Lindholmens Gymnasieområdes
Förberedande kurs
i matematik
För dig som går i åk 9 på grundskolan:
Detta material är avsett för dig som ska läsa flera kurser i
matematik på gymnasiet.
Främst gäller det dig som valt NV- eller Teknikprogrammet.
Materialet vänder sig också till dig som valt annat program
och tänker dig att välja högskoleförberedande matematik som
tillvalskurser på gymnasiet.
Materialet innehåller ganska många uppgifter och även om du inte
löser alla, blir detta en förberedelse till gymnasiematematiken.
En del av uppgifterna ligger utanför det som normalt omfattas av
den matematik du läst på grundskolan.
Detta gör att du får fråga din matematiklärare om det är möjligt att
arbeta med uppgifterna under lektionerna i slutet av vårterminen.
Du kan också få hjälp Älvstrandens bibliotek på Lindholmens
område på tisdagar mellan 17-19. Biblioteket ligger i hus
Äran, Diagonalen 6, och du kan fråga efter Framgången när du
kommer dit.
Om du vill läsa mer om de avsnitt som behandlas kan du gå in på:
http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
via nätet.
Där finns förklaringar och exempel på lösningar till uppgifterna. Ta
gärna kontakt med oss som gjort materialet om du vill hjälp.
Observera att allt som behandlas i kompendiet kommer att
repeteras på gymnasiet.
Lycka till!
MVH
Johan Svensson
Lindholmens tekniska gymnasium
[email protected]
1
För dig som jobbar som högstadielärare:
Bakgrunden till att vi tagit fram detta material är att många elever
som börjar på NV- och Teknikprogrammen är dåligt förberedda i
matematik när de börjar gymnasiet.
Detta gäller även på andra program men på Te och NV är
matematiken extra betydelsefull.
Utan grundläggande matematisk förståelse blir andra kurser som
bygger på detta inte meningsfulla.
I och med gymnasiereformen har kraven i matematik dessutom
skärpts samtidigt som tempot i kurserna höjts. Detta har i sin tur
inneburit att avhoppen från programmen ökat.
Materialet har inspirerats av en kurs i Finland som kallas
Nollmatematik. Kursen läses av elever som ska läsa mycket
matematik på gymnasiet. Förklaringar till de olika passen hittar du
via http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
Om det skulle vara möjligt att avsätta tid för att jobba med
uppgifterna på matematiklektionerna under slutet av vårterminen
skulle vi vara tacksamma.
Eleverna kan också få hjälp Älvstrandens bibliotek på
Lindholmens område på tisdagar mellan 17-19.
Vi är också intresserade av att få kontakt med dig som jobbar med
materialet på grundskolan för att diskutera innehållet och upplägget
av kompendiet.
Vi vill också få kontakt för att diskutera hur övergången mellan
gymnasiet och högstadiet ska fungera smidigare för eleverna.
Om du är intresserad kan du ta kontakt via mailadressen nedan.
MVH
Johan Svensson
Lindholmens tekniska gymnasium
[email protected]
2
Pass 1
Räkneoperationer Med Decimaltal Och Bråktal
De Reella talen (R) delas in i undergrupper:
• Naturliga tal (N) som omfattar talen 0, 1, 2, 3......
• Hela tal (Z) som även omfattar de negativa hela talen ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....
a
• Rationella tal (Q) omfattar alla tal som kan skrivas på formen b . ( a och b e Z )
(b får inte vara 0)
• Irrationella tal är reella tal som inte är rationella tal. Det vill säga att det kan inte
skrivas som a/b, där a och b är heltal. Exempel på irrationella tal är r och 2 .
På gymnasiet kommer du i senare kurser i kontakt med andra typer av tal än de reella.
Primtal
Ett primtal är ett heltal >1 som endast är jämnt delbart med 1 eller sig själv.
De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11,............
Alla andra heltal kan skrivas som en produkt av primtal. Exempelvis kan talet 12
skrivas som 12 = 2 $ 2 $ 3
Under lång tid ansågs talteori i allmänet och studiet av primtal i synnerhet som
utmärkande för ren matematik, utan några tillämpningar.
