MMVF01 Termodynamik och strömningslära Repetitionsfr˚agor

MMVF01 Termodynamik och strömningslära
Repetitionsfrågor — termodynamik
(inkl. svar i kursiv stil; utan figurer)
Sidhänvisningar: Çengel & Boles (7th Edition in SI Units, 2011).
CH. 1 — TERMODYNAMIKENS GRUNDER
1.1 Deﬁniera eller förklara kortfattat
(a) termodynamiskt system (slutet system)
= identiﬁerbar, ﬁxerad mängd massa, omsluts av systemgräns. (fö + s. 10/11)
(b) kontrollvolym (öppet system)
= viss speciﬁcerad volym, t.ex. runt en kompressor eller en turbin. Massa tillåts passera volymens s.k.
kontrollytor. (s. 11)
(c) tillståndsstorhet
= mätbar storhet för ett system i jämvikt; värdet är oberoende av hur tillståndet uppnåtts. (fö + s. 12)
(d) extensiv/intensiv storhet
En extensiv storhet är proportionell mot systemets massa (massberoende storhet), t.ex. energi. En intensiv
storhet är oberoende av systemets massa (massoberoende storhet), t.ex. temperatur. (s. 12)
(e) kvasistatisk process
= process som sker så långsamt att avvikelser från jämviktsförhållanden under processen är försumbara.
(s. 15)
(f ) cyklisk process (kretsprocess)
= process där mediet återgår till begynnelsetillståndet vid slutet av processen, oftast repetitivt (cykliskt).
(s. 16)
(g) isobar/isoterm/isokor process
= process under konstant tryck (isobar)/temperatur (isoterm)/volym (isokor). (s. 16)
(h) stationär process
= process i vilken alla ﬂöden genom en kontrollvolym är konstanta i tiden; alla storheter är konstanta i
tiden i resp. punkt inom kontrollvolymen. (s. 16/17)
(i) den exakta relationen mellan Kelvins och Celsius temperaturskalor
T [K] = T [◦ C] + 273.15 (s. 19)
1.2 Vad menas med termodynamisk (fullständig) jämvikt? Vilka fyra kriterier måste vara uppfyllda? Vid fullständig jämvikt för ett system existerar inga drivande potentialer inom detsamma. För
detta krävs termisk jämvikt (samma temperatur överallt), mekanisk jämvikt (samma tryck), fasjämvikt
(samma massa i varje fas) samt kemisk jämvikt (samma kemiska sammansättning). (s. 14/15)
1.3 (a) Deﬁniera vad som menas med ett enkelt kompressibelt system.
= system med försumbar inverkan av rörelse, gravitation, ytspänning samt elektriska och magnetiska krafter. (s. 15)
(b) Formulera det s.k. tillståndspostulatet (eng. The State Postulate).
Tillståndet (jämviktstillståndet) för ett enkelt kompressibelt system är fullständigt beskrivet av två oberoende intensiva tillståndsstorheter, t.ex. temperatur T och volymitet v. (s. 15)
1.4 Redogör för termodynamikens nollte huvudsats. (Vad som menas med lika resp. olika temperatur?)
Två system har lika temperatur om de är i termisk jämvikt med varandra, d.v.s. om ingen förändring sker
om de får kommunicera (bortsett från ev. kemiska reaktioner). Betrakta två system (S1 och S3) med lika
temperatur. När system S3 förs i kontakt med ett system S2 sker märkbara förändringar. Om dessa inte
beror av kraftverkan mellan systemen är temperaturen för S1 och S2 olika. (s. 17 + fö)
1.5 Beskriv principen för en gastermometer vid konstant volym.
Låt en ideal gas vara innesluten i en behållare som håller konstant volym. Till behållaren är en tryckgivare
(absolut tryck) ansluten. När behållaren är i termisk jämvikt med sin omgivning är trycket ett direkt
mått på den absoluta temperaturen, T = C × P . Detta förutsätter att gasen uppfyller ideala gaslagen,
P V = mRT . Konstanten C bestäms lämpligen vid en referenstemperatur, C = Tref /P@Tref . (s. 18/19)
CH. 2 — ENERGI, GRUNDLÄGGANDE ENERGIANALYS
2.1 Redogör detaljerat för de energiformer som innefattas i begreppet inre energi.
Inre energi = summan av atomernas/molekylernas kinetiska och potentiella energi relativt masscentrum.
1
Uppdelning kan göras i sensibel energi, latent energi, kemisk energi samt kärnenergi; sensibel energi är
summan av atomernas/molekylernas kinetiska energi (translation, rotation, vibration, etc.); latent energi
den potentiella energi som kommer sig av bindningar mellan molekyler; kemisk energi = potentiell energi
p.g.a. bindningar mellan atomer; kärnenergi = potentiell energi upplagrad inom atomkärnorna. (s. 55/56)
2.2 Deﬁniera begreppet värme (värmeutbyte). Vad avses med adiabatiska förhållanden eller att
en process är eller kan betraktas som adiabatisk?
Värme är det (energi-)utbyte mellan system och dess omgivning som sker p.g.a. temperaturdiﬀerens. En
adiabatisk process är en process utan värmeutbyte, ex. Tsys = Tsurr eller kraftig värmeisolering, eller en
process där värmeutbytet kan försummas (jämfört med annat energiutbyte). (s. 60/61)
2.3 Deﬁniera begreppet arbete (termodynamiskt). Förklara varför arbete inte kan vara en tillståndsstorhet.
Ev. massutbyte oräknat är arbete det energiutbyte (under en process) som inte är värme (värme är det
energiutbyte som sker p.g.a. olikhet i temperatur). Arbete är ett energiutbyte som sker p.g.a. kraftverkan
längs en sträcka. Arbetet beror av processvägen och kan därför inte vara en mätbar egenskap för ett system
i jämvikt. (s. 62/63)
2.4 Förklara vad som avses med axelarbete och elektriskt arbete. Ange generella uttryck på hur
dessa arbeten kan beräknas.
Axelarbete = det arbete som förmedlas över en systemgräns genom vridning (rotation) av en axel via skjuvpåverkan (vridmoment); Wsh = 2πnsh T , där T är vridmomentet (förutsatt konstant) och nsh antalet varv
som axeln roterat. Elektriskt arbete = det arbete som förmedlas över en systemgräns via elektromotoriska
krafter (elektrisk spänning) verkande på elektriskt laddade partiklar (i en sluten krets); We = Ẇe ∆t, där
Ẇe = Ve I är elektrisk eﬀekt (Ve elektrisk spänning, I elektrisk strömstyrka) och ∆t förﬂuten tid. (s. 65/66)
2.5 Formulera den allmänna energiprincipen.
Energi kan varken skapas eller förstöras; kan endast omvandlas till andra energiformer. Energi är en
massberoende (extensiv) tillståndsstorhet. (s. 70)
2.6 Formulera i ord och symboler principen om energins oförstörbarhet gällande en kontrollvolym. Energiutbyte kan ske på tre olika sätt, vilka?
Netto energiutbyte in i en kontrollvolym (öppet system) via arbetsutbyte, värmeutbyte och masstransport
är lika med ändringen av energi inom kontrollvolymen, Ein − Eout = ∆ECV . (s. 71–73)
CH. 3 — EGENSKAPER FÖR ENHETLIGA ÄMNEN
3.1 Deﬁniera eller förklara kortfattat
(a) enhetligt ämne
= ett homogent ämne med enhetlig kemisk sammansättning även om fasomvandling sker. (s. 112) (Ett
rent ämne, ex. H2 O, är alltid ett enhetligt ämne.)
(b) komprimerad vätska (underkyld vätska)
= en vätska som inte är på gränsen till förångning. (s. 114)
(c) mättad vätska
= en vätska som är på gränsen till förångning. (s. 114)
(d) kondensation
= fasomvandling ånga (gas) till vätska. (s. 114)
(e) mättad ånga
= ånga som är på gränsen till kondensation. (s. 114)
(f ) överhettad ånga
= ånga som inte är på gränsen till kondensation. (s. 115)
(g) ångtryckskurva
= kurva som anger sambandet mellan förångningstemperatur och tryck, slutar i kritiska punkten. (s. 116)
(h) kritiskt tryck Pcr
= tryck vid kritiska punkten, d.v.s. i den punkt där mättad vätska = mättad ånga. (s. 118)
(i) trippelpunkt
= den punkt som motsvarar jämviktstillståndet där alla tre faserna, fast fas, vätska och gas, är närvarande.
