Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik
Summaregeln Om A och B är disjunkta mängder så |A∪B| = |A|+|B|, ty innehåller inga upprepningar
Produktregeln Om A och B är disjunkta mängder så är |A × B| = |A| · |B|
Exempel: Om det finns n1 sorters soppa och n2 sorters sallad, så finns det n1 + n2 sätt att beställa en
soppa eller en sallad, och n1 · n2 sätt att beställa en soppa och en sallad.
Exempel: Satsetiketter i BASIC kan bestå av antingen en bokstav, eller en bokstav följd av en siffra.
Bestäm antalet möjliga etiketter.
Dela upp mängden etiketter E i två disjunkta delmängder:
• B, etiketter bestående av en bokstav
• S, etiketter bestående av en bokstav följd av en siffra
E = B ∪ S. Summaregeln ger |E|, givet |B| och |S|.
Produktregeln ger |S| = (antal bokstäver)(antal siffror) = 28 · 10 = 280, så |E| = 28 + 280 = 308.
Inkluderings-exkluderingsprincipen (PIE)
Om A och B inte är disjunkta:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Räkna element i snittet av två mängder bara en gång.
Exempel: Räkna antalet bitsträngar av längd 4 som börjar med 1 eller slutar med 00.
Kan uttryckas som unionen av mängderna:
• S, strängar som börjar med 1
• O, strängar som slutar med 00
Dessa delmängder överlappar dock.
• |S| = 8 (Varför?)
• |O| = 4 (Varför?)
Enligt PIE är |S ∪ O| = 12 − |S ∩ O|.
Hur många strängar finns i snittet? Dessa strängar börjar med 1 och slutar med 00: det finns två sådana
strängar. Totala antalet strängar är därmed 10.
Kontroll:
• Strängar S: 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111
• Strängar O: 0000, 0100, 1000, 1100
• 1000 och 1100 förekommer i både O och S
1
Fler räkneexempel:
• Antal (icketomma) bitsträngar av högst längd 4.
Summera antal bitsträngar av längder 1, 2, 3, 4; ger 2 + 4 + 8 + 16 = 30
• Mängden S av tresiffrorstal som börjar eller slutar med en jämn siffra. Antag 0 är jämnt och att ett
tal inte kan börja med 0.
S är unionen av mängder B och C:
– B, tresiffrorstal som börjar med 2, 4, 6 eller 8.
|B| = 4 · 10 · 10 (Varför?)
– C, tresiffrorstal som slutar med 0, 2, 4, 6 eller 8, och inte börjar med 0.
|C| = 5 · 9 · 10 (Varför?)
|B ∩ C| = 4 · 10 · 5 (Varför?)
PIE ger |S| = 400 + 450 − 200 = 650.
Duvhålsprincipen
Om k + 1 eller fler duvor placeras i k hål så måste minst ett hål innehålla två eller fler duvor.
Exempel: I en grupp av 367 personer har minst två samma födelsedag, då det finns 366 olika födelsedagar
Exempel: Givet n + 1 heltal måste det finnas två tal, a och b, vars differens är en multipel av n.
Ty a och b har då samma rest r efter division med n: (a − b) mod n = 0 medför a mod n = b mod n.
Dvs, eftersom det bara finns n möjliga rester följer påståendet.
Exempel:
Givet fem punkter i en kvadrat med sidan 1. Då måste minst två punkter vara inom avstånd
√
2/2 från varandra.
Ty dela upp kvadraten i fyra delkvadrater med sidan 1/2. Någon delkvadrat
pmåste innehålla minst
√ två
punkter, och största avståndet inom en delkvadrat ges av diagonalens längd, (1/2)2 + (1/2)2 = 2/2
Exempel: Varje punkt i planet färgas antingen röd eller blå. Då gäller att oavsett hur färgningen görs
måste det finnas två punkter på exakt en meters avstånd som har samma färg.
Ty betrakta hörnen i en liksidig triangel med sidan en meter. Det finns tre triangelhörn men bara två
färger. Alltså måste två hörn ha samma färg.
Generaliserad duvhålsprincip
Om n duvor placeras i k hål så måste minst ett hål innehålla minst ⌈n/k⌉ duvor.
Exempel: Bland 100 personer finns minst ⌈100/12⌉ = 9 som är födda samma månad.
Vi skall nu använda duvhålsprincipen för att visa en egenskap hos delsekvenser.
Antag a1 , a2 , . . . , an är en sekvens av reella tal.
En delsekvens är ai1 , ai2 , . . . , aim , där 1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n (en delmängd av ursprungliga
sekvensen).
En sekvens är strängt växande om varje term är större än föregående term och strängt avtagande om
varje term är mindre än föregående term.
2
Varje sekvens av n2 + 1 distinkta reella tal innehåller en delsekvens
av längd n + 1 som är antingen strängt växande eller strängt avtagande
Exempel: Sekvensen 8, 11, 9, 1, 4 har 5 = 22 + 1 termer. Det finns två avtagande delsekvenser av
längd 3, nämligen 11, 9, 1 och 11, 9, 4.
Kan förstås finnas avtagande/växande delsekvenser som är längre än n + 1.
Bevis av teoremet: Låt a1 , a2 , . . . , an2 +1 vara en sekvens av distinkta reella tal.
Associera ett ordnat par till varje term i sekvensen: hik , dk i ↔ ak , där ik är längden av längsta växande
delsekvensen som börjar i ak , och dk längden av längsta avtagande delsekvensen som börjar i ak .
Antag att det inte finns växande eller avtagande delsekvenser av längd n + 1 (Motsatsbevis).