En del talteoretiker var stolta över att bedriva forskning som saknade betydelse för
militären.
Numera har det hittats många praktiska tillämpningar av primtal. Bland annat
inom så skilda områden som kryptering av datorer och utplacerandet av dubbar på
bildäck.
1. Ge exempel på typer av ekvationer man kan lösa med de olika talmängderna.
2. A
nge den minsta av talmängderna N, Z, Q och R som talet hör till
a) 1
4
b) 5
3
c) d) 1,25
3. S
kriv i bråkform
a) 0,333... b) 1,1666...
c) 0,33
4
e) 2,000
f) 0 g)1,0
4. S
kriv följande tal i blandad form.
7
14
a) 6 b) 8 57
c) 13 d) Ba+b
a
e) a+b
a
5. P
rimtalsfaktorisera följande tal
a) 6 b) 8 c) 12
e) 24 f) 32 g) 48
d) 18
6. S
kriv i decimalform
3
a) 25
b) 0,444... 1
c) 1 8 100
d) 99 25 7. Ange de inverterade talen till
a) 4
-2
b) 3 8. Bestäm
a) summan b) differensen c) produkten d) kvoten
-3
5
av de rationella av talen 3 och 4
För att lösa följande uppgifter behöver du känna till prioriteringsreglerna.
(Tänk på att du kan multiplicera och dividera i valfri ordning.)
9. Beräkna
2
a) 2 $ 3 $ 5 2
b) 2 $ 3 5 2
c) 2 $ 3 + 5 2
d) 2 $ (3 + 5 ) 2
e) 23 $ 5 2
f) 23 5 $ 1
5
10. Beräkna
2 4
a) 3 - 6 1 7 13
b) 4 + 8 - 16 9
7
4
c) 40 - ( 120 - 5 )
2
1
d) 2 10 $ 1 2 7 10
e) 5 $ 14 2
3
f) 7 + 2 4
3
4 3
b) 4 ' ( 3 ' 4 ) -1
1
c) 2 - - 2
11. Beräkna
-3
2
a) 7 ' (- 2 3 ) 2 1
d) 1 - 3 $ 2
12. Beräkna
4
1 1
a) 15 ' (2 - 3 $ 1 5 ) 2 2
7
b) (1 9 ' 3 - 12 ) $ 6
5 7
7
c) 1 - 7 ( 10 - 15 ) 4 5
3 2
d) (2 9 - 6 ) ' (1 4 + 3 )
6
Pass 2
POTENSRÄKNING
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
För att lösa följande uppgifter behöver du känna till potenslagarna.
Potenslagarna (a ! 0)
a x $ a y = a x+y
1
a -x = a x
a x = a x-y
ay
a 1/2 = a
(a x) y = a x $ y
a 1/n = n a
a0 = 1
(a $ b) x = a x $ b x
1. Skriv som potens
a) 114 $ 114 b) c $ c d) 6 $ 6 $ 6 $ 6 $ 6 $ 6
c) 3 $ 3 $ 3... $ 3
1 44 2 44 3
t st
2. Förenkla
a) (- 1) 100 b) (- 1) 99 c) - 3 5 d) (- 3) 5
e) - 0, 3 3 2
f) ( 5 ) 2
22
g) 5
3. Förenkla
a) 0, 5 3 $ (- 8) + 10 $ 0, 1 b) 0, 8 $ (- 1) 5 - (0, 2) 2
c) (2 5 - 3 2) ' (- 0, 4) d) (- 0, 1) 3 $ 200 $ 5 3
1
8
1
e) (- 1 2 ) 3 $ 27 + ( 10 ) 2
7
4. Förenkla
a) x 2 $ x 2 b) a 4 $ a x $ a 2 $ a -x $ a d) a 4 $ a $ a 2 e) x 2 + x 2
c) (- y) 5 $ (- y) 5
5. S
kriv som en enda potens
x8
x5
12 13
d) 12 14
a) x5
x8
z 11 $ z 2
e) 5 6 z $z
b) 6. Bestäm värdet av uttrycket c) 2 702
2 700
f) b 19 $ b 3 ' b 20
x 20 $ x 41 $ x 30
då x = 41 .
x 24 $ x 67
7. Förenkla
a) (6x) 2 b) (ab) 3 c) (2a) 2
d) (- 10y) 9 23
e) 3 1
f) (- 2 4 ) 2
a) (3 2) 4 b) (2 5) 2 c) (m 2) 5
d) (a 7) m (x m) 5
e) 8. Skriv som en enda potens
9. V
i kan skriva 3 6 som potens av en potens enligt följande: 3 6 = (3 2) 3 .
