F4: Kvantmekaniska principer

F4: Kvantmekaniska principer
Idag skall vi titta på några grundkoncept inom
kvantmekaniken
Operatorer, Hermitska Operatorer
● Superpositionstillstånd
● Förväntningsvärden
● Obestämbarhetsprincipen (osäkerhetsprincipen)
● Kvantmekanikens postulat
●
Operatorer
Schrödingers tidsoberoende ekvation skrivs som
^ Ψ= E Ψ
H
där
2
ℏ
2
^
H =−
∇ +V
2m
är en operator .
Den utför tvåmatematiska operationer på Ψ ,
en dubbel differentiering och en multiplikation .
Operatorer
2
ℏ
2
^
H=−
∇ +V
2m
är en så speciell operator att vi
har namngivit den efter en matematiker
som har utvecklat mycket av den
matematik vi behöver i kvantmekaniken
−William Hamilton .
Operatorer
2
ℏ
2
^
För H =−
∇ +V
2m
som är operatorn för den totala energin ,
identifierar vi
2
ℏ
d d d
2
−
∇ , där ∇=( , , )
2m
dx dy dz
som operatorn för den kinetiska energin och
V
som operatorn för den potentiellaenergin .
Egenvärdesekvationer
Schröderinger ekvationen tillhör matematisk en
klass av ekvationer som ser ut som
Operator∗Funktion=(skalärt tal)∗Funktion
ien generell formulering vi skriver
^ f =ω f
Ω
Dessa ekvationer kallas egenvärdesekvationer .
Egenvärdesekvationer
^ f =ω f
Ω
^ en generell operator ,
här är Ω
ω är en konstant faktor , ett egenvärde , och
^ med egenvärdet ω .
f är en egenfunktion av Ω
Att konstruera operatorer
Schrödingekvationen skrivs som
^ Ψ=E Ψ
H
med mönstret
( Energioperator )Ψ=( Energi)Ψ
detta mönster kan utvidgas till andra observabler
som t . ex . moment , dipolmoment , etc .
Att konstruera operatorer
Den generella konstruktionen är då
(Operator motsvarande en observabel)Ψ =
(värde av observabeln) Ψ
Ω :en observabel
^ : Operatorn för observabeln Ω
Ω
ω: värdet av observabeln Ω
Att konstuera operatorer
I klassik mekanik bestämms ett system
fullständigt av position och(linjärt)moment .
Dvs . alla egenskaper hos ett systemet
är en funktion av dessatvå .
På samma sätt är det för egenskapenai ett
kvantmekaniskt system ,
operatorerna för observabler
är funktioner av operatorena för
position , x , och moment , p .
Att konstruera operatorer:
grundläggande postulat
I positionsrepresentationen av Ψ skrivs
positions - operatorn som : ^x =x ×
ℏ
(linjärt ) moment - operatorn som : ^p= ∇
i
2
2
2
2
2
ℏ
ℏ
∇
^
(
p
)
1
p
mv
2
^
E k Ψ=−
∇ Ψ=
(
) Ψ=
Ψ=
Ψ=
Ψ
2m
2m i
2m
2m
2
p=mv
Att konstruera operatorer
Exempel 1: Denklassiska potentiella energin skrivs som
1
2
V (x)= k f x
2
motsvarande operator skrivs som
1
2
^
V (x )= k f x ×
2
Att konstruera operatorer
Exempel 2 :det klassiska vinkelmomentet uttrycks som
L=r × p
Motsvarande operator uttrycks som
ℏ
^
L=r
× ∇
i
Hermitska Operatorer
Definition :
Charles Hermite
*
* ^
^
∫ Ψ Ω Ψ i d τ =(∫ Ψ i Ω Ψ j d τ )
*
j
Hermitska Operatorer
Egenskaper:
●
●
Egenvärden av hermitska operatorer är reella,
ω*=ω
Egenfunktionerna till hermitska operatorer är
ortogonala
Alla kvantmekaniska operatorer som motsvarar
observabler är hermitska!
Hermitska Operatorer
För
*
X = X R +i X I , X = X R−i X I
*
beräkna( AB) !
