Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för dn(t ) rn(t ) dt n(t ) e rt n(0) jmf n(t+1)-n(t) n(t 1 ) Rn(t) n(t) n(t) R t n( 0 ) Bestämma ekvationen Bestäm vad som påverkar systemet rx Population x Bestäm om parametrarna är tillväxt positiva eller negativa, dvs ger tillväxt eller reduktion -dx Bestäm om respektive bx ‘dödslar’ parameter är linjär eller Population x ickelinjär födsel i immigration Bestämma ekvationen Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: rx, positiv, linjär rx Population x tillväxt dx(t ) rx(t ) dt Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: bx, positiv, linjär dx, negativ, linjär i, positiv, konstant dx(t ) (b d ) x(t ) i dt bx Population x -dx ‘dödslar’ födsel i immigration Differentialekvationer, del 1 Linjära differentialekvationer Separabla ekvationer System av linjära differentialekvationer kap 5.1-2 Använda numeriska metoder kap 5.4 Vad är differentialekvationer Derivator i en ekvation, dvs både y och y’ i samma ekvation Exempel: Både koncentration och förändring av koncentrationen För att lösa detta så måste man integrera på något sätt, dvs göra om y’ till y. De flesta differentialekvationer går ej att lösa analytiskt, hänvisad till numeriska lösningar Separabla ekvationer Separera variablerna till HL resp VL Integrera därefter respektive sida dx(t ) dx(t ) tx(t ) tdt dt x(t ) 1 x(t )dx(t ) tdt Lösning, generell 1 x(t )dx(t ) ln x(t ) C1 1 x(t )dx(t ) tdt 1 2 tdt 2 t C2 1 2 ln x(t ) t C 2 x(t ) e 1 2 t C 2 x(t ) C ' e 1 2 t 2 Lösning, generell och partikulär dx(t ) tx(t ) dt har generella lösningen: x(t ) C ' e 1 2 t 2 Om vi vet t ex att x(0)=4 så kan vi bestämma C’ dvs partikulär lösningen x(0) 4, x(0) C ' e x(t ) 4e 1 2 t 2 1 2 0 2 C' Separabla ekvationer, sammanfattning Separera variablerna till HL resp VL Integrera därefter respektive sida dn(t ) dn(t ) rn(t ) rdt n(t ) C ' e rt dt n(t ) dn(t ) n(t ) K r (1 )n(t ) ? ???????? n(t ) dt K 1 C ' e rt Tolka differentialekvationen Hur kommer lösningen, lösningsfunktionen, att se ut? När derivatan är negativ så avtar funktionen positiv så växer funktionen noll så är funktionen konstant, vid jämvikt dn(t ) n(t ) studera r (1 )n(t ) dt K Linjär differentialekvation: integrerande faktor Linjär med avseende på n(t), dvs m a p lösningsfunktionen vi söker Dessa ekvationer kan skrivas som: dn(t ) P(t )n(t ) Q(t ) dt Integrerande faktorn används för att lösa denna typ av ekvationer. Integrerande faktor: P ( t ) dt (t ) e Lösning via integrerande faktor dn(t ) P(t )n(t ) Q(t ) dt P ( t ) dt (t ) e Integrerande faktor: 1 (t )Q(t )dt C n(t ) (t ) (t )Q(t )dt C n(t ) (t ) Om (t )Q(t )dt existerar så kan du alltså bestämma en lösning för n(t) Exempel: integrerande faktor dn(t ) P(t )n(t ) Q(t ) dt P ( t ) dt (t ) e Integrerande faktor: 1 (t )Q(t )dt C n(t ) (t ) Exempel: dn(t ) 3 t n(t ) 2t 2 dt t (t ) e 13 t 3 2 ( t ) Q ( t ) dt e 2 t dt 2e lösning: 2 n(t ) e 13 t 3 (e 13 t 3 13 t 3 C ) C 2e 2 dt e C 1 t3 3 13 t 3 Maple: program som tar fram analytiska lösningar 13 t 3 2 ( t ) Q ( t ) dt e 2 t dt 2e 13 t 3 C int(exp((1/3)*(t^3))*(2*t^2),t); Använder samma teknik som vi samt en stor databas Exempel: integrerande faktor dn(t ) P(t )n(t ) Q(t ) dt Integrerande faktor: P ( t ) dt (t ) e 1 (t )Q(t )dt C n(t ) (t ) t dt dn ( t ) Exempel: 2 0.5tn(t ) 0.2t 0.1 (t ) e et dt Partiell integration: t t t (t )Q(t )dt e (0.2t 0.1)dt 0.2e t-0.3e derivera ena termen, integrerar den andra lösning: n(t ) 1 (0.2et t-0.3et C ) 0.2t 0.3 Ce t t e Exempel: integrerande faktor dn(t ) 0.5tn(t ) 0.2t 0.1 dt 1 t t t Generell lösning: n(t ) t (0.2e t-0.3e C ) 0.2t 0.3 Ce e Exempel: n(0)=0.1 och n(0) 0.2 0 0.3 Ce 0 0.1=-0.3+C Partikulär lösning: Maple: C=0.4 n(t ) 0.2t 