Skriv som potens av en potens
a) 5 15 b) a 8 d) b 24 e) 2 4
c) c 36
10. Förenkla
a) (0, 1a 3) 2 b) (- 1, 7b 2) 3 c) (0, 25a 2 b 3) 2
x
d)( 2y ) 3 2a 3
( 2 )3
e) 3b
f) (
8
hi 2 4
)
fk 2
11. Förenkla
a) 5 0 b) (x 2) 0 d) (1 - s 2) 0 e) (17 0) 2 $ (8 0) 11
c) (s - 1) 0
12. Förenkla
a) 3 -2 b) 1 -17 7
c) ( 8 ) -2
d) 0, 02 -3 1
e) (- 1 4 ) -3 (2y) -3
f) g) a -1 $ a -1 h) a 88 ' a -8
13. S
kriv i tiopotensform
a) 100 b) 0,00203 c) 540 000 d) 20
9
Pass 3
POLYNOM, MINNESREGLERNA
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
Polynom
Ett polynom är ett uttryck där konstanter och variabler sätts ihop genom de fyra
räknesätten. Polynomets grad bestäms av den högsta exponenten i polynomet.
Exponenten i alla termer (utom konstanttermen) ska vara ett positivt heltal
1. Fyll i tabellen nedan.
Polynom
Högsta gradtermen Polynomets grad
Konstantterm Variabel
2x 2 - 5x + 4
8t 2006 - 2007
a 2 + 8a 4 + 0, 02
2. B
estäm polynomet Q (c) =- 2c 2 + 2c + a
a) konstantterm
d) värde för c = 0 b) grad
c) andragradsterm
e) värde för c = 1 f) värde för c = a .
3. Låt P (z) = z 2 - 2z + 3 .
Bestäm P (- 3) .
4. Låt P (y) = 5y 2 - 7y + 25 .
Bestäm P (10) .
10
5. F
örenkla följande uttryck
a) 5 $ 6x b) - 3 (a 2 + 2a - 1)
c) 2t (t - 3) d) - 2x $ 5x
6. För vilket värde på variabeln y får polynomet 5y + 3 värdet - 17 ?
7. a
) Beräkna omkretsen och arean av rektangeln i figur 1.
b) Beräkna volymen av lådan i figur 2.
4s
8x
6s
12x
Figur 1.
8s
Figur 2.
8. Låt P1 (x) = 3x + 7 och P2 (x) = x + 1 .
För vilket värde på x är P1 (x) = P2 (x) ?
9. Låt P1 (x) = 3x + 7 och P2 (x) = x + 1 .
Bestäm
a) funktionernas nollställen.
b) Summan, differensen och produkten av funktionerna.
11
Tänk på att
a-b a b
3+x
3
x
x
x = x - x och att 2 = 2 $ 2 = 8 $ 2
10. Utför divisionerna
y 2 - 3y
b) 3y
yn+3 - yn+2
d) .
yn+1
x 2 - 3x
a)
x
c) 6a 5 + 4a 4
12a 2
Inför denna uppgift måste du lära dig någon divisionsalgoritm
11*. Utför divisionerna med uppställning.
a)
a3 - 8
b) a - 2
3x 2 - x - 2
x-1
12
Pass 4
POLYNOM, MINNESREGLERNA
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
Minnesreglerna
Kvadreringsreglerna
Konjugatregeln
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) (a - b) = a 2 - b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Exempel: (a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
Extraövning: Utveckla (a - b) 2 och (a + b) (a - b) på motsvarande sätt.
Skriv uttrycken i uppgifterna 1-4 som polynom.