(s. 121)
(j) sublimation
= fasomvandling mellan fast fas och ånga (gas), eller omvänt. (s. 122)
(k) entalpi h
h = u + P v [J/kg], där u inre energi per massenhet, P tryck, v volymitet, volym per massenhet. (s. 124)
(l) förångningsentalpi hfg
hfg = hg − hf , där hg är entalpin för mättad ånga och hf d:o (likaledes) för mättad vätska, bägge per
2
massenhet. (s. 125)
(m) speciﬁk ångmängd x
= massan mättad ånga i förhållande till den totala massan i en mättnadsblandning, x = mg /m. (s. 127)
(n) medelmolvikt (molmassa) M
= massan i kg för 1 kmol av ett visst ämne. (s. 135)
(o) ideal gas
= gas som uppfyller ideala gaslagen, P v = RT , där R är gaskonstanten [J kg−1 K−1 ]; T absolut temperatur
(i kelvin); P absolut tryck (relativt vakuum). (s. 135/6)
3.2 Markera gasfas, vätskefas samt det fuktiga området i ett schematiskt P -v–diagram (enhetligt ämne). Markera undre gränskurvan, övre gränskurvan, kritiska punkten samt rita in två
isotermer (där T2 > T1 ) som börjar i vätskefas, passerar genom det fuktiga området, och
slutar i gasfas. s. 120 (Fig. 3-18b)
3.3 Skissera ett schematiskt P -T –diagram (fasdiagram) för vatten och markera områden för olika
faser. Markera speciellt kritiska punkten samt trippelpunkten. I vilket avseende i diagrammet skiljer sig vatten från i princip alla andra ämnen? Se Fig. 3-23 (s. 123). Vattens smältpunkt
minskar med ökande tryck, tvärtemot nästan alla andra ämnen.
3.4 Härled ett uttryck på volymiteten för ett system bestående av ett enhetligt ämne i det
fuktiga området. Speciﬁk ångmängd är x och vid aktuell temperatur är volymiteten för
mättad vätska vf och volymiteten för mättad ånga vg .
Betrakta en viss volym V av ämnet, V = Vf + Vg , där Vf är volymen mättad vätska och Vg volymen mättad
ånga. Volymen har totala massan m och dess volymitet (medelvolymitet) är då v = V/m; V = mv =
mf vf + mg vg , där mf = m − mg . Med x = mg /m fås v = (1 − x)vf + xvg = vf + x(vg − vf ). (s. 127/8)
3.5 Ange ideala gaslagen samt diskutera dess giltighet m.a.p. inverkan av tryck och temperatur.
Markera giltighetsområde i ett schematiskt T -v-diagram.
Ideala gaslagen: P v = RT , där R är gaskonstanten [J kg−1 K−1 ] och T absolut temperatur (i kelvin).
Ideala gaslagen uppnås vid tillräckligt låga tryck oavsett temperatur; gäller också med god noggrannhet vid
tillräckligt höga temperaturer om inte trycket är alltför högt. Figur 3-47 (skisseras) visar att mättad och
överhettad vattenånga kan betraktas som en ideal gas (avvikelse från Z = P v/(RT ) = 1 mindre än 1%) om
trycket är lägre än ca. 50 kPa. Från den övre gränskurvan sträcker sig gränslinjen för giltighetsområdet
snett upp åt vänster. Avvikelserna från ideala gaslagen är mycket stora kring och till vänster om den
kritiska punkten. (s. 135/7)
3.6 Deﬁniera kompressibilitetsfaktorn Z, reducerat tryck PR , reducerad temperatur TR , samt
redogör för principen om korresponderande tillstånd. Illustrera med ﬁgur, Z = Z(PR , TR ).
Kompressibilitetsfaktorn Z = P v/(RT ) har för en mängd gaser visat sig vara en unik funktion av reducerat
tryck PR = P/Pcr och reducerad temperatur TR = T /Tcr , Z = Z(PR , TR ). Kännedom om gaskonstant R,
aktuellt tryck P och temperatur T samt motsvarande vid kritiska punkten (Pcr och Tcr ) innebär alltså att
volymiteten v kan bestämmas (ur diagram, se Fig. 3-49, skisseras). (s. 138/9)
CH. 4 — ENERGIANALYS, SLUTNA SYSTEM
4.1 Förklara vad som avses med volymändringsarbete (slutet system). Ange ett generellt uttryck på hur detta arbete kan beräknas.
Volymändringsarbete = det arbete som innebär förﬂyttning av ett
∫ systems begränsningsyta i samband med
kraftverkan i förﬂyttningens rikt ning (normalkrafter); Wb = Pb dV, där Pb är trycket verkande mot
systemgränsen där volymändring dV sker. (s. 164/5)
4.2 Ange de generellt accepterade teckenreglerna för arbete resp. värme. Illustrera med ﬁgur.
Arbete räknas positivt om systemet utför arbetet (inverkan på systemets omgivning kan tänkas helt omvandlat till lyftning av en vikt). Arbetet är negativt om det är omgivningen som utför det positiva arbetet.
Värme räknas positivt om värme “tillförs” systemet d.v.s. om systemets temperatur (lokalt) är lägre än
omgivningens. (s. 63, 170)
4.3 Härled ett uttryck på det mekaniska arbete måste tillföras en gas för att komprimera densamma i en cylinder m.h.a. en friktionsfri (lättrörlig) kolv. Om processen är kvasistatisk,
hur kan då detta arbete åskådliggöras i ett tillståndsdiagram?
Arbetets belopp är kraftkomposanten i förﬂyttningens riktning multiplicerat med förﬂyttningen. Vid en liten förﬂyttning ds av kolven är detta arbete lika med F ds. Eftersom kolven är friktionsfri är kraften F
lika med det tryck som verkar mot kolvens inneryta multiplicerat med denna ytas area, F = Pb A. Arbetet
(som gasen uträttar) blir δWb = Pb A ds = Pb dV, där dV är volymsförändringen; Vid kvasistatisk process
∫2
är trycket hela tiden homogent i behållaren, Pb = P . Efter integration fås Wb = (Wb )net,out = 1 P dV;
3
∫2
vid kompression d.v.s. volymminskning, Wb,in = − 1 P dV. Vid kvasistatisk process representeras alltså
arbetet av ytan under processkurvan i ett P -V–diagram. (s. 164/5)
4.4 Bestäm volymändringsarbetet vid en kvasistatisk isoterm process för en ideal gas. Givna data
är temperaturen, gasens begynnelse-∫ och slutvolym, liksom gasens massa och gaskonstant.
2
Kvasistatiskt volymändringsarbete: Wb = 1 P dV. För en ideal gas gäller P V = mRT , d.v.s. vid isoterm
∫2
process P = C/V där C = mRT = konst. Insättning ger Wb = C 1 dV/V = mRT ln V2 /V1 . (s. 167/8)
4.5 (a) Formulera i ord och symboler termodynamikens första huvudsats gällande ett slutet
system. Ingående storheter skall klarläggas.
För alla processer med ett slutet system gäller att summan av nettoutbytet in av värme och arbete är lika
med systemets totala energiändring. I symboler: Qnet,in + Wnet,in = Qnet,in − Wnet,out = ∆Esys , eller med
teckenkonvention: Q − W = ∆E. Alternativ formulering (s. 70): För alla adiabatiska processer mellan
två givna tillstånd med ett slutet system är nettoarbetet detsamma, oavsett processväg; vilket följer av
ovanstående, Q = 0 samt att E är en tillståndsstorhet. (s. 170)
(b) Under vilka omständigheter för slutna system gäller Q − Wother = ∆H? Visa att relationen
följer under dessa omständigheter.
Sambandet gäller vid kvasistatiska isobara processer med enkla kompressibla system. Energibalans, slutna
system:∫ Q − W = ∆E; enkla kompressibla∫system: ∆E = ∆U ; arbetsuppdelning, W = Wb + Wother , där
Wb = Pb dV; kvasistatisk process: Wb = P dV; d:o samt isobar process (konstant tryck): Wb = P ∆V;
entalpi H = U +P V, d.v.s. ∆H = ∆U +P ∆V vid konstant tryck. Insättning ger Q−Wother = ∆U +P ∆V =
∆H. (s. 171/2)
4.6 Deﬁniera eller förklara kortfattat
(a) polytrop process
= en process där sambandet mellan tryck P och volym V kan beskrivas m.h.a. P V n = C, där C och n är
konstanter; n = polytropexponent. (s. 168)
(b) speciﬁk värmekapacitet cv
cv = (∂u/∂T )v , partiella derivatan av den inre energin per massenhet m.a.p. temperaturen vid konstant
volym. Alt. i ord: cv är summan av det värme och arbete som måste tillföras 1 kg av ett ämne för att öka
dess temperatur 1 K vid en isokor process. (s. 174/5)
(c) speciﬁk värmekapacitet cp
cp = (∂h/∂T )P , partiella derivatan av entalpin per massenhet m.a.p. temperaturen vid konstant tryck. Alt.
i ord: cp är summan av det värme och arbete, volymändringsarbete oräknat, som måste tillföras 1 kg av
ett ämne för att öka dess temperatur 1 K vid en isobar process. (s. 174/5)
(d) perfekt gas
Perfekt gas = ideal gas med konstanta cp och cv ; ideal gas = gas som uppfyller P v = RT . (fö)
4.7 Visa att cp − cv = R för en ideal gas; utgångspunkt: matematisk deﬁnition av cv .
cv = (∂u/∂T )v . För en ideal gas beror inre energin u endast av temperaturen, u = u(T ) ⇒ cv = du/dT eller
du = cv dT . Entalpi: h = u + P v = u + RT = h(T ), ty P v = RT för en ideal gas. cp = (∂h/∂T )P = dh/dT
(inget beroende av P ) ⇒ dh = cp dT = du + R dT = (cv + R)dT , d.v.s. cp − cv = R. (s. 176/7/8)
CH. 5 — MASS- OCH ENERGIANALYS, ÖPPNA SYSTEM
5.1 Formulera i ord och symboler principen om massans oförstörbarhet gällande en kontrollvolym. Formulera i symboler (ange) denna princip gällande alla stationära processer.
