Kontiuerliga system: Differentialekvationer

Kontinuerliga system:
Differentialekvationer
Deterministiska modeller
derivata istället för
dn(t )
 rn(t )
dt
n(t )  e rt n(0)
jmf
n(t+1)-n(t)
n(t  1 )  Rn(t)  n(t)
n(t)  R t n( 0 )
Bestämma ekvationen



Bestäm vad som påverkar
systemet
rx
Population x
Bestäm om parametrarna är
tillväxt
positiva eller negativa, dvs
ger tillväxt eller reduktion
-dx
Bestäm om respektive
bx
‘dödslar’
parameter är linjär eller
Population x
ickelinjär
födsel
i immigration
Bestämma ekvationen

Vad påverkar systemet: tecken,
konstant, linjär eller ickelinjär:
rx, positiv, linjär
rx
Population x
tillväxt
dx(t )
 rx(t )
dt

Vad påverkar systemet: tecken,
konstant, linjär eller ickelinjär:
bx, positiv, linjär
dx, negativ, linjär
i, positiv, konstant
dx(t )
 (b  d ) x(t )  i
dt
bx
Population x
-dx
‘dödslar’
födsel
i immigration
Differentialekvationer, del 2

Geometrisk analys

Ickelinjära differentialekvationer
Vad är
differentialekvationer




Derivator i en ekvation, dvs både y
och y’ i samma ekvation
Exempel: Både koncentration och
förändring av koncentrationen
För att lösa detta så måste man
integrera på något sätt, dvs göra
om y’ till y.
De flesta differentialekvationer går
ej att lösa analytiskt, hänvisad till
numeriska lösningar
Geometrisk analys:
studera fasplanet

Faslinje diagram:
 avsätt
Derivatan, y’, är
positiv på
intervallet [0,K]
y’
y’ mot y
 y’=f(y)
K

Fasplanet: system av 2 diff
ekvationer, x och y
 avsätt
y mot x då y’=0, x’=0
 y’=f(y,x)=0 => y=h(x)
x’=g(y,x)=0 => x=i(x)
y
y
x’=0
Pilarna anger om x’ resp y’ är
positiv eller negativ, riktning på
lösningen
y’=0
x
Utveckling av logistisk
modell: allee effekt
Allee effekt, dvs finns
en tröskel, a, under
vilken tätheten är för
låg:
tredjegradsekvation
dn/dt
a
dn
 rn(n  a )(n  K )
dt
K
n
Utveckling av logistisk
modell: -logistisk
 termen gör att man kan förändra formen på y’, dvs
gör att tillväxten ökar eller minskar snabbare med
ändring av populationsstorlek


dn
n



 rn 1    
 K 
dt


 =3
n’
 =1
 =0.5
K
n
 =1 ger den vanliga logistiska ekvationen
Fasplan, system
ickelinjär ekvation
y’=0
dx
 y  x2
dt
dy
 yx
dt
x’=0
y
[t,y]=ode45('fasplan',[0 10],[0.01 0.01]);
» plot(y(:,2),y(:,1))
x
Skörd: uttag ur
population





Skörd ur population med
logistisk tillväxt
y’ - yield, dvs uttag
h - skördeanträngning
uttaget ökar med ökad
skördeanträngning till linjen
passerat max och från h’’
avtar uttaget med
ansträngning
x’ x’’ är populationens jämvikt
vid resp skördeanträngning
h’’x
dy/dx
y’’
h’x
y’
x’’ x’
K
x
dy
x

 rx1    hx
dt
 K
Skörd: uttag ur
population
h’’x
Hur ökar uttaget
med h, dvs med
ansträngning?
dx/dt
y’’
y’
h’x
x’’ x’
K
x
dx
x

 rx1    hx
dt
 K
Skörd: uttag ur
population
h’’x
dn/dt



med en population
som har alle effekt
beroende på täthet
kan resultatet bli
antingen utrotning
eller jämvikt, h’
vi för högt uttag,
ansträngning, så
utrotas
populationen, h’’
h’x
a
ej jämvikt
dn
 rn(n  a )(n  K )
dt
K
n
Linjärisering kring
jämviktspunkt
dx
 f ( x, y )
dt
dy
 g ( x, y )
dt
linjarisera systemet kring en punkt ,
dvs tag fram tangenten vid punkten
bestäm alltså partiella
derivatorna i punkten
dx
'
'
 f ( x, y )  f ( x , y )  f x ( x , y )( x  x )  f y ( x , y )( y  y )
dt
dy
'
'
 g ( x, y )  g ( x , y )  g x ( x , y )( x  x )  g y ( x , y )( y  y )
dt
dx
 f ( x, y )
dt
dy
 g ( x, y )
dt
Linjärisering kring
jämviktspunkt
linjärisera systemet kring en
jämviktspunkt , dvs då f(x’,y’)=0
och g(x’,y’)=0,
flytta punkten till origo dvs
u=x-x’ och v=y-y’
du
 f x' ( x , y )u  f y' ( x , y )v
dt
dv
 g x' ( x , y )u  g 'y ( x , y )v
dt
dx
 f ( x, y )
dt
dy
 g ( x, y )
dt
s 260, avgör
egenskaperna
för det linjära
systemet, dvs
egenvärdena
Linjärisering kring
jämviktspunkt, typ av
jämvikt
du
 f x' ( x , y )u  f y' ( x , y )v
dt
dv
 g x' ( x , y )u  g 'y ( x , y )v
dt
 du 
   f x' ( x , y ) f y' ( x , y )  u 
 