Då är ik och dk positiva heltal ≤ n, för k = 1, 2, . . . n2 + 1.
Enligt produktregeln finns det n2 olika hik , dk i.
Enligt duvhålsprincipen är två av dessa n2 + 1 ordnade par samma.
Dvs, det finns as och at , med s < t, så att is = it och ds = dt .
Vi visar nu att antagandet är omöjligt.
Eftersom termerna i sekvensen är distinkta är antingen as < at eller as > at .
Om as < at så (pga is = it ) kan en växande delsekvens av längd it + 1 bildas med as + delsekvens från
at . En motsägelse!
Analogt, om as > at så måste ds vara större än dt , vilket också är en motsägelse. 2
Kombinatorik
Kombinatorik är studiet av beräkning av antal kombinationer och konfigurationer.
Exempel: Betrakta följande figur
A
B
A
A
K
K
A
A
D
B
R
R
K
A
D
A
R
A
K
A
D
A
B
A
D
A
B
R
K
A
A
D
A
B
R
A
Hur många sätt finns det att få fram ABRAKADABRA genom att gå mellan angränsande bokstäver?
Dvs, hur många vägar (med 11 bokstäver) från översta A till nedersta A? Mer om detta problem på nästa
föreläsning.
3
Givet n objekt i en ”urna”, välj r objekt ett i taget. Efter varje uttag kan vi antingen:
• lägga tillbaka objektet (urval med återläggning)
• eller inte (urval utan återläggning)
Hur många olika uttagssekvenser av de r objekten finns det?
Har ordningen mellan objekten någon betydelse?
Permutationer: urval utan återläggning där ordningen har betydelse.
Två olika ordningar vid urvalet anger två permutationer:
• Kan välja första objektet på n sätt
• Kan välja andra objektet på n − 1 sätt
• ...
• Kan välja r:te objektet på (n − r + 1) sätt
Enligt produktregeln är antalet permutationer:
P(n, r) = n(n − 1) · · · (n − r + 1) =
n!
(n − r)!
Exempel: Det finns 6 permutationer av a, b, c, nämligen abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Exempel: Om vi skall välja två objekt fås också 6 permutationer (med r = 2): ab, ba, ac, ca, bc, cb.
Exempel: A och B är ändliga mängder, |A| ≤ |B|. Räkna antalet injektioner från A till B.
Notera att det inte finns några injektioner om |A| > |B| (Varför?)
Det finns P(|B|, |A|) injektioner. Vi kan ordna elementen i A som ha1 , a2 , . . .i.
Antag urnan innehåller mängden B:
• Det finns |B| sätt att välja bilden av a1
• |B| − 1 sätt att välja bilden av a2
• etc
Urvalet är utan återläggning, annars erhålls ingen injektion.
Kombinationer: urval utan återläggning där ordningen är betydelselös.
Är ekvivalent med att välja delmängder av storlek r från en mängd av storlek n.
Dividera bort antalet permutationer av r objekt från mängden av permutationer av n objekt, tagna r i
taget.
Antal kombinationer:
n!
n
P(n, r)
=
C(n, r) =
=
P(r, r)
(n − r)! r!
r
”n över r” = binomialkoefficient
4
Exempel: Finns tre kombinationer av två objekt av a, b, c, nämligen {a, b}, {a, c}, {c, b}.
Exempel: Hur många delmängder av storlek r kan konstrueras från en mängd av n objekt?
Svaret är C(n, r), eftersom då vi valt objekten (utan återläggning) har ordningen ingen betydelse.
Följdresultat:
n
X
C(n, r) = 2n
r=0
Ty antalet delmängder av en mängd av storlek n är kardinaliteten av potensmängden.
Fråga: På hur många sätt kan vi bilda en nämnd (av någon storlek) bland n personer?
P
Svar 1: För 0 ≤ r ≤ n finns nr nämnder av storlek r, så totalt finns r≥0 nr nämnder.
Svar 2: För varje person finns två möjligheter: vara med i nämnden eller inte. Det ger 2n möjliga
nämnder.
Exempel: Singla slant n gånger. På hur många olika sätt kan man få:
• Ingen krona?
= C(n, 0)
• Exakt en krona?
= C(n, 1)
• Exakt r kronor?
= C(n, r)
• Minst två kronor? = 2n − C(n, 0) − C(n, 1)
Exempel: Hur många bitsträngar av längd fyra har exakt två ettor (och därmed exakt två nollor)?
Vi kan lösa problemet genom att bestämma positionerna av de två ettorna i strängen:
• placera första ettan: fyra möjligheter
• placera andra ettan: tre möjligheter
Så antalet möjligheter verkar vara 4 · 3 = 12
Men i själva verket finns bara 6 möjligheter: 0011, 0101, 1001, 0110, 1010, 1100. Var är felet?
Svaret 12 är korrekt om vi hade två olika objekt att placera i strängen. Men här är båda objekten ettor, så
ordningen har ingen betydelse
Dividera med antalet ordningar: 2! = 2. Därmed fås svaret 12/2 = 6.
Exempel: Hur många bitsträngar av längd fyra har minst två ettor?
Antal strängar som har: inga ettor = 1, en etta = 4. Därmed har 24 − 5 = 11 minst två ettor.
Om universalmängden är bitsträngar av längd fyra, vad är komplementet av denna mängd? Vad är dess
kardinalitet?
5

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Related documents

Products

Support

Föreläsning 8: Räkning. Duvhålsprincipen. Kombinatorik

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib