Operatorer och observabler

Föreläsning 7:
Operatorer och observabler
En operator är en funktion som avbildar funtioner på nya. T.ex. en derivering
d
sin x  cos x
dx
differentialoperator
 

En operator  är Hermitesk om

 ψ1 Âψ2dx   Âψ1 ψ2dx
Här opererar  på ψ2
för alla ψ1, ψ2
och här på ψ1
Postulat
Varje mätbar kvantitet (=observabel) motsvaras i kvantmekaniken av en Hermitesk operator:
x̂  x
Position
 
r̂  r

p̂  i 
3-dim:
d
dx
2 d 2
Total energi
Ĥ  
 U (x )
2m dx 2
(Hamiltons operator)
p̂  i 
Rörelsemän gd

2 2
  U (r )
2m
 
L̂  r̂  p̂
Ĥ  
rörelsemängdsmoment
osv
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Tidsoberoende S.E. Kan skrivas som egenvärdesproblemet
Ĥ ψ  E ψ
egenvärde
egenfunktion
Sats om egenvärdesproblemet för Hermiteska operatorer
1.
Egenvärdena är reella
2.
Egenfunktioner till olika egenvärden är ortogonala:
Ĥψ1  E1ψ1
Ĥψ2  E2ψ2
E1  E2   ψ1ψ2dx  0
3.
Egenfunktionerna utgör en fullständig bas, så att varje funktion kan skrivas som en superposition
ψ(x )   ci ψi (x )
i
expansionskoefficient
(“koordinat”)
Egenfunktioner till en Hermitesk operator
(“basvektor”)
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Bevis
1.
Ĥ ψ  E ψ
Ĥ ψ  E ψ


 
 

 E   ψψdx   Ĥ ψ ψdx   ψĤ ψdx  E  ψψdx
=1 (normering)
=E ψ
Hermitesk,
kan flyttas
2.
Ĥψ1  E1ψ1

Ĥψ   E ψ

1
1 1
 E  E
VSV
=1

Ĥψ2  E2ψ2

Ĥψ  ψ

1
2
 

 E1ψ1ψ2  E1  ψ1ψ2dx   Ĥψ1 ψ2dx   ψ1Ĥψ2dx  E2  ψ1ψ2dx
 E1  E2   ψ1ψ2dx  0
0
3.
0
VSV
Visas i mattekurser. Antas här utan bevis.
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Postulat: En mätning av en observabel som representeras av en Hermitesk operator  ger något
av egenvärdena till  som resultat.
 ψi  ai ψi
Sannolikheten att vid mätning få värdet ai är |ci|2 där ci är expansionskoefficienten till
vågfunktionen i egenfunktionsbasen ψi :
ψ(x )   ci ψi (x )
i


 ψj ψ   ci  ψj ψi  c j
ci kan bestämmas genom:

sannolikheten är
i
cj
2
  ψj ψ
 δji
2
Om mätningarna ger resultatet ai så övergår systemet från ψ till ψi (kollapsar).
Osäkerheten i mätningen är ΔA där
ΔA2 
Â2  Aˆ
2
   ψ ψdx ,
Â2   ψÂ2ψdx
Om systemets vågfunktion redan är en egenfunktion till operatorn som mäts, dvs ψ=ψi , och där  ψi  ai ψi
så fås resultatet ai med sannolikheten ci
2
  ψi ψi
2
1
och i så fall är osäkerheten ΔA=0 .
Om ΔA > 0 så kallas A osäker och då är vågfunktionen inte en egenfunktion till  med egenvärde A
Om ΔA = 0 så kallas A bestämd och då är vågfunktionen en egenfunktion till  med egenvärde A
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Definition: Kommutatorn av två operatorer  , B̂ definieras som
Bestäm
[x̂, p̂ ] :
[Â, B̂ ]  ÂB̂ - B̂ Â
[x̂, p̂ ]ψ  x̂p̂ ψ - p̂ x̂ψ  x p̂ ψ - p̂ (xψ) 
 

xψ   iψ
 x   i
ψ   i
x 
x


[x̂, p̂ ]  i
Δx Δp 
Med hjälp av detta kan man visa Heisenbergs osäkerhetsprincip:

2
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Exempel
Rörelsemängdsegenfunktionerna:

x
(ej normerad)
p̂ ψ  pψ , p̂  -i
ψ  e ikx
p  k  ψ  e ipx / 
går lika bra
Dessa egenfunktioner utgör en komplett bas  en godtycklig vågfunktion kan skrivas:

ψ(x )   c ( p )e ipx dp

vilket är Fourierserieutvecklingen av ψ
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Exempel: Partikel i oändlig potentiallåda med bredd L
Ĥψn  En ψn
2
ψn 
En 
L
sin
nπx
L
, n  1, 2, 3...
2
 2  nπ 
 
2m  L 
ψ
Antag att systemets vågfunktion vid t =0 är
1
2
ψ1 
ψ2
5
5
Då är de två möjliga resultaten av en mätning av energin E1 och E2 .
Sannolikheten att få dessa är:
2
P1  c1 
1
5
2
, P2  c2 
Väntevärden:
4
5
E  E1P1  E2P2 
(Normering: P1 + P2 =1
17 2π2
 2 π2  2 1
2 4
1
2






5
5  5 2mL2
2mL2 
2
E
2
E
2
1 P1
E
2
2 P2
OK!)
2
  2 π2   4 1
  2 π2 
4
 1   24    13

 
2 
2
5
5
 2mL  
 2mL 
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Osäkerhet:
ΔE 
E2  E
2

65 17 2 2π2 6 2π2
 2

5
5 2mL2 5 2mL2
Systemets vågfunktion vid en senare tidpunkt t ges av:
Ψ(x ,t ) 
1
2
ψ1 (x )e iE1t /  
ψ2 (x )e iE2t / 
5
5
Sannolikhetstätheten
1
2
ψ1 (x )e iE1t /  
ψ2 (x )e iE2t / 
5
5
2
Ψ(x ,t ) 
2
beror av tiden.
Tillståndet är inte stationärt
T.ex. för x = L/4 fås
2
ψ1 
2
L
sin
2
L
1
 Ψ( ,t ) 
1  2 2ei E2 E1 t / 
5L
4
πL / 4
L

1
L
,
ψ2 
2
L
sin
2πL / 4
L

2
L
vilket beror av t (se exempel på räkneövning)
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH