Leonardo da Vin Vinci
Mona Lisa - La Gioconda
Anna
Själv
tredje
självporträtt
Leonardo da Vinci född troligen 15 april 1452 i
Anchiano vid Vinci i Toscana, död 2 maj 1519 i Amboise i
Frankrike, italiensk konstnär, arkitekt, uppfinnare och
naturforskare, genom sin mångsidighet en av konst- och
vetenskapshistoriens största gestalter. Efter lärotid i
Verrocchios verkstad i Florens var Leonardo da Vinci
1482–99 verksam hos Lodovico Sforza i Milano. Åren
1500–06 befann han sig i Florens, och 1506–13 var han
åter i Milano. Från Rom kallades han 1516 av Frans I till
Frankrike, där han vistades till sin död.
Nattvarden, Den sista måltiden
Anatomi-studier
Den Vitruvianske mannen
I den Vitruvianske mannen från runt 1492, kan man hitta ett approximativt gyllene snitt i förhållandet
mellan kvadratens sida och cirkelns radie. Flera personer, bland annat den tyske filosofen och
matematikern Adolf Zeising, har ansett sig finna det gyllene snittets proportioner i många av naturens
former. Han ansåg t.ex. att naveln delade kroppslängden i detta förhållande, att avståndet upp till
naveln i sin tur förhöll sig till avståndet upp till knäet i samma proportion o.s.v.
Uppfinningar
Här har du lite överkurs
Gyllene snittet
Gyllene snittet eller φ (grekiska bokstaven fi), på latin: sectio aurea, är det
förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b
på så vis att hela sträckan a+b förhåller sig till a som a förhåller sig till b.
Kvoten a/b blir då cirka 1,618.
Gyllene snittet var känt redan av Pythagoras och de gamla grekerna och genom
tiderna, kanske framför allt under renässansen, har man i detta förhållande velat
se en norm för den fullkomliga harmonin hos mått och proportioner inom
måleriet, fotokonsten, arkitekturen, och bildhuggarkonsten.
Matematikerna i det antika Grekland intresserade sig för det man nu kallar
gyllene snittet eftersom värdet ständigt dök upp i olika geometriska figurer och
kroppar som pentagramet och ikosaedern. Upptäckten av förhållandet brukar
tillskrivas Pythagoras och hans följeslagare. Dessa hade ett regelbundet
pentagram med en inskriven regelbunden femhörning som symbol. Den
medeltida matematikern och fransiskanermunken Luca Pacioli (1445 - 1517)
betecknar i sitt verk De Divina Proportione, publicerad i Venedig år 1509, det
gyllene snittet som "det gudomliga förhållandet".
annan av da Vincis berömda teckningar, den Vitruvianske mannen från runt
1492, kan man hitta ett approximativt gyllene snitt i förhållandet mellan
kvadratens sida och cirkelns radie.
Namnet "det gyllene snittet" används första gången 1835 av Martin Ohm, bror
till Georg Ohm i en lärobok i matematik.
Matematisk härledning och beräkning
Det gyllene snittet
Den gyllene rektangeln
Gyllene snittet är det förhållande som erhålls när en sträcka delas i en längre del a och en
kortare del b på så vis att hela sträckan a+b förhåller sig till a som a förhåller sig till b:
φ = a/b = 1,618 033 988 749 9 ... eller approximativt 8:5.
Ofta används också det omvända förhållandet, alltså 1/φ. Detta värde brukar betecknas med Φ
Φ = b/a = 0,618 033 988 749 9 ...
En rektangel vars sidor förhåller sig som det gyllene snittet kallas den gyllene rektangeln.
Härledning
Definitionen av gyllene snittet säger att
vänsterledet i detta uttryck med b erhålls
. Divideras alla termer i
.
Ur detta får vi sedan
om
,
eftersom division med noll inte är möjligt. Denna andragradsekvation har då en positiv rot,
nämligen:
.
Numerisk beräkning
Värdet av gyllene snittet kan beräknas med vanliga numeriska metoder. Till exempel Newtons
metod använd på ekvationen x2 − x − 1 = 0, vars lösning är φ, ger formeln
Med ett lämpligt initialvärde, t.ex. x1 = 1, konvergerar denna formel kvadratiskt mot φ, d.v.s.
varje steg fördubblar ungefär antalet korrekta decimaler. Detta är betydligt snabbare än kända
algoritmer för andra irrationella tal som t.ex. π och e.
En annan enkel metod som endast utnyttjar heltalsaritmetik, är att beräkna två stora, på
varandra följande fibonaccital och sedan dividera dem med varandra. Division mellan t.ex.
F25001 och F25000, båda mer än 5000-siffriga tal, ger ett approximativt värde på φ med över
10 000 signifikanta siffror.
