Kontiuerliga system: Differentialekvationer

Kontinuerliga system:
Differentialekvationer
Deterministiska modeller
derivata istället för
dn(t )
 rn(t )
dt
n(t )  e rt n(0)
jmf
n(t+1)-n(t)
n(t  1 )  Rn(t)  n(t)
n(t)  R t n( 0 )
Bestämma ekvationen



Bestäm vad som påverkar
systemet
rx
Population x
Bestäm om parametrarna är
tillväxt
positiva eller negativa, dvs
ger tillväxt eller reduktion
-dx
Bestäm om respektive
bx
‘dödslar’
parameter är linjär eller
Population x
ickelinjär
födsel
i immigration
Bestämma ekvationen

Vad påverkar systemet: tecken,
konstant, linjär eller ickelinjär:
rx, positiv, linjär
rx
Population x
tillväxt
dx(t )
 rx(t )
dt

Vad påverkar systemet: tecken,
konstant, linjär eller ickelinjär:
bx, positiv, linjär
dx, negativ, linjär
i, positiv, konstant
dx(t )
 (b  d ) x(t )  i
dt
bx
Population x
-dx
‘dödslar’
födsel
i immigration
Differentialekvationer, del 1




Linjära differentialekvationer
Separabla ekvationer
System av linjära
differentialekvationer
kap 5.1-2
Använda numeriska metoder
kap 5.4
Vad är
differentialekvationer




Derivator i en ekvation, dvs både y
och y’ i samma ekvation
Exempel: Både koncentration och
förändring av koncentrationen
För att lösa detta så måste man
integrera på något sätt, dvs göra
om y’ till y.
De flesta differentialekvationer går
ej att lösa analytiskt, hänvisad till
numeriska lösningar
Separabla ekvationer


Separera variablerna till HL resp
VL
Integrera därefter respektive sida
dx(t )
dx(t )
 tx(t ) 
 tdt
dt
x(t )
1
 x(t )dx(t )   tdt
Lösning, generell
1
 x(t )dx(t )  ln x(t )  C1
1
 x(t )dx(t )   tdt
1 2
 tdt  2 t  C2
1 2
ln x(t )  t  C
2

x(t )  e
1 2
t C
2

x(t )  C ' e
1 2
t
2
Lösning, generell och
partikulär
dx(t )
 tx(t )
dt
har generella lösningen:
x(t )  C ' e
1 2
t
2
Om vi vet t ex att x(0)=4 så
kan vi bestämma C’ dvs
partikulär lösningen
x(0)  4, x(0)  C ' e
x(t )  4e
1 2
t
2
1 2
0
2
 C'
Separabla ekvationer,
sammanfattning


Separera variablerna till HL resp
VL
Integrera därefter respektive sida
dn(t )
dn(t )
 rn(t ) 
 rdt  n(t )  C ' e rt
dt
n(t )
dn(t )
n(t )
K
 r (1 
)n(t )  ? ????????  n(t ) 
dt
K
1  C ' e rt
Tolka
differentialekvationen


Hur kommer lösningen,
lösningsfunktionen, att se ut?
När derivatan är
 negativ

så avtar funktionen
 positiv så växer funktionen
 noll så är funktionen konstant, vid
jämvikt
dn(t )
n(t )
studera
 r (1 
)n(t )
dt
K
Linjär differentialekvation:
integrerande faktor


Linjär med avseende på n(t), dvs
m a p lösningsfunktionen vi söker
Dessa ekvationer kan skrivas som:
dn(t )
 P(t )n(t )  Q(t )
dt
Integrerande faktorn används för att
lösa denna typ av ekvationer.
Integrerande faktor:
P ( t ) dt

 (t )  e
Lösning via integrerande
faktor
dn(t )
 P(t )n(t )  Q(t )
dt
P ( t ) dt

 (t )  e
Integrerande faktor:
1
  (t )Q(t )dt  C 
n(t )  (t )    (t )Q(t )dt  C  n(t ) 
 (t )
Om
  (t )Q(t )dt
existerar så kan du alltså bestämma
en lösning för n(t)
Exempel: integrerande faktor
dn(t )
 P(t )n(t )  Q(t )
dt
P ( t ) dt

 (t )  e
Integrerande faktor:
1
  (t )Q(t )dt  C 
n(t ) 
 (t )
Exempel:
dn(t ) 3
 t n(t )  2t 2
dt
t

 (t )  e
13
t
3
2

(
t
)
Q
(
t
)
dt

e
2
t
dt  2e


lösning:
2
n(t ) 
e
13
t
3
(e
13
t
3
13
t
3
 C )  C 2e
2
dt
e
C
1
 t3
3
13
t
3
Maple: program som tar fram
analytiska lösningar
13
t
3
2

(
t
)
Q
(
t
)
dt

e
2
t
dt  2e


13
t
3
C
int(exp((1/3)*(t^3))*(2*t^2),t);
Använder samma teknik som vi samt en
stor databas
Exempel: integrerande faktor
dn(t )
 P(t )n(t )  Q(t )
dt
Integrerande faktor:
P ( t ) dt

 (t )  e
1
  (t )Q(t )dt  C 
n(t ) 
 (t )
t
dt
dn
(
t
)

