Karlstads universitet matematik, MAGA45 Peter Mogensen Litet kompendium om den sfäriska geometrin Att beräkna avstånd och vinklar på jordytan I Förr var meterns längd inte fixerad, det fanns många olika långa metrar. På slutet av 1700-­‐talet var det revolution i Frankrike och i den våg av ljus som bröt in beslöt man att enas om en meterlängd. Efter långa diskussioner kom man fram till att avståndet längs jordytan från Nordpolen till ekvatorn skulle vara tio miljoner meter. Ett problem var att man inte visste så noga hur lång denna sträcka var, och att man mätte litet fel. Men ganska nära blev det, och i den här kursen sätter vi avståndet till precis 1000 mil om inget annat sägs. Jordytan är inte slät utan har berg och andra oregelbundenheter. Inte ens om vi bortser från skrovligheterna är jorden ett klot; på grund av jordrotationen är det litet längre från jordens medelpunkt till ekvatorn än till polerna. Dessutom varierar gravitationen, så det är litet bulor och gropar på havsytan, men man ser dem inte, för de är utsträckta över stora avstånd. För enkelhets skull betraktar vi jordytan som en perfekt sfär med omkrets 4000 mil. Lustigt nog är jordradien mycket nära 4000 engelska miles, men det får anses vara en tillfällighet. (Skilj på klot och sfär; klotet är en kropp, sfären är klotets yta.) II Jorden roterar runt en axel som går från Nord-­‐ till Sydpolen. Vi placerar ett tredimensionellt koordinatsystem med Nordpolen i punkten (0, 0, 1) och Sydpolen i (0, 0, –1). Då hamnar jordens medelpunkt i origo och jordradien blir lika med 1 längdenhet. En latitudcirkel (eller breddgrad) är en cirkel på jordytan med konstant avstånd till polen. Från ekvatorn till Nordpolen är det 90 breddgrader; Karlstad ligger drygt 59° norr om ekvatorn. Det betyder att om vi drar en rät linje från Karlstad till jordens medelpunkt och en linje från medelpunkten "rakt under" den förra linjen till ekvatorn, så bildar linjerna 59 graders vinkel mellan varandra. Ekvatorn har latituden 0, Nordpolen latituden 90° N(ord), Karlstad latituden 59° N, och Sydpolen latituden 90° S(yd). Vi kan dra halvcirkelbågar längs jordytan som går från Nord-­‐ till Sydpolen. Sådana halvcirklar kallas longituder (eller meredianer). Vi måste bestämma en nollmeredian, och den som är allmänt accepterad är den halvcirkel som går genom Greenwich utanför London i England. (Tidigare gick nollmeredianen genom Paris men efter Napoleon-­‐
krigen hade fransmännen mindre att säga till om.) Karlstad ligger öster om Greenwich på en longitud som vid polen bildar drygt 13 graders vinkel med nollmeredianen. Vi kan alltså ange Karlstads position på jordytan med koordinaterna (13° E(ast), 59° N(orth)). På samma sätt är till exempel Reykjavik (22°W(est), 64°N) och Melbourne (145E, 38°S(outh)). Av olika skäl föredrar man ofta att ange orters colatitud i stället för latituden. Colatituden är hur många breddgrader söder om Nordpolen som orten befinner sig. Ekvatorns colatitud är 90°, Sydpolens är 180°. Övn 1. Tänk efter; vad är colatituden för Karlstad, Reykjavik och Melbourne? (Facit sid 3.) III Vi inför nu beteckningen u för longitud och v för colatitud. Då kan vi beskriva positionen för Karlstad med u = 13°, v = 31°; för Reykjavik med u = –22° (eller +338°, men det är litet opraktiskt), v = 26°; och för Melbourne med u = 145°, v = 128°. Dessa koordinater (u, v) kallas polära koordinater. Men vi vill gå över till vanliga rätvinkliga koordinater. Det kräver litet förklaringar och att man ritar på tavlan, så jag hoppar över det här. Resultatet blir: x = R cosu sinv y = R sinu sinv (1) z = R cosv I allmänhet väljer vi längdenhet så att radien R = 1, vilket innebär att R försvinner ur uttrycken och ger Karlstads position som en vektor från jordens medelpunkt till Karlstad: !!
cos 13° sin 31°
!
! = sin 13° sin 31° !!
cos 31°
(Ni är ovana vid vektorer på kolonnform, men det är praktiskt.) Övn 2. Visa att vektorn ovan har längden 1. IV På samma sätt som ovan kan vi nu få fram vektorn från jordens medelpunkt till !!
cos 145° sin 128°
Melbourne: !! = sin 145° sin 128° !!
cos 128°
Övn 3. Vad händer om vi bildar skalärprodukten för de två vektorer som vi just fått fram? Vilken fråga får vi svaret på? V Från förra kursen minns ni att skalärprodukten mellan två vektorer är produkten av vektorernas längder och cosinus för vinkeln mellan dem. Eftersom vi valt längden 1 på vektorerna så blir skalärprodukten i detta fall cosinusvärdet för medelpunktsvinkeln mellan Karlstad och Melbourne. Låt oss kalla denna vinkel för ∝, alltså skalärprodukten är cos∝. Sätt avståndet mellan Karlstad och Melbourne (längs jordytan) till s. Då är (med s i mil och ∝ i grader): !