Nettotransporten av massa in i en kontrollvolym (ett öppet system) är lika med ändringen av massan inom
kontrollvolymen, min − mout = ∆mCV . För en stationär process är alla massﬂöden in- resp. ut konstanta
i tiden och massan inom kontrollvolymen
konstant (dmCV /dt = 0). Summan av massﬂöden in är därför
∑
∑
lika med motsvarande ut, in ṁ = out ṁ. (s. 216–218)
5.2 Härled energiekvationen vid stationär strömning genom en kontrollvolym med ﬂera homogena in- och utlopp. Om in- och utmatningsarbete vid in- resp. utlopp tolkas som energi
(under transport) skall detta tydligt motiveras.
Energibalans: Ein − Eout = ∆ECV , eller med teckenkonvention Q − W + Emass,in − Emass,out = ∆ECV ,
där Q = Qin − Qout , W = Wout − Win = Wb + Wother . Eftersom kontrollytor vid stationära förhållanden
måste vara ﬁxerade är det enda volymändringsarbetet Wb i detta fall den energitransport som sker vid
in- och utmatning av massa vid in- och utlopp. Betrakta ett inlopp (inmatning). Under en viss (kort) tid
∆t trycker omgivningen här in massan mi sträckan L m.h.a. trycket P . Trycket verkar i samma riktning
som förﬂyttningen, vilket innebär arbetet P AL = P V = P v mi = (P v)in mi . Denna energitransport tillförs kontrollvolymen. På motsvarande sätt för utmatning vid utlopp; bortförd energi: (P v)out me . Eftersom
energi är en massberoende storhet bär masselementen mi och me också med sig energi (mi ein resp. me eout ).
4
∑
∑
Efter insättning fås (ﬂera in- och utlopp): Q − Wother + mi (e + P v)in − me (e + P v)out = ∆ECV = 0,
ty energin för CV (vid stationära förhållanden)
i tiden. Med e = u + ke + pe, h = u + P v
∑ är konstant
∑
(entalpi) och θ = h+pe +ke fås∑
Q−Wother∑=
me θe − mi θi (index e vid utlopp; i vid inlopp). Division
med ∆t → 0 ger Q̇ − Ẇother = ṁe θe − ṁi θi . (s. 221–223, 225–226, fö)
5.3 Beskriv skillnaden mellan ett munstycke och en diﬀusor. Ange approximativa energisamband
för resp. apparat vid stationära adiabatiska förhållanden.
Energibalans, kontrollvolym, ett inlopp (1), ett utlopp (2), stationära förhållanden; inget tekniskt arbete,
wother = 0; adiabatiskt, q = 0: h1 + V12 /2 = h2 + V22 /2 + ∆pe. Ett munstycke är en apparat vars främsta
uppgift är att (kraftigt) öka hastigheten för ett strömmande medium. Med ∆pe = 0 (försumbart eller
horisontellt) är entalpiskillnaden mellan in- och utlopp lika med ökningen i kinetisk energi; V2 ≫ V1 ⇒
h2 ≃ h1 − V22 /2 (entalpin minskar). En diﬀusor är en apparat vars främsta uppgift är att (kraftigt) minska
hastigheten för ett strömmande medium. Med ∆pe = 0 är entalpiskillnaden mellan ut- och inlopp lika med
minskningen i kinetisk energi; V1 ≫ V2 ⇒ h2 ≃ h1 + V12 /2 (entalpin ökar). (s. 228/9)
5.4 Vilken intensiv tillståndsstorhet kan oftast betraktas som konstant vid stationära (tidsoberoende) förhållanden genom en adiabatisk strypanordning? Beskriv varför.
Entalpin h kan oftast betraktas som konstant vid adiabatisk strypning (ex. strypventiler, kapillärrör, m.m.).
Betrakta en kontrollvolym (CV) runt en strypanordning med ett inlopp (i) och ett utlopp (e). Energiekvationen vid stationär strömning, per massenhet: q − wother = he − hi + ∆ke + ∆pe. Vid strypning sker
expansion (tryckminskning) utan tekniskt arbetsutbyte, wother = 0; adiabatisk process ⇒ q = 0. Oftast
kan också ändringar i potentiell och kinetisk energi (mellan in- och utlopp) försummas, ∆pe = ∆ke = 0.
Energiekvationen ger he = hi eller h = konst. (s. 233)
CH. 6 — ANDRA HUVUDSATSEN
6.1 Vad menas med ett värmemagasin? Ange minst två exempel.
Ett värmemagasin är ett system med vilket man kan utbyta värme utan att dess temperatur ändras, d.v.s.
värmemagasinet har mycket hög värmekapacitet; exempel: atmosfären, sjöar och vattendrag, system under
fasomvandling, värmepannor. (s. 275)
6.2 Vilka är de fyra mest karakteristiska “egenskaperna” för en värmemotor?
(1) De mottar värme från ett värmemagasin vid en hög temperatur, TH
(2) De omvandlar en del av detta värme till arbete
(3) De avger resterande värme till ett värmemagasin vid en låg temperatur, TL < TH
(4) De arbetar cykliskt (s. 276)
6.3 Deﬁniera eller förklara kortfattat
(a) termisk verkningsgrad ηth
Termisk verkningsgrad = nettoarbete ut dividerat med totalt tillfört värme, ηth = Wnet,out /Qin ; kretsprocess, slutet system = värmemotor. (s. 278)
(b) totalverkningsgrad ηoverall för en bränsledriven elkraftsanläggning (kraftstation)
Totalverkningsgrad = nettoeﬀekt el ut från kraftstationen dividerat med massﬂödet bränsle multiplicerat
bränslets värmevärde, ηoverall = Ẇnet,el /(ṁfuel × HV). (s. 80, fö)
(c) köldfaktor COPR
Köldfaktor = upptaget värme dividerat med kretsprocessens nettoarbete in,
COPR = Qin /Wnet,in ; slutet system = kylmaskin (Refrigerator). (s. 283)
(d) värmefaktor COPHP
Värmefaktor = bortfört värme dividerat med kretsprocessens nettoarbete in,
COPHP = Qout /Wnet,in ; slutet system = värmepump (Heat Pump). (s. 283)
6.4 (a) Formulera termodynamikens andra huvudsats enligt Kelvin-Planck och enligt Clausius.
Illustrera.
Kelvin-Planck: Det är omöjligt att konstruera en värmemotor vilken uträttar arbete och enbart tillförs
värme, se Fig. 6-18. (s. 281)
Clausius: Det är omöjligt att konstruera en kretsprocessmaskin vars enda verkan är att uppta värme vid
en låg temperatur och avge detsamma (lika mycket) vid en högre temperatur, se Fig. 6-26. (s. 286/7)
(b) Visa att de bägge formuleringarna av andra huvudsatsen (Kelvin-Planck och Clausius)
är ekvivalenta. OBS! A ⇒ B och B ⇒ A innebär A ⇔ B.
(1) A (Kelvin-Planck) möjlig ⇒ B (Clausius) möjlig. Låt den tänkta maskinen A driva en vanlig kylmaskin
R. Kombinationen (kretsprocessmaskinen) A + R har nu som enda verkan att uppta värme vid en låg
temperatur och avge detsamma vid en högre, en maskin B.