Exempel:
2
 0.5tn(t )  0.2t  0.1  (t )  e
 et
dt
Partiell integration:
t
t
t
  (t )Q(t )dt   e (0.2t  0.1)dt  0.2e t-0.3e derivera ena termen,
integrerar den andra
lösning: n(t )  1 (0.2et t-0.3et  C )  0.2t  0.3  Ce t
t
e
Exempel: integrerande faktor
dn(t )
 0.5tn(t )  0.2t  0.1
dt
1
t
t
t
Generell lösning: n(t )  t (0.2e t-0.3e  C )  0.2t  0.3  Ce
e
Exempel:
n(0)=0.1 och
n(0)  0.2  0  0.3  Ce 0
0.1=-0.3+C
Partikulär lösning:
Maple:
C=0.4
n(t )  0.2t  0.3  0.4e t
int(exp(t)*(0.2*t-0.3),t);
Homogen linjär
differentialekvation med
konstanta koefficienter


Samma typ av problem som för
system av linjära rekursiva talföljder,
kap 1.
Bestämma egenvärden, eller snarare
rötterna till ett polynom
d nx
d n1 x
dx
a0 n  a1 n1  ...  an1  an x  0
dt
dt
dt
Exempel:
d 2 x dx
  6x  0
2
dt
dt
Både första och andra derivata i
ekvationen
Egenvärden och
lösningens karaktär


Lösningen fås genom att anta att
t
x
(
t
)

Ce
lösningen är
x(t )  Ce t i ekvationen
Sätt in
och bestäm 
d nx
d n1 x
dx
a0 n  a1 n1  ...  an1  an x  0,
dt
dt
dt
x(t )  Ce t
a0Cnet  a1Cn1et  ...  an1Cet  anCet  0
a0n  a1n1  ...  an1  an  0,
om C  0,   0
Egenvärden och
lösningens karaktär
a0n  a1n1  ...  an1  an  0,
om C  0,   0
Detta är ett polynom, bestäm rötterna!
d 2 x dx
  6 x  0 Begynnelsevärden: x(0)=2, x’(1)=3
2
dt
dt
2
t

   6  0,
om C  0,   0
antag lösning x  Ce
1  3, 2  2
Exempel:
x  C1e3t  C2e2t
med x(0)  2, x' (1)  3 ger
1 3t 1  2 t
x e  e
5
5
Egenvärden och
lösningens karaktär
d 2 x dx
  6x  0
2
dt
dt
Begynnelsevärden: x(0)=2, x’(1)=3
Partikulär lösning:
För stora t gäller att
1 3t 1  2 t
x e  e
5
5
1 3t
x e
5
Lösningens karaktär
Om Im()=0
Om Im()0
Re()>0, exponentiell tillväxt
Re()>0, växande oscillationer
Re()<0, exponentiell avtagande
Re()<0, avtagande oscillationer
Re()=0, konstant
Re()=0, oscillation
System av första ordningens
homogena linjär
differentialekvationer med
konstanta koefficienter


Koppla samman flera linjära ekvationer, t ex
för två eller flera populationer eller hormon
Påminner om åldersklasser o dyl men
lösningen är et istället för Rt
Egenvärden och
lösningens karaktär
dx
 ax  by
dt
dy
 cx  dy
dt
a b
A

c d
Bestäm egenvärden, 1
och 2 samt
egenvektorer, v1 och v2
x  C1v1 (1)e 1t  C2v2 (1)e2t
y  C1v1 (2)e 1t  C2v2 (2)e2t
Du måste ha ett begynnelse värde (x,y) för att bestämma C1 och C2
Egenvärden och
lösningens karaktär
Bestäm egenvärden, 1 och 2
•Om dominerande egenvärdet är positivt så
tillväxer både x och y oavsett begynnelsevärden.
•Jämvikten, dvs (0,0), är då en source
•Om båda egenvärdena är negatova så avtar både
x och y oavsett begynnelsevärden.
•Jämvikten, dvs (0,0), är då en sink
SE sid 260 för fler definitioner utifrån
egnvärdena
lösningens karaktär
•Generellt gäller för linjära system att varje
variabel antingen går mot noll eller tillväxer
exponentiellt utom i få udda specialfall
•Alltså måste en modell som hanterar ett system
som har ett robust stabilt beteende vara ickelinjär
De flesta ekvationer kan
approximeras med linjära
funktioner inom ett litet intervall



Ekvationer som är deriverbara, dvs
är kontinuerliga inom intervall, kan
approximeras med
Taylorutveckling.
Dess första term är linjär och
därmed är det möjligt att
approximera
Intervallet är mindre ju större
derivatan är inom området
Numeriska lösningar




De flesta diffentialekvationer går ej att
lösa analytiskt.
Man får bestämma sin lösning m h a
numeriska metoder
Eulers metod är att göra om diff ekv till
differens ekvation med lämplig
steglängd
Mer raffinerade metoder, som Runge
Kutta, utnyttjar ett antal derivator vid
resp punkt. På detta sätt förbättras
riktningen, dvs värdet vid nästa steg
Matlab: Numeriska lösningar

[t,y] =ode45(’funktion',tidsintervall,begynnelsevärden);
Skapa en m-fil rigid.m
function dy = rigid(t,y)
dy = zeros(3,1); % a column vector
dy(1) = y(2) * y(3);
dy(2) = -y(1) * y(3);
dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);
lös ekvationen på intervallet 0-12
 [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1])
Matlab: Numeriska lösningar

[t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1])
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.')

Gör om rigid.m och pröva olika ekvationer



Vissa typer av diff ekvationer, s k styva ekvationer, bör
lösas med t ex ode15s(…)
Styva diff ekvationer