729G06 Logik
Lektion 1
29 januari 2016
Uppgifter ibland hämtade från- eller inspirerade av Bennet. I förekommande
fall står uppgiftsnummer inom parentes.
OBS! Bli inte oroliga om ni börjar med detta på lektionspasset, och inte
hinner klart. Det är anpassat för att det ska nnas både mängdträning och
bredd, och kan ta mer tid än den schemalagda.
1
Lektion 1 - Satslogik
1. Formalisera i
satslogiken.
Försök att fånga den talspråkliga betydelsen.
Notera särskilt om du tagit några genvägar, eller om formuleringarna är
tvetydiga eller behöver anpassas (det kan mycket väl vara så!).
a) Jag kan yga och jag är inte rädd.
b) Jag äter glass eller middag.
c) Om jag simmar så är jag både blöt och glad.
d) Om jag kan simma så är jag varken rädd eller begränsad.
e) Vi seglar ut om det blåser, och bara då.
f ) Om det regnar så blir katterna blöta. Men just nu regnar det inte.
g) Antingen sover jag eller så är jag vaken.
h) Programkoden är skriven i Python eller i Ryssland.
i) Roboten kan öppna dörren om och enbart om roboten har nyckeln och
dörren är låst, eller om dörren är olåst.
2. Det nns konventioner för hur man ska parentetisera uttryck som inte har
parenteser. Skriv ut samtliga parenteser som vi missat nedan:
a)
A → B ↔ ¬B → ¬A
b)
¬A ∨ B ↔ A → B
c)
¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B
d)
¬(A ∨ B) ↔ ¬A ∧ ¬B
e)
A → B ∨ ¬¬A ↔ B ∧ C
3. Visa (eller motbevisa)
A, B |= A ∨ B
1
med en sanningstabell.
4. Visa (eller motbevisa)
A, B ↔ A 6|= ¬B
med en sanningstabell, eller en
tilldelning.
5. Vilka av påståendena nedan stämmer? Om ett påstående stämmer, visa
det med en sanningstabell. Hitta annars en tilldelning som visar att det
inte är korrekt. En del kommer att vara lite repetitionsaktigt.
a) p
∧
q är sant om minst ett av p/q är sant (annars falskt).
b) p
∧
q är sant om q är falskt.
↔
=).
c) p
q är sant om p och q har samma sanningsvärde (ett slags logiskt
d) p
→
q är sant så fort p är sant.
e) p
→
q är sant om q är minst lika sant som p (annars falskt) (ett slags
logiskt
f) p
g)
∨
q är falskt när båda är falska, och sann annars.
¬p ∨
h) p
∧
≤)
p är alltid sant.
q är falskt så fort något av p/q är falskt (ett slags logiskt
min-
funktion).
6. Visa sambanden från föreläsningen, med hjälp av sanningstabeller:
a)
A → B ↔ ¬B → ¬A
b)
¬A ∨ B ↔ A → B
c)
¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∨ ¬B
(De Morgan)
d)
¬(A ∨ B) ↔ ¬A ∧ ¬B
(De Morgan)
(kontrapositiv)
7. Avgör om formeln är en tautologi, kontradiktion eller kontingent/satiserbar.
(Bennet 6.2.5)
Tips: Börja med att resonera, innan ev sanningstabeller konstrueras. I
vilket/vilka fall (tautologi/kontradiktion/kontingent) behöver man konstruera en fullständig sanningstabell?
a)
A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
b)
(A → B) ∨ (B → A)
8. Använd naturlig deduktion för att visa följande (steg för steg, inte bara
följer direkt av satslogiken, T-regel):
a)
A ∧ B, B → C ` C
b)
¬A → ¬B, B ` A
c)
A ∨ ¬B ∨ C, ¬A, B ` C
d)
¬A → ¬B, B → C, B ` (A ∧ C)
e) A
(lite repetition)
` (B → A)
2
9. Formalisera meningen nedan (Bennet 5.1.5), och avgör om det är korrekt
resonemang eller ej. Börja med att resonera, och bevisa
därefter
det du
kom fram till formellt.
Om det regnar eller blåser så vantrivs humlorna. Det regnar. Alltså
vantrivs humlorna.
3