1. a) (e + f) 2 d) (a - y) 2 2. a) (a + 1) (a - 1) b) (5 + x) 2 c) (6 + 2) 2
e) (x - 7) 2
b) (2 - z) (2 + z) c) (2a + 2) (2a - 2) d) (hy + ab) (hy - ab)
1
1 1
1
b) ( 2 a + 4 ) ( 2 a - 4 )
3. a) (x - 1, 5) (x + 1, 5) c) (a - b) (b - a)
4. a) (2a 3 - 3b 2) (2a 3 + 3b 2) (1, 5x + 0, 5y) 2
b) c) (1000 + 1) (1000 - 1)
13
Förenkla uttrycken i uppgifterna 5-9
5. a) a (a - b) + ab
b) mn - m (n - 5)
c)(x - y) (x + y) - (2x 2 - y 2)
6. a) 2x - x (x + 2) + x 2
b) (3m + n) (m - 3n) - 3 (m - n) (m + n)
7. a) (m + 2n) 2 - m 2 - 4m 2
b) (2m - n) 2 + n (4m - n)
c) (3a - b) (3a + b) - (3a + b) 2
8. a) (ab - 2x) 2 - (ab + 2x) 2 + 4abx
b) (5ab + xy) (xy - 5ab) - (xy + 5ab) 2 + 10abxy
9. a) (3m 2 - n 3) 2 + m 4 + 9n 6 - 10 (m 4 + n 6)
b) (ab 2 + ab) (a 2 b - ab) - a 2 b 2 (ab - 1) - a 3 b 2
14
Pass 5
FAKTORISERING AV POLYNOM
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
Faktorisera genom utbrytning i uppgifterna 1-5.
Exempel: ab + ac = a (b + c) 3st - 6s 2 t 3 = 3 $ s $ t - 2 $ 3 $ s $ s $ t $ t $ t = 3st (1 + 2st 2)
1. a) 3m + m 2
b) 2m 2 - 5m 2
d) am 3 - nm 2
) 2x 2 + 3x 3
2. a
d) 6x 3 - x 2 + ax 2
3. a) 3a + 3b
d) 21 - 49a
4. a
) mn + my
d) mv 2 - nv
) 6ax - 9bx + 21cx
5. a
d) 77a 2 b + 42ab 2 - 14ab
c) 2am 5 + m 3 - 3m 4
e) 5m 2 - m
b) ax 5 - bx 3
c) 6x 3 - 2x 2 + 5x 5
e) mx 6 + nx 4
b) 7x - 14a
c) 16a - 24x
e) 8a + 12y
f) 9h - 6
b) pq 2 - 3p 2 q
c) 2st - 6at 2
e) 16a 2 b - 8ab
b) 42a 2 y - 35ay 2 + 7ay
c) 12ab - 18bc + 24bd
e) - 27a 2 - 18a - 36
f) 9cz 4 - 21c 2 z 3 - 15c 3 z 2
Faktorisera med konjugatregeln i uppgifterna 6 och 7.
Exempel: a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)
6. a) k 2 - 1
b) x 2 - 4
c) - y 2 + 25
15
d) 1 - s 2 e) a 2 - 9 f) k 2 - l 2
b) 64v 2 - u 2 c) 49 - 9y 2
e) 0, 25x 2 - y 2 f) ,
0 64s 2 - 0, 09t 2
g) x 2 - 121
7. a) 4a 2 - 9b 2 d) 0, 04 - s 2 g) 4b 2 - 0, 09a 2
Faktorisera. Använd först utbrytning och sedan konjugatregeln i uppgifterna 8 och 9.
Exempel: ax 2 - ay 2 = a (x 2 - y 2) = a (x + y)(x - y)
8. a) 2x 2 - 2y 2 d) 8 - 18s 2 9. a) 50k 2 - 98s 2 b) 8x 2 - 8y 2 c) ax 2 - ay 2
e) 5x - 20b 2 x
b) 8k 2 l 3 - 18s 2 l 3 c) 10a 3 - 40a 3 b 2
d) 3rs 2 - 12r 3 t 2
Använd kvadreringsregeln och faktorisera i uppgifterna 10-12.
