Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för dn(t ) rn(t ) dt n(t ) e rt n(0) jmf n(t+1)-n(t) n(t 1 ) Rn(t) n(t) n(t) R t n( 0 ) Bestämma ekvationen Bestäm vad som påverkar systemet rx Population x Bestäm om parametrarna är tillväxt positiva eller negativa, dvs ger tillväxt eller reduktion -dx Bestäm om respektive bx ‘dödslar’ parameter är linjär eller Population x ickelinjär födsel i immigration Bestämma ekvationen Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: rx, positiv, linjär rx Population x tillväxt dx(t ) rx(t ) dt Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: bx, positiv, linjär dx, negativ, linjär i, positiv, konstant dx(t ) (b d ) x(t ) i dt bx Population x -dx ‘dödslar’ födsel i immigration Differentialekvationer, del 2 Geometrisk analys Ickelinjära differentialekvationer Vad är differentialekvationer Derivator i en ekvation, dvs både y och y’ i samma ekvation Exempel: Både koncentration och förändring av koncentrationen För att lösa detta så måste man integrera på något sätt, dvs göra om y’ till y. De flesta differentialekvationer går ej att lösa analytiskt, hänvisad till numeriska lösningar Geometrisk analys: studera fasplanet Faslinje diagram: avsätt Derivatan, y’, är positiv på intervallet [0,K] y’ y’ mot y y’=f(y) K Fasplanet: system av 2 diff ekvationer, x och y avsätt y mot x då y’=0, x’=0 y’=f(y,x)=0 => y=h(x) x’=g(y,x)=0 => x=i(x) y y x’=0 Pilarna anger om x’ resp y’ är positiv eller negativ, riktning på lösningen y’=0 x Utveckling av logistisk modell: allee effekt Allee effekt, dvs finns en tröskel, a, under vilken tätheten är för låg: tredjegradsekvation dn/dt a dn rn(n a )(n K ) dt K n Utveckling av logistisk modell: -logistisk termen gör att man kan förändra formen på y’, dvs gör att tillväxten ökar eller minskar snabbare med ändring av populationsstorlek dn n rn 1 K dt =3 n’ =1 =0.5 K n =1 ger den vanliga logistiska ekvationen Fasplan, system ickelinjär ekvation y’=0 dx y x2 dt dy yx dt x’=0 y [t,y]=ode45('fasplan',[0 10],[0.01 0.01]); » plot(y(:,2),y(:,1)) x Skörd: uttag ur population Skörd ur population med logistisk tillväxt y’ - yield, dvs uttag h - skördeanträngning uttaget ökar med ökad skördeanträngning till linjen passerat max och från h’’ avtar uttaget med ansträngning x’ x’’ är populationens jämvikt vid resp skördeanträngning h’’x dy/dx y’’ h’x y’ x’’ x’ K x dy x rx1 hx dt K Skörd: uttag ur population h’’x Hur ökar uttaget med h, dvs med ansträngning? dx/dt y’’ y’ h’x x’’ x’ K x dx x rx1 hx dt K Skörd: uttag ur population h’’x dn/dt med en population som har alle effekt beroende på täthet kan resultatet bli antingen utrotning eller jämvikt, h’ vi för högt uttag, ansträngning, så utrotas populationen, h’’ h’x a ej jämvikt dn rn(n a )(n K ) dt K n Linjärisering kring jämviktspunkt dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt linjarisera systemet kring en punkt , dvs tag fram tangenten vid punkten bestäm alltså partiella derivatorna i punkten dx ' ' f ( x, y ) f ( x , y ) f x ( x , y )( x x ) f y ( x , y )( y y ) dt dy ' ' g ( x, y ) g ( x , y ) g x ( x , y )( x x ) g y ( x , y )( y y ) dt dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt Linjärisering kring jämviktspunkt linjärisera systemet kring en jämviktspunkt , dvs då f(x’,y’)=0 och g(x’,y’)=0, flytta punkten till origo dvs u=x-x’ och v=y-y’ du f x' ( x , y )u f y' ( x , y )v dt dv g x' ( x , y )u g 'y ( x , y )v dt dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt s 260, avgör egenskaperna för det linjära systemet, dvs egenvärdena Linjärisering kring jämviktspunkt, typ av jämvikt du f x' ( x , y )u f y' ( x , y )v dt dv g x' ( x , y )u g 'y ( x , y )v dt du f x' ( x , y ) f y' ( x , y ) u dt ' ' dv g x ( x , y ) g y ( x , y ) v dt Jacobian matris Klassiska Rovdjur-byte modell (Lotka-Volterra) Enklaste ickelinjära systemet av diff ekv termen xy finns x-byte, y-Rovdjur a- tillväxt byte b-fångst effektivitet c-omsätt fångat byte till avkomma d-dödshastighet predator 150 rovdjurstillvä x t=0 rovdjurspopulation 100 50 0 dx ax bxy dt dy cxy dy dt bytestillvä x t=0 0 200 400 600 bytespopulation 800 1000 1200 1200 1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 150 dx ax bxy dt dy cxy dy dt x-byte, y-Rovdjur a- tillväxt byte b-fångst effektivitet c-omsätt fångat byte till avkomma d-dödshastighet predator rovdjurspopulation rovdjurstillvä x t=0 100 50 0 bytestillvä x t=0 0 200 400 600 bytespopulation 800 1000 1200 1200 1000 800 600 400 200 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 De flesta ekvationer kan approximeras med linjära funktioner inom ett litet intervall Ekvationer som är deriverbara, dvs är kontinuerliga inom intervall, kan approximeras med Taylorutveckling. Dess första term är linjär och därmed är det möjligt att approximera Intervallet är mindre ju större derivatan är inom området Numeriska lösningar De flesta diffentialekvationer går ej att lösa analytiskt. Man får bestämma sin lösning m h a numeriska metoder Eulers metod är att göra om diff ekv till differens ekvation med lämplig steglängd Mer raffinerade metoder, som Runge Kutta, utnyttjar ett antal derivator vid resp punkt. På detta sätt förbättras riktningen, dvs värdet vid nästa steg Matlab: Numeriska lösningar [t,y] =ode45(’funktion',tidsintervall,begynnelsevärden); Skapa en m-fil rigid.m function dy = rigid(t,y) dy = zeros(3,1); % a column vector dy(1) = y(2) * y(3); dy(2) = -y(1) * y(3); dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2); lös ekvationen på intervallet 0-12 [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]) Matlab: Numeriska lösningar [t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]) plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.') Gör om rigid.m och pröva olika ekvationer Vissa typer av diff ekvationer, s k styva ekvationer, bör lösas med t ex ode15s(…) Styva diff ekvationer Kontinuerliga system: Differentialekvationer Deterministiska modeller derivata istället för dn(t ) rn(t ) dt n(t ) e rt n(0) jmf n(t+1)-n(t) n(t 1 ) Rn(t) n(t) n(t) R t n( 0 ) Bestämma ekvationen Bestäm vad som påverkar systemet rx Population x Bestäm om parametrarna är tillväxt positiva eller negativa, dvs ger tillväxt eller reduktion -dx Bestäm om respektive bx ‘dödslar’ parameter är linjär eller Population x ickelinjär födsel i immigration Bestämma ekvationen Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: rx, positiv, linjär rx Population x tillväxt dx(t ) rx(t ) dt Vad påverkar systemet: tecken, konstant, linjär eller ickelinjär: bx, positiv, linjär dx, negativ, linjär i, positiv, konstant dx(t ) (b d ) x(t ) i dt bx Population x -dx ‘dödslar’ födsel i immigration Differentialekvationer, del 1 Linjära differentialekvationer Separabla ekvationer System av linjära differentialekvationer kap 5.1-2 Använda numeriska metoder kap 5.4 Vad är differentialekvationer Derivator i en ekvation, dvs både y och y’ i samma ekvation Exempel: Både koncentration och förändring av koncentrationen För att lösa detta så måste man integrera på något sätt, dvs göra om y’ till y. De flesta differentialekvationer går ej att lösa analytiskt, hänvisad till numeriska lösningar