Grunder i matematik och logik (2017)
Uppgifter 1: Logik
Marco Kuhlmann
1.01
1.02
Ange symboler och sanningstabeller för följande logiska operatorer:
a) konjunktion
c) implikation
b) disjunktion
d) ekvivalens
Skriv följande uttryck med så få parenteser som möjligt:
a) (𝑝 ∨ (¬𝑞)) → ((¬𝑟) ∧ 𝑞)
b) (((𝑝 ∨ 𝑞) ∧ 𝑟) → (𝑟 ∨ (¬𝑝))) ↔ ((𝑞 ∨ 𝑟) → ((𝑞 ∧ 𝑟) ∨ (¬𝑝)))
1.03
1.04
Avgör om följande uttryck är logiskt ekvivalenta. Använd sanningstabeller.
a) 𝑝 → 𝑞
¬𝑝 ∨ 𝑞
b) 𝑝 → 𝑞 ∨ 𝑟
¬𝑞 → ¬𝑝 ∨ 𝑟
c) 𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)
(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ 𝑟
d) ¬𝑝 ∧ ¬𝑞
¬(𝑝 ∨ 𝑞)
e) 𝑝 ∧ 𝑞 → 𝑟
¬𝑟 → ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
f) (𝑝 → 𝑞) → 𝑟
(𝑝 ∨ 𝑟) ∧ (¬𝑞 ∨ 𝑟)
g) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (¬𝑝 ∨ 𝑞)
𝑝 ∧ 𝑞 ∨ ¬𝑝 ∧ 𝑞
Avgör om följande uttryck är tautologier, kontradiktioner, eller varken eller.
a) 𝑝 ∧ ¬𝑝
e) (𝑝 ∨ 𝑞) ∧ ((¬𝑝) ∧ (¬𝑞))
b) 𝑝 ∨ ¬𝑝
f) ((𝑝 → 𝑞) ∧ ¬𝑞) → ¬𝑝
c) ¬(𝑝 ∧ 𝑞) ↔ ¬𝑝 ∨ ¬𝑞
g) ((𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (𝑝 → 𝑟) ∧ (𝑞 → 𝑟)) → 𝑟
d) ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝) → 𝑞
h) ((𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝) → 𝑞
1
1.05
En disjunktion 𝑝 ∨ 𝑞 är sann om och endast om minst ett av uttrycken 𝑝 och 𝑞 är sant.
Vi skriver ⊕ för operatorn ”exklusivt eller” (eng. exclusive or, xor). Uttrycket 𝑝 ⊕ 𝑞 ska
vara sant om och endast om exakt ett av deluttrycken är sant.
a) Skriv ner sanningstabellen för ⊕.
b) Uttryck ⊕ med de operatorer vi redan definierat.
1.06
Konjunktion, disjunktion och implikation är tre exempel på (binära) logiska operatorer, men det finns fler också. Hur många olika binära logiska operatorer finns det?
Två operatorer betraktas som identiska om de beskrivs genom samma sanningstabell.
1.07
En samling logiska operatorer kallas funktionellt fullständig om varje sanningstabell
kan uttryckas genom att kombinera operatorer från samlingen i ett booleskt uttryck.
En välkänd uppsättning logiska operator som är funktionellt fullständig är {∧, ¬},
som består av konjunktion och negation. Visa att följande operatorer är funktionellt
fullständiga:
a) NAND, negationen av konjunktionen
b) NOR, negationen av disjunktionen
2