Exempel: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 , a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2
10. a) a 2 + 2a + 1 d) y 2 + 8y + 16 11. a) 4a 2 + 4a + 1 b) x 2 + 4x + 4 c) w 2 - 2w + 1
e) v 2 - 8v + 16
b) 4a 2 + 12a + 9 c) 25c 2 + 30c + 9
b) 4x 2 - 4xy + y 2 c) x 2 y 2 - 2xyz + z 2
d) 16s 2 - 24s + 9
12. a) a 2 + 4ab + 4b 2 d) 4a 2 b 2 + 25c 2 - 20abc e) 0, 01p 2 + 0, 2p + 1
16
Faktorisera med hjälp av gruppering i uppgifterna 13-17.
Exempel:(x + y) a + (x + y) b = (x + y)(a + b)
13. a
) (m + n) a + (m + n) b
b) a (s - 1) - (s - 1)
c) m (a + b) - n (a + b)
b) x (s - t) - 2 (t - s)
14. a
) 2 (3b - c) + 3c (c - 3b)
c) q (p - n) - r (p - n)
b) y 3 + y 2 + y + 1
15. a) ax + ay + 3x + 3y
c) m 2 + mn + 5m + 5n
b) t 2 - at - 3t + 3a
16. a
) ab + 2b - 3a - 6
c) y 3 - 3y 2 - 2y + 6
b) an + m + n + am
17. a) am - n + an - m
c) b 2 y 3 - 3by + 3 - by 2
Faktorisera först genom utbrytning och sedan vid behov med minnesreglerna
eller gruppering i uppgifterna18-19.
b) 7x 2 y 2 - 7z 4
18. a) 3x 2 - 6x + 3
c) 6 - 24f 2 d 7
d) a 2 m - abm - 2am + 2bm
b)* a 2 xy - 2a 2 y + a 2 x - 2a 2
19. a
) 3x 2 a + 3ax - 3x 2 - 3x
c) a 3 b - a 2 b 2 + 2a 2 b - 2ab 2
17
Faktorisera i uppgifterna 20-21.
(Tips: Undersök kvadrattermerna och se om kvadreringsregeln kan användas.)
k 2 m 2 n 2 + 4mnk 2 + 4k 2
b) 20. a) a 2 x 2 - 2abx + b 2
c) 10a 2 x - 10abx - 5ax + 5bx
b) 2rst 2 - 3rs
21. a) 2x 3 y + x 2 y 2 + 2x 2 y + xy 2
c) 4a 4 + 12a 3 + 9a 2
18
Pass 6
FÖRENKLING AV RATIONELLA UTTRYCK
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
Tänk på att följande regler gäller:
a c
ad bc
ad + bc
b + d = bd + bd = bd
a
b
Det inverterade talet till b är a
a c
ac
b $ d = bd
a b
ab
b $ a = ba = 1
a c
a d ad
b ' d = b $ c = bc
Förkorta uttrycken i uppgift 1.
1. a) x (m + n)
3 (m + n)
ax - ay
c) mx - my
e)
b) a (x - y)
b (x - y)
d) m+5
2m 2 + 10m
x2 - y2
f) (x + y) 2
a2 - b2
a+b
Utför multiplikationerna och förkorta uttrycken i uppgifterna 2-4.
(Tips: Glöm inte minnesreglerna....)
2. a) c)
ab c 2
c $ a
b)
m2 - n2 a - b
a-b $ m+n
m (a - b) + n (a - b)
1
$ a-b
d) m+n
19
n
a-b
a-b $ m
3. a) -
v-u
$ ( u + v)
4u 2 - 4v 2
b) mn
c) (ab - ac) $ b - c
4. a) c)
a 2 - ab x + y
$
x 2 + xy a - b
6a + 18
3a + 3
$
d) a 2 + 6a + 9 a 2 - 1
9 - 6b + b 2 9 + 6 b + b 2
b+3 $
3-b
b)* ax 2 - 4axy + 4ay 2
ab
$
ab 2
(x - 2y) 2
x 2 - 2x + 1 x 2 - 1
1
$ x-1 $ x+1
x+1
Utför divisionerna och förkorta uttrycken i uppgifterna 5-7.