 dt    '
'

 dv   g x ( x , y ) g y ( x , y )  v 
 dt 
Jacobian matris
Klassiska Rovdjur-byte
modell (Lotka-Volterra)

Enklaste ickelinjära
systemet av diff ekv
termen xy finns
x-byte, y-Rovdjur
a- tillväxt byte
b-fångst effektivitet
c-omsätt fångat byte
till avkomma
d-dödshastighet
predator
150
rovdjurstillvä
x t=0
rovdjurspopulation

100
50
0
dx
 ax  bxy
dt
dy
 cxy  dy
dt
bytestillvä
x t=0
0
200
400
600
bytespopulation
800
1000
1200
1200
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
150
dx
 ax  bxy
dt
dy
 cxy  dy
dt
x-byte, y-Rovdjur
a- tillväxt byte
b-fångst effektivitet
c-omsätt fångat byte
till avkomma
d-dödshastighet
predator
rovdjurspopulation
rovdjurstillvä
x t=0
100
50
0
bytestillvä
x t=0
0
200
400
600
bytespopulation
800
1000
1200
1200
1000
800
600
400
200
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
De flesta ekvationer kan
approximeras med linjära
funktioner inom ett litet intervall



Ekvationer som är deriverbara, dvs är
kontinuerliga inom intervall, kan
approximeras med Taylorutveckling.
Dess första term är linjär och därmed är
det möjligt att approximera
Intervallet är mindre ju större derivatan
är inom området
Numeriska lösningar




De flesta diffentialekvationer går ej att lösa
analytiskt.
Man får bestämma sin lösning m h a numeriska
metoder
Eulers metod är att göra om diff ekv till
differens ekvation med lämplig steglängd
Mer raffinerade metoder, som Runge Kutta,
utnyttjar ett antal derivator vid resp punkt. På
detta sätt förbättras riktningen, dvs värdet vid
nästa steg
Matlab: Numeriska lösningar

[t,y] =ode45(’funktion',tidsintervall,begynnelsevärden);
Skapa en m-fil rigid.m
function dy = rigid(t,y)
dy = zeros(3,1); % a column vector
dy(1) = y(2) * y(3);
dy(2) = -y(1) * y(3);
dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);
lös ekvationen på intervallet 0-12

[t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1])
Matlab: Numeriska lösningar

[t,y] = ode45('rigid',[0 12],[0 1 1])
plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.')

Gör om rigid.m och pröva olika ekvationer



Vissa typer av diff ekvationer, s k styva ekvationer, bör lösas
med t ex ode15s(…)
Styva diff ekvationer
Kontinuerliga system:
Differentialekvationer
Deterministiska modeller
derivata istället för
dn(t )
 rn(t )
dt
n(t )  e rt n(0)
jmf
n(t+1)-n(t)
n(t  1 )  Rn(t)  n(t)
n(t)  R t n( 0 )
Bestämma ekvationen



Bestäm vad som påverkar
systemet
rx
Population x
Bestäm om parametrarna är
tillväxt
positiva eller negativa, dvs
ger tillväxt eller reduktion
-dx
Bestäm om respektive
bx
‘dödslar’
parameter är linjär eller
Population x
ickelinjär
födsel
i immigration
Bestämma ekvationen

Vad påverkar systemet: tecken,
konstant, linjär eller ickelinjär:
rx, positiv, linjär
rx
Population x
tillväxt
dx(t )
 rx(t )
dt

Vad påverkar systemet: tecken,
konstant, linjär eller ickelinjär:
bx, positiv, linjär
dx, negativ, linjär
i, positiv, konstant
dx(t )
 (b  d ) x(t )  i
dt
bx
Population x
-dx
‘dödslar’
födsel
i immigration
Differentialekvationer, del 1




Linjära differentialekvationer
Separabla ekvationer
System av linjära
differentialekvationer
kap 5.1-2
Använda numeriska metoder
kap 5.4
Vad är
differentialekvationer




Derivator i en ekvation, dvs både y och y’
i samma ekvation
Exempel: Både koncentration och
förändring av koncentrationen
För att lösa detta så måste man
integrera på något sätt, dvs göra om y’ till
y.
De flesta differentialekvationer går ej att
lösa analytiskt, hänvisad till numeriska
lösningar