0.3 0.4e t int(exp(t)*(0.2*t-0.3),t); Homogen linjär differentialekvation med konstanta koefficienter Samma typ av problem som för system av linjära rekursiva talföljder, kap 1. Bestämma egenvärden, eller snarare rötterna till ett polynom d nx d n1 x dx a0 n a1 n1 ... an1 an x 0 dt dt dt Exempel: d 2 x dx 6x 0 2 dt dt Både första och andra derivata i ekvationen Egenvärden och lösningens karaktär Lösningen fås genom att anta att t x ( t ) Ce lösningen är x(t ) Ce t i ekvationen Sätt in och bestäm d nx d n1 x dx a0 n a1 n1 ... an1 an x 0, dt dt dt x(t ) Ce t a0Cnet a1Cn1et ... an1Cet anCet 0 a0n a1n1 ... an1 an 0, om C 0, 0 Egenvärden och lösningens karaktär a0n a1n1 ... an1 an 0, om C 0, 0 Detta är ett polynom, bestäm rötterna! d 2 x dx 6 x 0 Begynnelsevärden: x(0)=2, x’(1)=3 2 dt dt 2 t 6 0, om C 0, 0 antag lösning x Ce 1 3, 2 2 Exempel: x C1e3t C2e2t med x(0) 2, x' (1) 3 ger 1 3t 1 2 t x e e 5 5 Egenvärden och lösningens karaktär d 2 x dx 6x 0 2 dt dt Begynnelsevärden: x(0)=2, x’(1)=3 Partikulär lösning: För stora t gäller att 1 3t 1 2 t x e e 5 5 1 3t x e 5 Lösningens karaktär Om Im()=0 Om Im()0 Re()>0, exponentiell tillväxt Re()>0, växande oscillationer Re()<0, exponentiell avtagande Re()<0, avtagande oscillationer Re()=0, konstant Re()=0, oscillation System av första ordningens homogena linjär differentialekvationer med konstanta koefficienter Koppla samman flera linjära ekvationer, t ex för två eller flera populationer eller hormon Påminner om åldersklasser o dyl men lösningen är et istället för Rt Egenvärden och lösningens karaktär dx ax by dt dy cx dy dt a b A c d Bestäm egenvärden, 1 och 2 samt egenvektorer, v1 och v2 x C1v1 (1)e 1t C2v2 (1)e2t y C1v1 (2)e 1t C2v2 (2)e2t Du måste ha ett begynnelse värde (x,y) för att bestämma C1 och C2 Egenvärden och lösningens karaktär Bestäm egenvärden, 1 och 2 •Om dominerande egenvärdet är positivt så tillväxer både x och y oavsett begynnelsevärden. •Jämvikten, dvs (0,0), är då en source •Om båda egenvärdena är negatova så avtar både x och y oavsett begynnelsevärden. •Jämvikten, dvs (0,0), är då en sink SE sid 260 för fler definitioner utifrån egnvärdena lösningens karaktär •Generellt gäller för linjära system att varje variabel antingen går mot noll eller tillväxer exponentiellt utom i få udda specialfall •Alltså måste en modell som hanterar ett system som har ett robust stabilt beteende vara ickelinjär De flesta ekvationer kan approximeras med linjära funktioner inom ett litet intervall Ekvationer som är deriverbara, dvs är kontinuerliga inom intervall, kan approximeras med Taylorutveckling. Dess första term är linjär och därmed är det möjligt att approximera Intervallet är mindre ju större derivatan är inom området Numeriska lösningar De flesta diffentialekvationer går ej att lösa analytiskt. Man får bestämma sin lösning m h a numeriska metoder Eulers metod är att göra om diff ekv till differens ekvation med lämplig steglängd Mer raffinerade metoder, som Runge Kutta, utnyttjar ett antal derivator vid resp punkt. På detta sätt förbättras riktningen, dvs värdet vid nästa steg Matlab: Numeriska lösningar [t,y] =ode45(’funktion',tidsintervall,begynnelsevärden); Skapa en m-fil rigid.m function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % a column vector dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2); lös ekvationen på intervallet 0-12 [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]) Matlab: Numeriska lösningar [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]) plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.') Gör om rigid.m och pröva olika ekvationer Vissa typer av diff ekvationer, s k styva ekvationer, bör lösas med t ex ode15s(…) Styva diff ekvationer