Exempel:
5. a) x + y x - y (x + y)
xy
(x + y) $ xy
x ' xy =
x $ (x + y) = x $ (x + y) = y
a-b a-b
ab ' b
mn
2mn
b) a + b ' a + b
ab
a2 b
d) m - n ' m - n
3ab
ab
c) a + b ' a + b )
6. a) c) 7. a) c)
a2 - b2 a - b
x-y ' x-y
b)
u2 - v2
u+v
a - b ' a2 - b2
2a + 2b
a+b
' a-b
a2 - b2
d) 4a
8a 2
' 2
x - ax
x
x2 - y2
3x ' (x - y)
b)
m 2 - mn
' (3m - 3n)
6
2
4a 2 - 1
' (4a 2 + 4a + 1)
2
Utför additionerna/subtraktionerna och förkorta i uppgifterna 8-12.
a
b
8. a) a - b - a - b
c) b) a
b
2 +
2
a -b
a - b2
2
2a + 1 a (a + 0, 5)
d) m + n - m + n
a
b
2 2
a -b
a - b2
2
20
2
3
9. a) a + 2a
1
1
b) a + 2
a
5p
pq
2 2mn
3m 2 n
1
1
e) x - y + x + y
a
b
10. a) a - b + b - a
1
1
b) x - y - y - x
d) d)
c)
xy + 1
x+y -y
2ab - b 2
a-b +a-b
a
ab
11. a) a - b + 2
a - 2ab + b 2
c) 5
3
c) x - 5x
4a - b
2
+
a 2 + ab a
a-2
a
3a
12. a) a - 1 - a + 1 +
(a + 1) 2
b) 1 - 2x 2 - x
x+2
+ 2x + 1
4x 2 - 1
7a + 8 8 + 4a
d) 5a - 5 + 4 - 4a
b) 3m + 2
6
3m - 2
m 2 - 2m + 1 m 2 - 1 m 2 + 2m + 1
21
Pass 7
EKVATIONSLÖSNING
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
Lös ekvationerna i uppgifterna 1-7.
1. a) 2x + 3 = x - 6
b) 5 - 3y = 4 - 2y
c) 6t - 1 = 3t + 7
d) 3t - 5 = 19 - 5t
b) - 0, 05y + 0, 8 = 0, 2y - 1, 6
2. a) 1, 2x - 0, 6 = 3, 3
c) 0, 4 + 0, 1h - 1, 8 = 0, 2h
På följande uppgifter kan du använda 2 metoder:
3x
2x
2 -1 = 3
3x
2x
6 ( 2 - 1) = 6 $ 3
9x - 6 = 4x 6
x= 5
9x 6 4 x
6 -6 = 6
9x 4x 6
6 - 6 = 6
5x 6
6 = 6
eller:
3x
2x
2 -1 = 3
1
3. a) 6 x + 1 = x
1
5
b) 5 - 1 3 s = 6 s + 4
2 2
c) - 2y + 9 = 3
3
3
d) 6z + 8 = 1 4 + 4z
4. a) 3, 5 (2x - 1) + 1, 4 = 3x - 4, 9
b) 3 (2, 5r - 1) =- 1, 5
1
1
c) 4 ( 8 z + 4 ) =- (z - 1)
22
6
x= 5
5. a) c) 6. a) b) y+1
y
=
2
3 x-2
3 = 1 b) x+1
x-2
2 + 1 = 4 s+6
s
2 - 5 =- 3
d) 6x + 5
2x - 1
2 - (2x + 2 ) = 0, 25 (10x + 3)
6u + 7
80 + 4u 30 - 2u
7 +u =
5
2
7. a) (- a + 1) 2 - (2 + a) 2 =- 3 (2a + 1) b) (h + 2) 2 = 3 + 4h
Lös ut x i följande ekvationer
8. a) x + a = 8 b) 6x - 5 = a x
d) 5 = m
c) 8 + 6x = c Lös ekvationerna
9. a) x 2 = 256 b) 5x 2 - 2x = 0
c) 5a 2 + 5a = 0 d) 5a 2 + 5 = 0
10. a) Lös r ur formeln p = 2rr s
b) Lös s och t ur formeln v = t .