(2) B möjlig ⇒ A möjlig. Låt en vanlig värmemotor HE arbeta mellan samma två värmemagasin som den
5
tänkta maskinen B. Anpassa HE så att den avger lika mycket värme som B upptar (via värmemagasinet
TL ). Kombinationen B + HE+ värmemagasinet TL är nu likvärdig med en maskin A, vilken upptar värme
vid en temperatur och helt omvandlar detta värme till arbete. (s. 287/8 + fö)
6.5 Ange fyra grundläggande faktorer (irreversibiliteter) som var och en och när de uppträder
innebär att en process är irreversibel.
Friktion; blandning av gaser (diﬀusion); expansion utan arbetsutbyte, t.ex. strypning; värmeutbyte vid
ändlig temperaturdiﬀerens; elektriskt motstånd; icke-elastisk deformation hos fasta material; kemiska reaktioner; . . . . (s. 291/2)
6.6 Förklara vad som menas med en
(a) internt reversibel process
En process är internt reversibel om inga irreversibiliteter uppträder inom systemet. Systemet genomgår
exakt samma jämviktstillstånd vid en revertering av processen. (s. 293)
(b) reversibel process
En process är reversibel om inga irreversibiliteter uppträder vare sig inom systemet eller i dess omgivning.
Vid (tänkt) revertering av processen genomgår systemet och dess omgivning exakt samma jämviktstillstånd.
Reversibla processer går aldrig helt att realisera, är dock av stor teoretisk betydelse. (s. 290/3)
6.7 Förklara genom resonemang och med hänvisning till andra huvudsatsen enligt Kelvin-Plancks
alt. Clausius formulering varför (a) värmeutbyte vid ändlig temperaturdiﬀerens och (b) expansion utan arbetsutbyte är irreversibla processer.
(a) Betrakta t.ex. en kall burk med cola som tas ut ur ett kylskåp och placeras i en omgivning med högre temperatur. Burken och dess innehåll kommer till slut att få samma temperatur som omgivningen
(värmeutbyte vid ändlig temperaturdiﬀerens). Processen är irreversibel eftersom det för att återställa både
colaburkens och omgivningens tillstånd till vad som var innan t.ex. krävs tillgång till en kylmaskin som
inte kräver något arbete (omöjligt enligt Clausius). Om colaburken ställs in i samma kylskåp som den kom
ifrån återgår burken (inkl. sitt innehåll) givetvis till sitt ursprungstillstånd — men eftersom det arbete
som detta kräver omvandlas till ett värmeutbyte (vid kylskåpets baksida), vilket i sin tur för att omvandlas
tillbaka till arbete kräver en värmemotor med 100% termisk verkningsgrad (omöjligt enligt Kelvin-Planck),
kan inte omgivningens tillstånd återställas.
(b) Betrakta en isolerad och stel behållare som är uppdelad i två delar, den ena med en viss typ av gas
vid högt tryck, den andra med samma typ av gas fast vid lägre tryck. Den tänkta skiljeväggen tas bort och
gasen uppnår ett nytt jämviktstillstånd. Med systemgräns runt insidan på behållaren inses via energibalans
att systemets energi inte ändrats (inget värme- eller arbetsutbyte). För att återställa ursprungstillståndet
krävs arbete utifrån (t.ex. via en kolvanordning), vilket kommer att öka energin för systemet i motsvarande
grad. Systemet har inga egna möjligheter att omvandla denna energihöjning till ett motsvarande arbetsutbyte igen (vilket skulle innebära att också omgivningens tillstånd återställs). Det krävs tillgång till en
värmemotor med 100% termisk verkningsgrad, vilket är omöjligt enligt Kelvin-Planck. (s. 292)
6.8 Formulera Carnots två principer angående termisk verkningsgrad för irreversibla resp. reversibla värmemotorer (arbetsgivande kretsprocessmaskiner).
(1) Termiska verkningsgraden för en irreversibel värmemotor är alltid lägre än för motsvarande reversibla
värmemotor (samma värmemagasin).
(2) Alla reversibla värmemotorer vid vilka värmeutbytet med omgivningen sker vid två konstanta temperaturer har samma termiska verkningsgrad. (s. 296)
Bevisa bägge principerna. Illustrera.
(1) De bägge maskinerna arbetar mellan samma värmemagasin och anpassas så att de (båda var för sig)
mottar lika mycket värme QH från det varma magasinet vid TH , se Fig. 6-41. Revertera nu den reversibla
motorn (så att den blir en kylmaskin). Dess bägge värmeutbyten liksom dess arbetsutbyte byter riktning
utan att beloppen ändras. Nettovärmeutbytet med det varma magasinet är då noll. Antag att den irreversibla motorn har högre termisk verkningsgrad än den reversibla. Eftersom ηth = 1 − QL /QH avger den
mindre spillvärme till det kalla magasinet (vid TL ) än den reverterade motorn upptar, QL,rev −QL,irrev > 0.
Den ger ju också ut mer arbete än den reverterade mottar, ty Wnet,out = ηth QH . De bägge maskinerna
tillsammans med det varma magasinet vid TH är nu en omöjlig maskin enligt Kelvin-Plancks formulering.
Verkningsgraden kan alltså inte vara högre för den irreversibla motorn. Verkningsgraderna kan ju heller
inte vara lika eftersom den irreversibla motorn då skulle vara reversibel.
(2) Antag att två reversibla värmemotorer är kopplade mellan samma värmemagasin. Enligt beviset för
Carnots första princip kan varken den ena eller den andra motorns termiska verkningsgrad vara högre än
den andra. De måste därför vara lika. (s. 296/7)
6.9 (a) En uppﬁnnare påstår sig ha tillverkat en värmemotor som vid optimala driftsförhållanden
har en termisk verkningsgrad av ηth = 40%, då arbetsmediets högsta och lägsta temperatur
6
är 177◦ C resp. 27◦ C. Kan detta vara möjligt? Motivera.
Den högsta termiska verkningsgrad en värmemotor kan ha är ηth,max = 1 − TL /TH , där TL och TH är
processens lägsta och högsta temperatur (Carnotmotor, reversibel kretsprocess; värmeutbyte med värmemagasin TL och TH , vid försumbara temperaturdiﬀerenser). Detta fall: TL = 27◦ C = (27+273) K = 300 K,
TH = 177◦ C = (177 + 273) K = 450 K, ηth,max = 1 − 300/450 = 1 − 2/3 = 1/3 = 33% < 40%, d.v.s.
omöjligt. (s. 299)
(b) En uppﬁnnare påstår sig ha tillverkat en kylanläggning som med en köldfaktor på
COPR = 12 klarar att hålla ett kylrum vid temperaturen 7◦ C då utetemperaturen är 35◦ C.
Kan detta vara möjligt? Motivera svaret. Det förutsätts att inget värmemagasin med temperatur mellan de båda angivna nivåerna kan utnyttjas.
Den teoretiskt högsta köldfaktorn fås om kylanläggningen är en reverterad Carnotmotor, och för denna
reversibla kretsprocessmaskin gäller COPR,rev = TL /(TH − TL ). Med TL = (273 + 7) K = 280 K och
(TH − TL ) = 28 K fås COPR,rev = 10, d.v.s. COPR = 12 är omöjligt. (s. 303)
CH. 7 — ENTROPI
7.1 (a) Deﬁniera entropiskillnad (entropiändring ∆S) för ett slutet system vid given tillståndsförändring.
∫2
∆S = S2 − S1 = 1 (δQ/T )int rev , där T är temperaturen på systemgränsen där värmeutbytet sker; (δQ/T )
ska evalueras längs en internt reversibel processväg. (s. 330)
(b) Ett system genomgår en process mellan två givna tillstånd. I vilket fall är entropiändringen för systemet störst, vid en reversibel eller vid en irreversibel process? Motivera.
Entropiändringen är densamma vid bägge processerna; entropi är en tillståndsstorhet. (s. 330)
(c) Bestäm entropiändringen för ett slutet system som genomgått en internt reversibel isoterm process. ∫
∫2
2
∆S = S2 − S1 = 1 (δQ/T )int rev = T0−1 1 (δQ)int rev = Q/T0 = (Qin − Qout )/T0 . (s. 330/1)
7.2 (a) Ange ett entropisamband (m.h.a. symboler) gällande alla processer och alla system.
Klargör termerna och ange speciellt ett generellt villkor för en av termerna.
Alla system, alla processer: Sin − Sout + Sgen = ∆Ssys . Sin och Sout är transport av entropi in resp. ut ur
systemet p.g.a. mass- och värmeutbyte; Sgen är genererad entropi innanför systemgränsen (kontrollytan)
p.g.a. irreversibiliteter; ∆Ssys är systemets totala entropiändring. Sgen är alltid större än eller lika med
noll, Sgen ≥ 0, med likhetstecken endast för en internt reversibel process. (s. 371/3/4)
(b) Förklara detaljerat vad som avses med buﬀertzoner och utvidgade system/kontrollvolymer vid entropiberäkningar.