Matematiska egenskapera
Geometrin
Kanten och diagonalen i en regelbunden femhörning förhåller sig som gyllene snittet
De olika sträckorna i pentagrammet förhåller sig till varandra som gyllene snittet
Femhörningen och pentagrammet
Som redan de gamla grekerna upptäckte, finns en stark koppling mellan det gyllene snittet och
de geometriska figurerna pentagrammet och den regelbundna femhörningen. Förhållandet
mellan en diagonal och en kant i en regelbunden femhörning är just φ, d.v.s (se bilden till
vänster).
I pentagrammet kan det gyllene snittet hittas i flera av förhållandena mellan de olika linjerna
och kanterna som bygger upp denna symbol (se bild till höger).
Även talet fem dyker ju upp i den matematiska formeln för φ (se nedan).
Gyllene spiral
Gyllene spiral genom hörnpunkterna på gyllene trianglar
Gyllene spiralen
En gyllene rektangel kan delas in i en kvadrat och en mindre gyllene rektangel. Genom att
upprepat dela upp den mindre rektangeln på samma sätt får man en figur i vilken en
logaritmisk spiral, den s.k. gyllene spiralen, kan ritas in. Spiralen kan approximeras med en
följd av kvartscirklar, en i varje kvadrat.
Ikosaeder uppspänd av tre gyllene rektanglar
Ikosaedern
Förhållandet mellan en kant och vissa av diagonalerna i ikosaedern förhåller sig som det
gyllene snittet. Detta innebär att man kan tänka sig ikosaedern uppspänd av tre mot varandra
vinkelrätt liggande gyllene rektanglar.
Gyllene triangel
Gyllene triangeln
En likbent triangel där den långa sidan förhåller sig till den korta som det gyllene snittet,
kallas en gyllene triangel. Sådana trianglar kan bl.a. hittas inskrivna i en regelbunden
femhörning. Toppvinkeln i en sådan triangel är 36 grader och basvinklarna 72 grader. En
gyllene triangel kan, på liknande sätt som en gyllen rektangel, delas upp i en större triangel
och en ytterligare mindre gyllene triangel. Genom att upprepat göra sådana indelningar, får
man en serie trianglar genom vars hörnpunkter man kan rita in en gyllene spiral.
Den gyllene vinkeln Ψ≈137,5°
Gyllene vinkeln
Om en full cirkel delas in i två vinklar, där den större vinkeln förhåller sig till den mindre som
det gyllene snittet, kallas den mindre vinkeln ibland för den gyllene vinkeln och betecknas Ψ.
Den gyllene vinkeln är approximativt 137,5 grader. Förhållandet mellan ett helt varv, 360
grader, och den större vinkeln är, på grund av det gyllene snittets egenskaper, också φ.
Samband med
Fibonaccitalen
n
Fn
kvot Fn / Fn-1
Avvikelse från φ
i procent
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233
1,000000
2,000000
1,500000
1,666667
1,600000
1,625000
1,615385
1,619048
1,617647
1,618182
1,617977
1,618056
-38,1966
23,6068
-7,2949
3,00566
-1,11456
0,43052
-0,16374
0,06265
-0,02392
0,00914
-0,00349
0,00133
Kvoten mellan två på varandra följande Fibonaccital (Fn) närmar sig φ då n växer, se tabellen
till höger. Detta faktum kan härledas från definitionen av dessa tal: Fn = Fn-1 + Fn-2 vilket ger:
Då n växer mot oändligheten innebär detta att kvoten uppfyller samma samband som gäller
för φ nämligen
Ett explicit samband mellan Fibonaccitalen och φ är
Gyllene snittet som det mest irrationella
och ädlaste av alla tal
Gyllene snittet är ett irrationellt tal och kan därmed inte uttryckas exakt med ett bråk, d.v.s en
kvot mellan två heltal. I viss mening är det också det tal som sämst kan approximeras med ett
bråk. Om man tittar på kedjebråksutvecklingen av φ så får man
Att denna utveckling bara innehåller ettor innebär att man vid en trunkering efter ett visst
antal termer får största tänkbara rest jämfört med kedjebråksutvecklingen av andra irrationella
tal, och det trunkerade uttrycket därmed är en jämförelsevis dålig approximation av det exakta
värdet för detta antalet termer i en kedjebråksutveckling. Jämfört t.ex. med
kedjebråksutvecklingen av π som är
vilket efter bara tre termer ger approximationen 333/106 vilket ger ett närmevärde med fyra
riktiga decimaler. Samma antal termer från utvecklingen av φ ger närmevärdet 5/3 =
1.66666... som bara har en riktig decimal. Man kan alltså säga att φ är det tal som svårast låter
sig approximeras med ett bråk.
Ekvationen
ger på motsvarande sätt kvadratrotsutvecklingen
som även den ger förhållandevis dåliga approximationer av φ jämfört med vid utvecklingen
av andra irrationella tal.
Källor:
Leonardo da Vinci: http://sv.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci
Gyllene snittet: http://sv.wikipedia.org/wiki/Gyllene_snittet
