nega2ve numbers: the case of Violet. Educa7onal Studies in Mathema7cs, 86(1), 39-­‐59. Duval, R. (2006). A cogni2ve analysis of problems of comprehension in a learning of mathema2cs. Educa7onal Studies in Mathema7cs, 61(1-­‐2), 103-­‐131. Kilhamn, C. (2011). Making sense of nega7ve numbers through metaphorical reasoning. Göteborg: Acta Universita2s Gothoburgensis. Lakoff, G., & Núñez, R. E. (2000). Where mathema7cs comes from. New York: Basic Books. Lampert, M. (1990). When the problem is not the ques2on and the solu2on is not the answer: Mathema2cal knowing and teaching. American educa7onal research journal, 27(1), 29-­‐63. Lövström, A. (2015). Från naturliga tal 7ll hela tal (från N-­‐>Z). Vad kan göra skillnad för elevers möjligheter a5 bli bekanta med de nega7va talen? Jönköping: Jönköping University, School of Educa2on and Communica2on. Research report No. 4. O[en, S. (2009). Down and to the LeG: Students´ Movement Toward Nega7ve Numbers. Michigan State University, SME 840. Mårtensson, P. (2015). A5 få syn på avgörande skillnader: Lärares kunskap om lärandeobjektet. Disserta2on Series No. 29. Jönköping: School of Educa2on and Communica2on Jönköping University. Anna Lövström, Nässjö 2016 10 16-­‐09-­‐20 Tack för mig! Anna Lövström, Nässjö 2016 11