Med buﬀertzoner avses de områden utanför ett system (slutet eller öppet system = kontrollvolym) som
påverkas av systemet/processen. Ett utvidgat system är ett system som inkluderar dessa buﬀertzoner.
Utvidgade system används vid beräkning av total entropigenerering för en process (som alltid är större
än noll, Sgen,tot > 0). Vid värmeutbyte sträcks systemgränsen eller kontrollytan ut så att den hamnar i
den omgivning med konstant temperatur Tk som systemet har sitt värmeutbyte med; entropitransporten
över denna gräns eller yta är då lika med Qk /Tk , där entropitransporten följer energitransporten p.g.a. av
värmeutbytet. För ett system/process utan värmeutbyte behöver inte systemet/kontrollvolymen utvidgas.
(s. 370–380; Fig. 7.xx)
7.3 Härled de s.k. T ds-relationerna (två stycken); utgångspunkt: första huvudsatsen på differentiell form, enkelt kompressibelt system.
1:a HS (energibalans), enkelt kompressibelt (slutet) system, per massenhet: δq − δw = du. Betrakta en
internt reversibel process med enbart kvasistatiskt volymändringsarbete. Enbart kvasistatiskt volymändringsarbete → δw = δwb = P dv; internt reversibel process → δq = T ds. Insättning ger T ds = du + P dv
(1). Entalpi: h = u + P v → dh = du + P dv + v dP = T ds + v dP , d.v.s. T ds = dh − v dP (2). (s. 345/6)
7.4 För en ideal gas, förklara orsaken till skillnad i lutning mellan
(a) isobar och isokor i T -s–diagram
(b) isoterm och isentrop i P -v–diagram
Ledning: T ds = du + P dv
(a) Lutning i T -s–diagram beskrivs av derivatan dT /ds. Med h = u + P v fås dh = du + P dv + v dP , d.v.s.
T ds = dh−v dP (T ds-2). Ideal gas: du = cv dT , dh = cp dT . (1) isobar process, dP = 0 ⇒ dT /ds = T /cp ;
(2) isokor process, dv = 0 → dT /ds = T /cv > T /cp ty cp − cv = R > 0, d.v.s. isokoren lutar mer (uppåt)
än isobaren. (fö, Fig. 7-11, s. 350)
(b) Lutning i P -v–diagram beskrivs av derivatan dP/dv. Diﬀerentiering av h = u + P v ger dh = du +
P dv + v dP , som tillsammans med ledningen ger T ds = dh − v dP . Isentropisk process (ds = 0): 0 =
7
T ds = du + P dv = dh − v dP , d.v.s. dP/dv = (dh/v)/(−du/P ) = −(dh/du)(P/v). Eftersom du = cv dT
och dh = cp dT för ideal gas fås −dP/dv = (cp /cv )(P/v) = k(P/v), där k = cp /cv > 1. Vid isoterm
process, dT = 0, är P v = RT = konst., −dP/dv = RT /v 2 = P/v < k(P/v), d.v.s. isentropen lutar mer
(nedåt) än isotermen. (fö, s. 350/3, Fig. 7-45)
7.5 Under vilka förutsättningar gäller P v k = konst.? (k = cp /cv ) Härled formeln utifrån den
termodynamiska relationen T ds = dh − v dP .
Förutsättningar: isentrop process med en perfekt gas. Entalpi: h = u + P v, d.v.s. dh = du + P dv + v dP ,
vilket ger T ds = du + P dv. Perfekt gas: du = cv dT , dh = cp dT (där cv och cp är konstanter). Isentrop
process ⇒ ds = 0, d.v.s. v dP = cp dT samt P dv = −cv dT , eller v dP/(P dv) = −cp /cv = −k. Omskrivning: dP/P = −k(dv/v); integration ger ln p = −k ln v + konst. = ln(Cv −k ), där C är en konstant.
Anti-logaritmering ger P v k = C = konst. (s. 351/3/4)
7.6 Rita upp en arbetsgivande Carnotprocess i T -s–diagram (godtyckligt medium) samt P -v–
diagram (ideal gas). Ange delprocesser, markera värmeutbyten samt härled, via deﬁnitionen
av entropiskillnad, ett uttryck för processens termiska verkningsgrad ηth .
Delprocesser: (1) isentrop kompression, (2) isoterm värmetillförsel, (3) isentrop expansion samt (4) isoterm värmeavgivning till utgångstillståndet. Detta blir en rektangel i ett T -s–diagram (Fig. 7-19). För en
ideal gas lutar isentroper (internt reversibla adiabater) snett nedåt i ett P -v–diagram (Fig. 6-38); isotermer lutar också nedåt, fast med mindre lutning. Termisk verkningsgrad: ηth = Wnet,out /QH ; kretsprocess:
Wnet,out = Q∫net,in = QH − QL , d.v.s. ηth = (QH − QL )/QH = 1 − QL /QH . Deﬁnition av entropiskillnad: ∆S = (δQ/T )int rev . Eftersom alla delprocesser är reversibla är de även internt reversibla, d.v.s.
S2 − S1 = QH /TH samt S4 − S3 = −QL /TL . Eftersom S2 − S1 = S3 − S4 fås QL /QH = TL /TH . Insättning
ger ηth = 1 − TL /TH . (s. 295/340/341)
7.7 Visa att termiska verkningsgraden för en godtycklig reversibel kretsprocessmaskin är lägre
än för en Carnotmotor om högsta och lägsta förekommande temperaturer är de samma.
För en Carnotprocess (Carnotmotor) sker värmeutbyten (QH och QL ) vid endast två temperaturer, TH
och TL . Processen motsvarar en rektangel i ett T -S–diagram. Betrakta nu en reversibel process med samma
högsta och lägsta temperatur (TH och TL ) fast där värmeutbyte även sker vid mellanliggande temperaturer.
I ett T -S–diagram kan denna process ha ett godtyckligt utseende. Låt nu den betraktade processen även
ha samma nettoarbete ut (och nettovärme in), d.v.s. ha samma omslutna area i diagrammet (detta är
ingen begränsning). Rent graﬁskt inses då att denna process måste avyttra ett större spillvärme jämfört
med Carnotprocessen, arean under kurvan i ett T -S–diagram är ju lika med värmeutbytet och ηth =
Wnet,out /Qin = Wnet,out /(Wnet,out + Qout ), där Qout > QL , d.v.s. ηth < ηth,Carnot . (fö, s. 340)
7.8 Deﬁniera isentropisk (adiabatisk) verkningsgrad för resp.
(a) en turbin,
= kvot mellan turbinens faktiska arbete ut och det arbete som skulle erhållits mellan turbinens faktiska
trycknivåer om denna process var isentropisk, vid givet inloppstillstånd, ηT = wa /ws . (s. 365)
(b) en kompressor.
= kvot mellan det arbete som måste tillföras kompressorn mellan kompressorns faktiska trycknivåer vid
en isentropisk process med givet inloppstillstånd och kompressorns faktiska arbetsbehov, ηC = ws /wa . (s.
367)
CH. 8 — TILLÄMPNINGAR AV ANDRA HUVUDSATSEN (EXERGI)
8.1 Beskriv i ord vad som menas med exergi för ett system.
Exergi är den del av ett systems energi som är maximalt åtkomlig för omvandling till nyttigt (användbart)
arbete, i en viss omgivning; systemets maximala arbetsförmåga. (s. 421)
8.2 Deﬁniera alt. förklara vad som menas med användbart arbete (eng. useful work). Hur skiljer
sig det verkliga arbetet från det användbara arbetet? Nämn ett fall där dessa är lika.
Det användbara arbetet för en process är det verkliga arbetet minus det arbete som inte kan nyttiggöras.
Det arbete som inte kan nyttiggöras är det volymändringsarbete som åtgår för att trycka undan omgivande
luft, Wsurr = P0 (V2 − V1 ), där P0 är omgivningens tryck. För alla isokora processer är Wsurr = 0 d.v.s.
Wu = W , liksom för alla kretsprocesser. (s. 424)
8.3 Deﬁniera alt. förklara vad som menas med reversibelt arbete. Hur skiljer sig det reversibla
arbetet från det användbara arbetet? När är det reversibla arbetet lika med exergin?
Reversibelt arbete = maximalt användbart arbete för en process med givet begynnelse- och sluttillstånd,
Wrev = Wu,max (Wu = W − Wsurr ). Skillnaden mellan det reversibla arbetet och det användbara arbetet
är den tappade arbetsförmågan, processens förstörda exergi (irreversibilitet), Wrev − Wu = Xdestroyed = I.