23
Pass 8
EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
1. Rita in linjerna i ett koordinatsystem
a) 3x + 4y - 24 = 0
b) 2x - 5y + 15 = 0
c) 5x - 3y = 0
3
d)y = 4 x + 1
2. L
ös ekvationssystemen grafiskt.
a) (
y + 2x =- 2
y-x = 1
b) (
2x = y + 1
y - 3 =- x
b) (
- 3x + 8y - 7 = 0
2x + 3y - 12 = 0
b) (
2x - y = 10
8x - 4y - 40 = 0
3. L
ös systemet
a) (
2x + 16 =- 7y
5x = 2y - 1
4.Lös systemet
a) (
- 4x + y = 8
6x + 30 = 5y
24
Pass 9
OLIKHETER
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
1. Lös olikheten
a) x - 7 2 0
b) - 2x 1 8 )
c) 3 - x 2 3
x
d) 3 2 0
e)
x+2
3 20
a) - x 2 x
b)
3x + 12
-6 2 0
c) 2x + 4 2 4 (x - 2)
d) - x + 5 # 3x - 12
2. L
ös olikheten
3. S
ätt rätt tecken ( >, ≥ , <, ≤ ) i den tomma rutan
a) 6
7
b) -2
3
Vid en identisk olikhet försvinner variabeln vid förenklingen.
Om olikheten gäller efter förenklingen har olikheten oändligt många lösningar.
Om olikheten inte gäller saknas lösningar.
4. Lös den identiska olikheten - 6 (x + 2) + 2x 2 4 (2 - x) .
5. Lös den identiska olikheten (x - 2) (x + 2) $ 3x 2 - 2 (x + 1) 2 + 2 (2x - 3)
6. L
ös olikheten
a)
x+2
x-3
5 1 2
c) x -
2x
1
b) 5 + 4 2 x - 2
x-1
x-3 x-2
2 $ 4 - 3
25
Pass 10
FUNKTIONER
Förklaringar och exempel på hur du löser uppgifterna kan du hitta på
www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/
1. Bestäm nollställen till funktionerna
a) y = f (x) = x - 4
b) f (x) = x 2 + 5x
c) f (x) = x 2
d) f (v) = v + 3
e) g (a) = a 2 + 2a + 1
f) s (t) = t 2 - 9
2. B
estäm
a) f (2)
då f (x) =
b) f (0)
d) f (y 2)
c) f (a)
x+1
3 .
3. I figur 3 nedan har vi grafen av en funktion.
y
1
1
x
figur 3.
Funktionen har värdemängden - 3 # y # 3 .
a
) Vilken definitionsmängd har funktionen?
b) Bestäm f (0) och f (- 1) med hjälp av figuren.
c) Bestäm funktionssambandet.
d) Bestäm nollstället till funktionen.
e) För vilket värde på x är f (x) = 3 ?
4. L
åt f (x) = x 2 + x - 7 och g (x) = x 2 - x . Lös ekvationen f (x) = g (x) .
5. Låt f (x) = x + a och g (a) = a . Lös ekvationen f (x) = g (a) med avseende på x.
26
Facit till uppgifterna i pass 1
1. N: x+3=5
2. a)
3. a)
Z: x+5=3
b)
c)
b)
4. a)
Q: 7x=12 R: x2 = 2
d)
e)
f)
g)
c)
b)
c)
d)
e)
5a. 2•3 b. 2•2•2 c. 2•2•3 d. 3•3•2 e. 2•2•3•2 f. 2•2•2•2•2
g. 2•2•2•2•3
6. a) 0,12 b) 0,444... går inte att skriva som decimaltal c) 1,125 d) 103,0 e) 0,2648
7. a)
b)
8. a)
9. a)
b)
b)
10. a) 0 b)
11. a)
c)
c)
c)
b)
d)
d)
d)
c) 0 d)
e)
e) 1 f)
f)
12. a)
b)
c)
d)
Facit till uppgifterna i pass 2
1. a)
b)
2. a)
b)
3. a)
b)
4. a)
b)
5. a)
c)
d)
c)
d)
e)
c)
c)
b)
d)
d)
c)
f)
g)
e)
e)
d)
e)
f)
6.