( AB)*=(( A R +i A I )(BR +i B I )) * =
( A R∗BR − A I ∗B I +i( A I ∗B R + A R∗B I ))* =
( A R∗B R −A I∗B I −i( A I ∗BR + A R∗B I ))=
*
( A R −i A I )( B R −i B I )= A B
*
*
*
Av detta följer också att ( A B) =A B
*
Hermitska operatorer:
Ex. 1, positions operatorn
∫Ψ
*
i
*
x Ψ j d τ=∫ Ψ j x Ψ d τ=(∫ Ψ x Ψ i d τ )
*
i
*
j
x=x*
Med utgångspunkt från kedjeregeln för differentiering
d (fg)
dg
df
=f
+g
dx
dx
dx
finner vi att
dg d (fg)
df
f
=
−g
dx
dx
dx
d (fg)
∫
dg
df
∫ f dx dx= dx dx −∫ g dx dx
dg
df
∫ f dx dx=I fg−∫ g dx dx
Hermitska Operatorer:
Ex. 2, (linjärt) momentoperatorn
∫ Ψ p^ x Ψ j dx =−∫ Ψ j p^ x Ψ dx =
*
*
*
∫ Ψ j ( p^ x Ψ i ) dx=(∫ Ψ j p^ x Ψi dx )
*
i
*
i
Reella Egenvärden och
Ortogonalitet
^ Ψ d τ≡
ω i∫ Ψ Ψ i d τ =∫
Ψ
Ω
i
⏟
*
j
*
j
starta här
*
*
*
*
^
(∫ Ψ Ω Ψ j d τ) =(ω j∫ Ψ Ψ j d τ) = ω j∫ Ψ j Ψi d τ
*
i
*
i
*
j
*
j
ger villkoret 0=(ωi −ω )∫ Ψ Ψi d τ
Reella egenvärden (i=j)
^,
För en normaliserad egenfunktion till Ω
Ψ , finner viatt
0=(ω−ω )∫ Ψ Ψ d τ=(ω−ω )
*
dvs .
*
*
*
ω=ω vilket bevisar att ω är reellt .
Ortogonalitet (i≠j)
^ med olika egenvärden
För två egenfunktioner till Ω
finner vi från villkoret
0=(ω i−ω j )∫ Ψ Ψ i d τ
*
j
att 0=∫ Ψ Ψ i d τ
*
j
dvs . funktionerna är ortogonala .
Superposition
Vågfunktioner är inte alltid egenfunktioner till alla hermitska operatorer
samtidigt !
Exempel : Ψ (x )=2 A cos ( kx) ,(en fri partikel , V =0)
2
2
−ℏ
d
^ ( x )=
H
2 m dx 2
( ℏ k )2
H^ ( x) Ψ=
Ψ=E Ψ
2m
Ψ är en egenfunktion till energioperatorn !
kℏ
men p^ x Ψ=−
2 A sin (kx )≠ p Ψ
i
Superposition
±ikx
För vågfunktioner som A e
p^ x A e
±ikx
finner vi att
ℏ ∂
±ikx
±ikx
±ikx
=
A e =±ℏ k A e = p A e
i ∂x
dvs . dom är egenfunktioner till p^x !
Mao . vi kan uttrycka2 A cos (kx )som en linjärkombination
av egenfunktioner till p^ x
ikx
Ψ=2 A cos (kx )= A (e +e
−ikx
)
vi kallar en sådan vågfunktionenen superposition .
Superposition
Generellt har vi att en vågfunktion kan uttryckas
som en linjärkombination av egenfunktioner till
^ som
en godtycklig operator Ω
Ψ=∑k c k Ψ ,
Ω
k
där
Ω
Ω
^
Ω Ψ k =ω k Ψ k
Mätning av en egenskap hos en
superpositionsvågfunktion
1. När egenskapen Ω mäts i en enskild mätning
observeras endast ett av värdena ω k .
2. Sannolikheten för att mäta ett speciellt ω k
är proportionellt mot|c k 2| .
3. Genomsnittsvärdet efter ett oändligt antal mätningar
kallas förväntningsvärdet och definieras som
^ Ψdτ
⟨Ω ⟩=∫ Ψ Ω
*
Förväntningsvärden
*
* ^
^
⟨Ω ⟩=∫ Ψ Ω Ψ d τ =∫ ( ∑ k c k Ψ k ) Ω( ∑ l c l Ψl )d τ =
*
*
*
^
∫ (∑k c Ψ )(∑l c l Ω Ψ l)d τ=∑kl c k c l∫ Ψ k ωl Ψl d τ =
*
k
*
k
*
*
*
2
∑kl ω l c k cl ∫ Ψ k Ψ l d τ=∑kl ω l c k c l δ kl =∑l ω l|c l|
För egenfunktioner är egenvärdet och
förväntningsvärdet det samma .