Det reversibla arbetet är lika med exergin då sluttillståndet är det döda tillståndet, d.v.s. då systemet är i
jämvikt med omgivningen. (s. 420, 424)
8
8.4 Deﬁniera termodynamisk eﬀektivitet ηII (“verkningsgrad enligt andra huvudsatsen”) för en
(a) värmemotor
= kvot mellan faktisk termisk verkningsgrad och d:o för motsvarande reversibla värmemotor, ηII = ηth /ηth,rev .
(s. 428)
(b) arbetsgivande process
= kvot mellan processens användbara arbete och dess reversibla arbete, ηII = Wu /Wrev . (s. 429)
(c) arbetskrävande process
= kvot mellan processens reversibla arbete och dess användbara arbete, ηII = Wrev /Wu . (s. 429)
(d) kylmaskin eller värmepump
= kvot mellan faktisk köldfaktor/värmefaktor och d:o för motsvarande reversibla kylmaskin/värmepump,
ηII = COP/COPrev . (s. 429)
8.5 Det användbara arbetet för en process med ett enkelt kompressibelt system i en viss omgivning med tryck P0 och temperatur T0 kan skrivas:
Wu = (U1 − U2 ) + P0 (V1 − V2 ) − T0 (S1 − S2 ) − T0 Sgen
Deﬁniera exergin för systemet i utgångstillståndet, X1 = mϕ1 .
Exergin för ett slutet system i ett visst tillstånd i en viss omgivning är lika med det maximalt användbara
arbetet vid en tänkt process som drivs till jämvikt med denna omgivning. För att få exergin skall alltså
sluttillståndet (tillstånd 2) vara det döda tillståndet (index noll) och processen vara reversibel (Sgen = 0),
d.v.s. X1 = mϕ1 = (U1 − U0 ) + P0 (V1 − V0 ) − T0 (S1 − S0 ). (s. 432/3)
CH. 9 — GASCYKLER
9.1 En arbetsgivande (cyklisk) kretsprocess med en perfekt gas består av följande delprocesser:
1 → 2 isobar värmeavgivning,
2 → 3 adiabatisk tryckhöjning i kompressor,
3 → 4 isokor tryckhöjning,
4 → 5 isobar värmetillförsel,
5 → 1 isoterm expansion.
Alla delprocesser utom (2 → 3) kan betraktas som internt reversibla.
(a) Rita upp processen i P -v– och T -s–diagram.
(b) Markera värmeutbyten samt ange med hjälp av dessa ett uttryck på processens termiska
verkningsgrad.
Arbetsgivande process d.v.s. medurs rotation i både P -v– och T -s–diagram.
P -v–diagram:
12
1 → 2 P2 = P1 , v minskar, bortfört värme qout
;
2 → 3 P ökar, v minskar, streckad linje ty icke-kvasistatisk;
34
;
3 → 4 P ökar, v4 = v3 , tillfört värme qin
45
4 → 5 P5 = P4 , v ökar; tillfört värme qin
;
51
.
5 → 1 P minskar, v ökar, tillfört värme qin
T -s–diagram:
12
1 → 2 T minskar, s minskar, bortfört värme qout
;
2 → 3 T ökar, s ökar, streckad linje ty icke-kvasistatisk;
34
3 → 4 T ökar, s ökar, tillfört värme qin
;
45
4 → 5 T ökar, s ökar, tillfört värme qin
;
51
5 → 1 T1 = T5 , s ökar; tillfört värme qin
.
Observera att isokoren 3 → 4 lutar mer (uppåt) än isobaren 4 → 5.
34
45
51
12
Termisk verkningsgrad: ηth = 1 − qout /qin , där qin = qin
+ qin
+ qin
och qout = qout
.
9.2 En arbetskrävande (cyklisk) kretsprocess med en perfekt gas består av följande internt reversibla delprocesser:
1 → 2 isobar värmetillförsel,
2 → 3 adiabatisk kompression,
3 → 4 isobar värmeavgivning,
4 → 1 isoterm expansion.
(a) Rita upp processen i P -v– och T -s–diagram.
(b) Markera värmeutbyten samt ange med hjälp av dessa ett uttryck på processens köldfaktor.
Arbetskrävande process d.v.s. moturs rotation i både P -v– och T -s–diagram.
P -v–diagram:
9
12
1 → 2 P2 = P1 , v ökar, tillfört värme qin
;
2 → 3 P ökar, v minskar;
34
3 → 4 P4 = P3 , v minskar, bortfört värme qout
;
41
4 → 1 P minskar, v ökar; tillfört värme qin .
Observera att isentropen 2 → 3 lutar mer (nedåt) än isotermen 4 → 1.
T -s–diagram:
12
1 → 2 T ökar, s ökar, tillfört värme qin
;
2 → 3 T ökar, s3 = s2 ;
34
3 → 4 T minskar, s minskar, bortfört värme qout
;
41
4 → 1 T1 = T4 , s ökar, tillfört värme qin .
12
41
34
Köldfaktor: COPR = qin /wnet,in = qin /(qout − qin ), där qin = qin
+ qin
och qout = qout
.
9.3 Ange de fyra antaganden (air-standard assumptions) som tillämpas vid de ideala förbränningsmotorprocesserna.
(1) Arbetsmediet är ren torr luft i ett slutet system; konstant luftmängd. Luften uppträder som en ideal gas,
(2) Alla delprocesser är internt reversibla, (3) Förbränningen (omvandling bunden kemisk energi till inre
energi) tänks ersatt med motsvarande värmetillförsel från en värmekälla, (4) Utblåsningen tänks ersatt
med en värmeavgivning som återställer arbetsmediet till sitt insugningstillstånd. (s. 488)
9.4 Betrakta en cylinder till en kolvmotor. Deﬁniera och illustrera med ﬁgur:
(a) slaglängd
= sträcka mellan kolvens övre och undre vändläge. (Fig. 9-10, s. 489)
(b) slagvolym
= skillnad mellan cylindervolymerna vid nedre och övre vändläget (= VBDC − VTDC ). (Fig. 9-11a, s. 489)
(c) restvolym (dödvolym)
= resterande volym i cylindern vid kolvens övre vändläge. (Fig. 9-11b, s. 489)
9.5 Deﬁniera för förbränningsmotorerna (kolvmotorer)
(a) kompressionsförhållande r
= kvot mellan cylinderns maximala och minimala volym, r = VBDC /VTDC . (s. 489, Fig. 9-19)
(b) insprutningsförhållande rc
= kvot mellan cylinderns volym efter och före förbränningen. (s. 497, Fig. 9-24)
(c) medeleﬀektivt tryck MEP
= kvot mellan nettoarbetet ut och slagvolymen, MEP = Wnet,out /(VBDC − VTDC ). (s. 489, Fig. 9-12)
Illustrera med ﬁgur.
9.6 Betrakta den ideala Dieselcykeln med en perfekt gas som arbetsmedium i ett slutet system.
(a) Illustrera processen schematiskt i P -v- resp. T -s-diagram. Markera värmeutbyten.
(b) Beskriv kortfattat hur kompressionsförhållandet r, insprutningsförhållandet rc och kvoten k = cp /cv inverkar på den termiska verkningsgraden ηth . Ange ett typiskt värde på r för
en verklig dieselmotor.
(a) Fig. 9-21: 1 → 2 isentrop kompression, q = 0; 2 → 3 isobar värmetillförsel qin ; 3 → 4 isentrop expansion, q = 0; 4 → 1 isokor värmebortförsel qout . Isokoren lutar mer uppåt än isobaren i T -s–diagrammet.
(b) Ökat r (vid konstant rc och k) ger högre ηth , ökat rc (vid konstant r och k) minskar ηth , ökat k (vid
konstant r och rc ) ökar ηth . Typiskt värde: r = 16 (r ≃ 12 − 23). (s. 497; Fig. 9-22, ekv. (9-12))
9.7 (a) Beskriv den ideala gasturbinprocessen (eng. ideal Brayton cycle). Illustrera med P -v– och
T -s–diagram. Markera värmeutbyten samt ange med hjälp av dessa uttryck på processens
nettoarbete resp. termiska verkningsgrad.
1 → 2: isentrop kompression, q = 0; 2 → 3: isobar värmetillförsel, qin ; 3 → 4: isentrop expansion, q = 0;
4 → 1: isobar värmeavgivning, qout . Kretsprocess, slutet system: wnet,out = qnet,in = qin − qout ; termisk
verkningsgrad, ηth = wnet,out /qin = 1 − qout /qin . (s. 503/4, Fig. 9-31)
(b) Betrakta en verklig sluten gasturbinprocess baserat på Braytoncykeln (eng. actual Brayton cycle). Illustrera m.h.a. T -s–diagram hur tillstånden förskjuts jämfört med motsvarande
ideala cykel.