7. a)
8. a)
b)
b)
9. a)
c)
b)
10. a)
b)
12. a)
b)
13. a)
d)
d)
c)
d)
f)
e)
c)
c)
c)
e)
e)
b)
11. a)
i)
c)
d)
e)
d)
d)
e)
e)
f)
f)
f)
g)
h)
j)
b)
c)
d)
e)
f)
Facit till uppgifterna i pass 3
1.
Polynom
Högsta
gradtermen
Polynomets
Konstantterm
grad
2. a)
b)
c)
d)
e)
f)
3.
4.
5. a)
b)
c)
d)
6.
7. a)
,
8.
9. a) P1 (x) = 0då x = −
b)
7
3
P2 (x) = 0 då x = −1
b) P1 (x) + P2 (x) = 4x + 8
P1 (x) − P2 (x) = 2x + 6 P1 (x) ⋅ P2 (x) = 3x 2 + 10x + 7
y
3a 3 + 2 a 3 1
10a) x − 3 b) − 1 c)
d) y 2 + y
= +
3
6
2 3
11.a) 3x + 2 b) a 2 + 2a + 4
Variabel
Facit till uppgifterna i pass 4
1.a)
b)
c)
d)
e)
2. a)
b)
c)
3. a)
b)
4. a)
b)
5. a)
6. a)
7. a)
8. a)
9. a)
b)
c)
c)
c)
b)
b)
d)
c)
b)
b)
Nollkurs i matematik
Facit till uppgifterna i pass 5
1. a)
b)
c)
d)
e)
2. a)
b)
c)
d)
e)
3. a)
b)
c)
e)
f)
4. a)
b)
d)
c)
d)
e)
5. a)
b)
d)
c)
e)
6. a)
f)
b)
d)
c)
e)
f)
g)
7. a)
b)
d)
c)
e)
f)
g)
8. a)
b)
d)
c)
e)
9. a)
b)
c)
d)
10. a)
b)
c)
d)
11. a)
b)
c)
12. a)
b)
c)
e)
d)
d)
e)
13. a)
14. a)
15. a)
b)
b)
b)
c)
c)
c)
16. a)
b)
17. a)
b)
18. a)
c)
c)
b)
c)
d)
19. a)
20. a)
21. a)
b)
b)
c)
c)
b)
c)
Facit till uppgifterna i pass 6
1. a)
b)
2. a)
b)
3. a)
b)
4. a)
5. a)
e)
c)
d)
c)
c)
d)
c)
b)
b)
b)
10. a)
b)
f)
d)
b)
9. a)
12. a)
c)
b)
7. a)
11. a)
d)
b)
6. a)
8. a)
c)
d)
c)
c)
d)
c)
d)
c)
e)
d)
b)
c)
b)
Nollkurs i matematik
d)
Facit till uppgifterna i pass 7
1. a)
b)
2. a)
3.
b)
6. a)
7. a)
c)
b)
b)
9.a)
d)
c)
c)
d)
b)
b)
8. a)
b)
d)
c)
b)
4. a)
5. a)
c)
b)
c)
d)
, ja det kan vi.
b)
c)
d)
Facit till uppgifterna i pass 8
1.
2.a) x = −1 y = 0
b) x =
3
4
y=
1
2
3.a) x = −1 y = −2 b) x = 3 y = 2
5
36
y=
4.a) x = −
b) Oändligt många lösningar
7
7
Facit till uppgifterna i pass 9
1. a)
b)
c)
d)
2. a)
b)
c)
d)
3.a)
b)
c)
d)
4.
5.
6. a)
b)
c)
e)
Facit till uppgifterna i pass 10
1. a)
b)
c)
f)
2. a)
b)
3. a)
4.
5.
d)
b)
c)
d)
c)
e)
och
d)
e)