Förväntningsvärde: Exempel
Beräkna ⟨ p ⟩ för Ψ( x)=2 A cos (kx )!
ikx
−ikx
Ψ (x )= A e + A e
egenvärdena för dessa två funktionerna är p ℏ och− p ℏ .
2
Detta ger (⟨ Ω ⟩=∑l ω l|c l| )
2
2
⟨ p⟩= A p ℏ+ A (− p ℏ)=0 !
Obestämbarhetsprincipen
Om vi gör en mätning av en egenskap på en vågfunktion
för vilken vågfunktioneninte är en egenfunktion
får vi vid varje mättillfälle ett mätresultat
som är totalt oförutsägbart .
Obestämbarhetsprincipen
Exempel: en vågfunktion med
väldefinierad position
Obestämbarhetsprincipen
∞
Ψ ( x)=∫−∞ c ( k )e dk
ikx
för denna vågfunktionen får vi vid
varje mätning av momentet
ett godtyckligt värde som svarar mot ±ℏ k .
2
Sannolikheten för en sådan mätning är |c (k )|
Obestämbarhetsprincipen
∞
Ψ( x)=∫−∞ c (k )e dk
ikx
Ju mera välbestämd positionen är ju mindre
väldefinerad är hastigheten – inget speciell c(k)
är stort och dominerar.
Alternativt, om endast ett c(k) är skilt från noll –
hastigheten är väldefinerad – då är positionen
av partikeln odefinerad.
P( x )=| A e
(ikx ) 2
2
| =|A|
Obestämbarhetsprincipen
Det är omöjligt att samtidigt exakt bestäma positionen
och hastigheten för en kvantpartikel !
Heisenberg formulerade ett kvantitativt uttryck för detta
1
Δ pλ Δ q λ ≥ ℏ
2
(Bad but not too bad!)
där Δ pλ =√ ⟨ p 2λ ⟩−⟨ p λ ⟩ 2 , dito q λ
Werner Heisenberg
Obestämbarhetsprincipen
Obestämbarhetsprincipen kommer från det
faktum att vi inte kan samtidigt och exakt
bestämma två olika egenskaper annat än att de
har gemensamma egenfunktioner.
Om två egenskaper inte har gemenSsamma
egenfunktioner kallar vi dom komplementära
och då gäller.
Ω^ 1 Ω^ 2 Ψ≠Ω^ 2 Ω^ 1 Ψ
Obestämbarhetsprincipen
Om detta gäller säger vi att operatorerna inte
kommuterar. För att hålla reda på detta
introducerar vi den så-kallade kommutatorn,
som definieras som:
[ Ω^ 1, Ω^ 2 ]=Ω^ 1 Ω^ 2−Ω^ 2 Ω^ 1
Kommutator för x och p
[ x , p^ x ] f (x )= x p^ x f (x )− p^ x (x f (x)) =
x p^ x f ( x)−f (x)( p^x x)−x p^ x f ( x)
ℏ d
[ x , p^ x ] f (x )=−f ( x)(
x )=i ℏ f (x )
i dx
ger att
[ x , p^ x ]=i ℏ
Obestämbarhetsprincipen
Efter vår definition av kommutatorer kan vi formulera
Heisenbergs princip idess mest generella form som
1 ^ ^
Δ Ω1 Δ Ω2 ≥ |⟨ [ Ω 1, Ω 2 ]⟩|
2
Detta är också vattendelarenmellan klassik och kvant mekanik .
Denklassiska mekanikens antagande att positionen och
momentet för en partikel kan samtidigt mätas till godtycklig
noggrannhet är falsk .
Kvantmekanikens postulat
●
Schrödingers ekvationer, tidsberoende/tidsoberoende
●
Borns tolkning, sannolikhetsamplitud och sannolikhetstäthet
●
Godtagbara vågfunktioner
●
Observabler och operatorer
●
Egenvärden och förväntningsvärden
●
Heisenbergs obestämbarhetsrelation
Klassiskt : Q=Q ( p , q)
Kvantmekaniskt : Ψ=Ψ(q)eller Ψ =Ψ ( p)