Se Fig. 9-36. P.g.a. irreversibiliteter i kompressor- och turbindel förskjuts tillstånden i utloppen av dessa
adiabatiska komponenter till höger i diagrammet (s2a > s2s = s1 , samt s4a > s4s = s3 ). P.g.a. irreversibla
förluster sjunker trycket vid strömningen genom både brännkammare och kylare. (s. 509)
9.8 Vad menas med intern värmeväxling (regenerering) vid gasturbinprocesser? Illustrera med
komponentdiagram för en gasturbinmotor med regenerator. Under vilket förhållande innebär regeneratorn högre termisk verkningsgrad? Deﬁniera eﬀektivitetsgraden ϵ vid värmeåtervinningen. Illustrera processen i T -s-diagram.
10
Komponentdiagram, se Fig. 9-38. Den heta gasen vid turbinens utlopp (tillstånd 4 i Fig. 9-38) används
för uppvärmning av gasen som kommer ut ur kompressorn (tillstånd 2), innan den uppvärms vidare i
brännaren. Denna regenerering är endast gynnsam om gasens temperatur vid turbinens utlopp är högre
än den vid kompressorns utlopp, T4 > T2 . Vid regenerering (T4 > T2 ) ökas den termiska verkningsgraden.
Det internt överförda värmet per massenhet dividerat med det maximalt möjliga (qregen,max ) deﬁnierar
regeneratorns eﬀektivitetsgrad, ϵ = qregen /qregen,max . T -s-diagram illustreras i Fig. 9-39. (s. 511)
CH. 10 — ÅNGKRAFTSPROCESSER
10.1 Beskriv detaljerat den ideala ångkraftscykeln (eng. Ideal Rankine cycle). Illustrera med skiss
över komponenter samt T -s–diagram. Markera värme- och arbetsutbyten.
Delprocesser och komponenter (se Fig. 10-2):
1 → 2 isentrop kompression av vätska i matarvattenpump
2 → 3 isobar värmetillförsel i ångpanna/ånggenerator
3 → 4 isentrop expansion i ångturbin
4 → 1 isobar värmeavgivning i kondensor (s. 552–554)
10.2 Illustrera m.h.a. T -s–diagram hur tillstånden efter turbinen och matarvattenpumpen (adiabatiska maskiner) i verkligheten förskjuts jämfört med den ideala ångkraftscykeln. Varför
underkyls oftast vattnet vid utloppet från kondensorn? Ange ett praktiskt krav på tillståndet
vid turbinens utlopp.
Se Fig. 10-4b. Tillstånden efter både pump och turbin förskjuts till höger i diagrammet eftersom irreversibiliteter ger entropiökning vid adiabatiska processer (s2a > s2s = s1 , samt s4a > s4s = s3 ). För att
garanterat undvika blåsbildning (kavitation) i pumpen underkyls vattnet i slutet av kondensorn. För att
minska onödigt slitage och undvika korrosionsskador får tillståndet efter turbinen inte ha för låg speciﬁk
ångmängd (ångkvalitet), minst x4 = 0.90 eller överhettat. (s. 556/7)
10.3 Diskutera följande åtgärders fördelar och ev. nackdelar för en given ideal ångkraftscykel
(eng. Ideal Rankine cycle):
(a) sänkning av kondensortrycket
Sänkning av kondensortrycket ger lägre kondenseringstemperatur d.v.s. lägre (medel-)temperatur vid processens värmeavgivning (TL,avg ); ökar den termiska verkningsgraden eftersom ηth,rev ≈ 1 − TL,avg /TH,avg .
För lågt tryck kan ge inläckage av luft. En sänkning av detta tryck innebär också att kondensorns storlek ökar om kyleﬀekten skall bevaras vid samma massﬂöde (skillnaden mellan kondenseringstemperaturen
och kylvattnets temperatur minskar vilket kräver större värmeöverförande yta). Nettoeﬀekten ut ökar (vid
bibehållet massﬂöde). (s. 559/560, Fig. 10-6)
(b) ökning av ångtemperaturen vid turbinens inlopp
Se Fig. 10-7. En ökad överhettning ökar medeltemperaturen vid processens värmetillförsel (TH,avg ). Detta
ökar den termiska verkningsgraden eftersom ηth,rev ≈ 1 − TL,avg /TH,avg . Denna åtgärd ökar dessutom
ångkvalitén vid turbinens utlopp, vilket är positivt (mindre risk för slitage och korrosion). En ökad överhettning kan dock leda till materialproblem, den metallurgiska gränsen ligger vid ca. 650◦ C. Nettoeffekten
ut ökar (vid bibehållet massﬂöde). (s. 560, Fig. 10-7)
(c) ökning av trycket i pannan (bibehållen överhettning).
Genom att öka trycket i pannan ökar medeltemperaturen vid processens värmetillförsel (TH,avg ) vilket ökar
den termiska verkningsgraden eftersom ηth,rev ≈ 1 − TL,avg /TH,avg . Vid bibehållen inloppstemperatur till
turbinen minskar speciﬁka ångmängden i turbinens utlopp. Om speciﬁka ångmängden vid utloppet blir alltför låg uppstår slitage och korrosion i turbinen. Ökat tryck i pannan kräver kraftigare inneslutning; ökade
kostnader. Den praktiska övre gränsen ligger idag vid ca. 30 MPa. (s. 560/1, Fig. 10-8)
10.4 Beskriv en ideal ångkraftscykel med mellanöverhettning i ett steg (eng. Ideal reheat Rankine cycle). Förutsätt lika inloppstemperatur för de bägge turbinerna. Markera värme- och
arbetsutbyten. Hur ändras processens termiska verkningsgrad med antalet överhettningssteg? Motivera. Illustrera med T -s–diagram.
Med ﬂer turbinsteg med mellanöverhettning mellan dessa kan verkningsgraden ökas med bibehållen högsta överhettningstemperatur och ökat tryck i pannan utan att det sker slitage och korrosionsproblem med
vätskeutfällning i den avslutande turbinen. Diagram för ideal process med en mellanöverhettning visas i
Fig. 10-11. Den termiska verkningsgraden ökar med antalet steg eftersom medeltemperaturen vid värmetillförseln ökar, ηth ≈ 1 − TL,avg /TH,avg ; se Fig. 10-12. (s. 563/4)
CH. 11 — KYLPROCESSER
11.1 Beskriv den ideala enkla kylmaskinprocessen av ångkompressionstyp m.h.a. komponent- och
T -s-diagram. Markera värme- och arbetsutbyten samt ange med hjälp av dessa ett uttryck
11
på processens köldfaktor (alt. värmefaktor).
Se Fig. 11-3; 1 → 2 isentrop kompression i kompressor, 2 → 3 isobar värmeavgivning i kondensor, 3 → 4
adiabatisk expansion i strypanordning, 4 → 1 isobar värmetillförsel i förångare.
köldfaktor, COPR = QL /Win = QL /(QH − QL ); värmefaktor, COPHP = QH /Win = QH /(QH − QL ) =
COPR + 1. (s. 610/611)
11.2 Förklara varför köldmediet i en kylmaskin oftast är (a) underkylt (komprimerad vätska) vid
utloppet från kondensorn, (b) något överhettat vid inloppet till kompressorn.
(a) En ökad underkylning i utloppet från kondensorn ökar kyleﬀekten vid givet massﬂöde, qL = Q̇L /ṁ
ökar; även COPR ökar eftersom samma Ẇin . (b) En viss överhettning sker normalt efter förångaren
p.g.a. det oftast stora avståndet mellan denna och kompressorn; om överhettningen sker inuti förångaren
ökar COPR något men om den sker utanför minskar COPR eftersom Ẇin ökar. Tillståndet vid inloppet
till kompressorn bör vara något överhettat för att undvika eventuell vätskeutfällning p.g.a. variationer i
driftsförhållanden; minskar risken för korrosions- och slitageproblem. (s. 613/4)
11.3 Ange minst tre önskvärda tekniska egenskaper för ett köldmedium. Förklara varför de angivna egenskaperna är önskvärda.