!
= 4000
360
!""!
dvs s = ! mil. Vi har hittat en metod för att bestämma avståndet längs jordytan mellan två orter på jorden om vi känner deras respektive long-­‐ och latituder. I övningskompendiet finns ett antal uppgifter på detta. VI Nu står du på stora torget i Karlstad och pekar med ena armen den kortaste vägen (längs jordytan) mot Reykjavik och med andra armen den kortaste vägen mot Melbourne. Vilken vinkel bildar dina armar? Jag skall försöka beskriva hur man kan tänka för att lösa det problemet. Först, kortaste vägen mellan två orter går längs en storcirkel. Det är en cirkel på jordytan vars medelpunkt sammanfaller med jordens medelpunkt. Den storcirkeln ligger i ett plan; storcirkelplanet för de två orterna. Om vi i stället för att ta skalärprodukten mellan två ortsvektorer bildar deras kryssprodukt så får vi en normalvektor till storcirkelplanet. Vi kan alltså bilda en normalvektor till storcirkelplanet genom Karlstad och Reykjavik, och en normalvektor till storcirkelplanet genom Karlstad och Melbourne. Dessa normalvektorer är vinkelräta mot respektive pekande armar (för armarna ligger ju i respektive plan). I stället för att bestämma vinkeln mellan armarna kan vi bestämma vinkeln mellan normalvektorerna. Övn 4. Använd den beskrivna metoden för att bestämma vinkeln mellan mina armar då jag står i Karlstad och pekar mot Reykjavik och Melbourne. VII Vad handlade detta papper om? Jo, två saker, dels hur man använder skalärprodukt för att bestämma avstånd på jordytan, dels hur man använder kryssprodukt för att bestämma vinklar på samma yta. Anmärkning: Om man läser sfärisk geometri på allvar så finns det andra formler man kan använda; det finns en sfärisk cosinussats och en sfärisk trigonometrisk etta osv. Vi går inte in på det, sök på Napiers formler om det skulle bli aktuellt. En intressant sak är att man inte talar om sträckor i den sfäriska geometrin. Man utgår från en sfär med radie 1 och avståndet mellan två punkter är medelpunktsvinkeln mellan dem. En triangel på en sfär har alltså inte tre sidor och tre vinklar som vi är vana, utan sex vinklar; dels de vanliga hörnvinklarna och dels tre vinklar som anger sidorna. Svar: 1. Colatituden för Karlstad är 31°, för Reykjavik 26° och för Melbourne 128°. 2. Undersök ! ! + ! ! + ! ! i (1). 3. Det värde vi får är cosinus för vinkeln mellan de två vektorerna. 4. Denna typ av uppgifter är arbetskrävande och ett enda knapptryckningsfel förstör lätt alltihop. Man bör räkna med betydligt större noggrannhet än man svarar med. Jag räknade med fyra decimaler och får ungefär 135°, men med stor reservation, för jag knappade på en liten mobil och blev upprepade gånger störd av telefonen. Repetition av förra kursen !
!
Om U = ! och V = ! så !
!
(i) är skalärprodukten (dot product) U∙V = !" + !" + !", (ii) är U normalvektor till planet !" + !" + !" = d (där d är en konstant), !
(iii) går den räta linjen ! = ! + !" genom (a, b, c) och har riktningsvektor V, !
(iv) är absolutbeloppet av U dess längd ! = ! ∙ !, !∙!
(v) är vinkeln ! mellan U och V lika med arccos ! ! , !" − !"
(vi) är kryssprodukten UxV = !" − !" . !" − !"
(vii) är kryssprodukten en vektor vars längd är ! ! sin !. Extra övningar 147. Bestäm u och v för följande orter A: 30°E 60°N B: 30°E 60°S C: 30°W 60°S D: 90°S E: 0°E 0°N 148. Bestäm longitud och latitud för orterna med följande (u , v): F: (45°, 60°) H: (45°, 120°) I: (–135°, 90°) J: (–90°, 150°) L: (180°, 30°) N: v = 0 Q: (135°, 30°). 149. Är latitudcirklarna storcirklar? 150. Bestäm kortaste avståndet längs jordytan mellan följande punkter i uppgift 147 och 148 ovan. Svara dels exakt, dels med närmevärde avrundat till hela mil: a) B och C b) A och E c) H och I d) F och J e) A och B f) N och L g) I och Q (Exakt svar är förstås egentligen meningslöst. Men en bra trigonometriträning.) Facit 150a) (2000arccos(7/8))/π ≈ 322 mil b) (2000arccos( 3/4))/π ≈ 715 mil ! !! !
c) 5000/3 ≈ 1667 mil d) (2000arccos −
)/π ≈ 1530 mil !
e) 4000/3 ≈ 1333 mil f) 1000/3 ≈ 333 mil g) 1000 mil Ytterligare uppgift 151a) Du går en mil längs den sextionde breddgraden. Hur lång är den kortaste vägen tillbaks (längs jordytan)? b) Vad blir svaret om en mil ersätts med 10 mil, 1 km, 1m, 1mm? c) Hur långt från sextionde breddgraden kommer man som längst i 151a?