(1) Låg mättnadstemperatur omkring P = 1 atm (förångningstrycket är oftast strax över 1 atm); ju lägre
temperatur ju högre kyleﬀekt vid given förångarstorlek. (2) Mättnadstrycket runt 30◦ C (normal temperatur
vid kondensorns utlopp) bör ej vara för högt; materialproblem, tätning. (3) Förångningsentalpin omkring
P = 1 atm bör vara så hög som möjligt eftersom Q̇L /ṁ = qL ∝ hfg ; lägre massﬂöde ṁ vid given kyleﬀekt
Q̇L . (4) Volymiteten för mättad∫ ånga omkring 1 atm bör vara så låg som möjligt; minskad kompressoreﬀekt
vid givet massﬂöde, Ẇin /ṁ ∝ v dP ≈ vg@P1 ∆P . (s. 620/1)
CH. 12 — TERMODYNAMISKA SAMBAND
12.1 Deﬁniera
(a) Helmholtz funktion a
a = u − T s, där u är inre energi och s entropi, bägge per massenhet; T är absolut temperatur. (s. 663)
(b) Gibbs funktion g
g = h − T s, där h är entalpi och s entropi, bägge per massenhet; T är absolut temperatur. (s. 663)
(c) Clapeyrons ekvation
För ett rent ämne under fasomvandling vätska-gas gäller (dP/dT )sat = T −1 hfg /vfg , där hfg är ämnets
förångningsentalpi. (s. 665)
(d) Joule-Thomson-koeﬃcienten µJT
µJT = (∂T /∂P )h ; partiella derivatan av temperaturen m.a.p. tryck, vid konstant entalpi. (s. 674)
12.2 Visa, utgående från den termodynamiska relationen du = T ds − P dv samt deﬁnitionen av
entalpi, att
(
)
( )
∂T
∂v
=
∂P s
∂s P
Enligt deﬁnition: h = u + P v ⇒ dh = du + P dv + v dP , d.v.s. dh = T ds + v dP . Enhetligt ämne:
h = h(s, P ), d.v.s. dh = (∂h/∂s)P ds + (∂h/∂P )s dP . Identiﬁering ger T = (∂h/∂s)P och v = (∂h/∂P )s .
För ett kontinuerligt medium kan derivationsordningen kastas om, d.v.s.
(
)
[
( ) ]
[ (
) ]
( )
∂T
∂
∂h
∂
∂h
∂v
=
=
=
(s. 661/3)
∂P s
∂P ∂s P s
∂s ∂P s P
∂s P
CH. 13 — GASBLANDNINGAR
13.1 Formulera (a) Daltons lag och (b) Amagats lag för ideala gasblandningar.
Daltons lag: Trycket i en ideal gasblandning är lika med summan av de tryck som∑varje komponent skulle
utverkat om den ensam upptog hela volymen vid blandningens temperatur, Pm = Pi (Tm , Vm ), där Pi är
komponenttrycket.
Amagats lag: Volymen för en ideal gasblandning är lika med summan av de volymer som
∑ varje komponent
skulle besitta om den ensam existerade vid blandningens tryck och temperatur, Vm =
Vi (Tm , Pm ), där
Vi är komponentvolymen. (s. 692/3)
13.2 Betrakta en gasblandning med given sammansättning. Blandningens tryck vid jämvikt är Pm .
Deﬁniera en gaskomponents komponenttryck respektive partialtryck i denna gasblandning.
Under vilken omständighet är dessa bägge tryck lika?
Komponenttrycket Pi för gaskomponent i är det tryck som komponenten skulle utverkat om den ensam
12
upptog hela volymen vid blandningens temperatur. Partialtrycket för samma gaskomponent är lika med
dess molfraktion multiplicerat med blandningens tryck, partialtryck = yi Pm , där yi = Ni /Nm . (s. 701)
För en ideal gasblandning är komponenttrycket lika med partialtrycket (d.v.s. för en ideal gasblandning
gäller yi = Ni /Nm = Pi /Pm ). (s. 693)
13.3 Visa att en blandning av två (eller ﬂera) ideala gaser självt är en ideal gas.
Eftersom
komponent
i uppfyller ideala gaslagen gäller Pi Vm = Ni Ru Tm = mi Ri Tm . Daltons lag: Pm =
∑
∑
Pi = Tm Ru ( Ni )/Vm = Nm Ru Tm /Vm = mRu Tm /(Mm Vm ) vilket är ideala gaslagen för gasblandningen
om Rm = Ru /Mm , se ekv. (13-5). (Kan även visas m.h.a. Amagats lag.) (s. 693 + fö)
CH. 14 — FUKTIG LUFT
14.1 Deﬁniera eller förklara kortfattat
(a) fuktighetsgrad ω
= kvot mellan massan vatten och massan torr luft i en fuktig luftmassa, ω = mv /ma . (s. 729)
(b) relativ fuktighet ϕ
= kvot mellan faktisk massa vatten och maximal massa vatten som kan existera i form av (mättad) ånga vid
ifrågavarande temperatur (i en viss volym), ϕ = mv /mg . För en ideal gasblandning (torr luft + vattenånga)
är ϕ = Pv /Pg , där Pv är vattnets partialtryck och Pg = Psat @ T . (s. 729/730)
(c) daggpunkt (daggtemperatur) Tdp (för fuktig luft)
Om en fuktig (omättad) luftmassa successivt kyls vid konstant vatteninnehåll (ω = konst.) utfälls till
slut vatten i form av vätska (dagg) vid en temperatur som kallas daggpunkten, Tdp . Ideal gasblandning:
Tdp = Tsat @ Pv . (s. 732, Fig. 14-8)
(d) kylgräns (våt temperatur) Twb
= temperatur som en fuktig/blöt (av vatten) trasa till slut uppnår om den kontinuerligt anblåses med fuktig
luft av ett visst tillstånd. (s. 733/4, Fig. 14-11)
Illustrera i psykrometriskt diagram. Se Fig. 14-14/15.
14.2 Härled sambandet mellan fuktighetsgrad ω och relativ fuktighet ϕ för vanlig luft (torr luft
+ vattenånga). Komponenterna (med kända molvikter) kan betraktas som ideala gaser.
Betrakta en viss volym V, tryck P , temperatur T . Enligt deﬁnition av ω och ϕ samt ideala gaslagen:
ω = mv /ma = [ Pv V/(Rv T ) ]/[ Pa V/(Ra T ) ] = (Pv /Pa )(Ra /Rv ); ϕ = mv /mg = Pv /Pg . Med R = Ru /M ,
Pa = P − Pv enligt Daltons lag samt Pv = ϕPg fås ω = (Mv /Ma )ϕPg /(P − ϕPg ), där Pg är vattens
mättnadstryck vid luftens temperatur, Pg = Psat@T . (Mv /Ma = 18.015/28.97 = 0.622). (s. 729/730)
14.3 En fuktig omättad luftström passerar genom en sektion där luften kyls till en temperatur
som är lägre än inkommande lufts daggpunkt. Eventuellt kondensat avskiljs kontinuerligt.
Hur förändras luftens fuktighetsgrad ω och relativa fuktighet ϕ? Illustrera i schematiskt
psykrometriskt diagram.
Innan dagg utskiljs är fuktighetsgraden ω konstant, relativ fuktighet ϕ ökar. Dagg utskiljs vid daggpunkten
som ligger på mättnadslinjen (ϕ = 100%). Eftersom kondensatet avskiljs kontinuerligt sker den fortsatta
kylningen med luften i mättat tillstånd (ϕ = 100%), fuktighetsgraden minskar. (s. 742/3, Fig. 14-25)
CH. 16 — FASJÄMVIKT
16.1 (a) Visa att dG ≤ 0 för enkla kompressibla system vid konstant tryck och temperatur med
enbart kvasistatiskt volymändringsarbete (G = H − T S).
Andra huvudsatsen: dS ≥ δQ/T (slutet system). Enkelt kompressibelt system med enbart kvasistatiskt volymändringsarbete: δQ − P dV = dU ; H = U + P V; konstant tryck: dH = dU + P dV; konstant temperatur:
dG = dH − T dS, d.v.s. δQ = dU + P dV = dH = dG + T dS ≤ T dS, d.v.s. dG ≤ 0. (s. 810/1)
(b) Visa att gf = gg vid fasomvandling vätska-gas för ett rent ämne vid konstant tryck (g =
Gibbs funktion, per massenhet).
Under fasomvandling vid konstant tryck är även temperaturen konstant (eller vice versa). Processer vid
konstant tryck och temperatur: dG ≤ 0; vid jämvikt: dG = 0, d.v.s. gf dmf + gg dmg = 0. Eftersom
m = mf + mg är dmg = −dmf , d.v.s. (gf − gg )dmf = 0, eller gf = gg . (s. 824/5)
(c) Ange Gibbs fasregel. Klarlägg ingående storheter (IV, C och PH).
IV = C − PH + 2, där IV antalet oberoende intensiva tillståndsstorheter, C antalet komponenter med
samma kemiska sammansättning, och PH antalet närvarande faser vid jämvikt. (s. 826)
Christoﬀer Norberg, tel. 046-2228606, christoﬀ[email protected], 28 november 2016
13

MMVF01 Termodynamik och strömningslära Repetitionsfr˚agor

Related documents

Products

Support

MMVF01 Termodynamik och strömningslära Repetitionsfr˚agor

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib