Kvantmekanik - KTH Particle and Astroparticle Physics

Föreläsning 5:
Förra gången:
Elektromagnetisk strålning (ljus) och materia har både våg- och partikelegenskaper

h
p
f 
Ekin,max = hf – φ
Fotoelektrisk effekt
 ' 
Comptonspridning
Parbildning
E
h
h
1  cos  
me c
 + Z  e+ + e- + Z
där Z är en atomkärna som tar upp rekylen
Både för EM-strålning (röntgen) och materiepartiklar kan man ha diffraktion och reflektion.
Bragg-villkor för konstruktiv inteferens: n  2d sin 
Heisenbergs obestämbarhetsprincip
p x  x 

2
p y y 

2
p z z 

2
E t 
Det är teoretiskt omöjligt att precist bestämma position
och rörelsemängd längs en och samma axel.

2
Viktigt för svag växelverkan,
möjliggör att vi ”lånar” energi
ΔE under kort tid Δt så att
ΔE Δt för ”lånet” inte
överstiger h/2
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Föreläsning 5:
Kvantmekanik
Schrödingerekvationen
Innan vi börjar:
Postulat = grundläggande antagande som
– Inte kan härledas
– Möjliggör lösning av ett problem och kan förutsäga utgången av experiment
– Är konsisten med hittills utförda experiment
I klassisk mekanik har vi att
F = ma (kraft = massa • acceleration)
För konservativa krafter (dvs när arbetet bara beror av start- och slutpunkter och inte av väg)
F 
dU
dx
där totala energin E = Ekin + U = ½ mv 2 + U bevaras.
Härledes ur:
d 1
dE
dv dU dx

2


 v ma  F   0  E bevaras
 mv  U x t    mv
dt dt  2
dt dx dt

a
F
v
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Klassisk mekanik fungerar bra för makroskopiska system, men inte för mikroskopiska (jmfr t.ex. Heisenberg).
För att motivera lösning för mikroskopiska system utgår vi från partikel-våg dualiteten (experimentell bakgrund)
1)
Alla mikroskopiska partiklar har vågegenskaper
Visas av dubbelspaltexperiment.
Interferensmönster uppstår även om bara en partikel
åt gången passerar genom spalten.
Postulat:
Partiklar beskrivs av en vågfunktion Ψ(x,t)
som kan förklara interferensen.
2) Fotoelektrisk effekt. Ljus består av fotoner med energi enl. Einstein E  hf  ω
Sambandet antas inom kvantmekaniken att gälla alla partiklar.
ω = 2πf
Plancks konstant h  2π  6,63  10 34 Js
Einstein: Nobelpris 1921
”for his services to Theoretical Physics, and especially for
his discovery of the law of the photoelectric effect"
vinkelfrekvens
frekvens
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
3) De Broglie-våglängden
Davisson - Germer
Comptoneffekten påvisar att fotonen rörelsemängd uppfyller
p
h
λ
 k
där λ  våglängd,
k 
2π
 vågtal
λ
De Broglies hypotes var att denna relation gäller alla partiklar.
Påvisas experimentellt: Davisson – Germer och Bragg.
h liten  λ liten.
Vågegenskaer kan endast observeras för mikroskopiska partiklar t.ex. elektroner och neutroner,
men ej för makroskopiska objekt.
Bragg:
nλ  2d sin θ
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Klassiska vågekvationen: (t.ex. våg längs sträng)
v2
2f x ,t  2f x ,t 

x 2
t 2
Lösningar:
f x ,t   A coskx  ωt 
f x ,t   A sinkx  ωt 
f x ,t   Ae i kx  ωt 
ω
2
2 2
under förutsättning att ω  v k  k  
v
ω
k 
våg i +x riktning
v
k 
ω
våg i -x riktning
v
ω =vk
vfas 
kallas dispersionsrelation
ω
k
är fashastigheten
ofta mer komplicerat med dispersiva vågor med ickelinjär relation ω = ω(k )
v grupp 
dω
dk
grupphastighet
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Schrödinger antog att vågfunktionen för en fri partikel hade formen av en plan våg
Ψx ,t   Ae i kx  ωt 
För denna form blir:
•
E Ψ  ω Ψ  i 
Ψ
t
•
p Ψ  kΨ  i 
Ψ
x
•
p 2 Ψ  2k 2Ψ   2
Om vi nu sätter in detta i

 2Ψ
x 2
E 
p2
U
2m
får vi att
2 2Ψx ,t 
Ψx ,t 
U Ψx ,t   i
2
2m x
t
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Schrödingerekvationen
2 2Ψx ,t 
Ψx ,t 


U
x
t



Ψ
,

i
2m x 2
t
Schrödinger motiverade ekvationen (som är ett postulat pss som Newtons F =ma) som den
enklastevågekvationen som gav de Broglies vågor som lösningar.
Lösningen Ψ(x,t) kallas vågfunktioner och beskriver systemets tillstånd.
Genom att visa att ekvationen ger lösning ar till väteatomen lyckades
han övertyga vetenskapssamhället att ekvationen fungerar.
Schrödinger fick Nobelpriset 1933 för sitt arbete inom
kvantmekaniken med motiveringen
”for the discovery of new productive forms of atomic theory”
(Nobelpriset delades med Paul Dirac)
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Sannolikhetstolkning. Lådpotential.
Sannolikheter, diskret fall
T.ex. vid kast med tärning uppkommer siffrorna 1-6 i genomsnitt var 6:e gång.
Man säger att sannolikheten att slå en sexa är 1/6.
Allmänt: Om en diskret slumpprocess kan ge värden x = x1, x2, x3, ... xN och om ett stort antal
mätningar av processen ger
x1 n1 gånger
x2 n2 gånger
.
.
.
xN nN gånger
Så är sannolikheten att vid observation få värdet xi
Pi 
ni
n
N
där n   ni
i 1
är totala antalet mätningar .
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Två grundläggande egenskaper:
1) Positivt definit dvs
N
2) Normering
 Pi 
i 1
Pi  0
n
n1 n2
  N  1
n n
n
Medelvärdet av alla mätresultat beräknas som väntevärdet
N
x   xi Pi
i 1
Spridningen kring väntevärdet hos de individuella mätningarna kallas osäkerheten,
t.ex. Δx i x och definieras som standardavvikelsen, vars kvadrat kallas variansen (jmfr föreläsn 5)
N
Δx 2   xi
i 1
 x
2

 x2  x
2
N
  xi 2Pi
i 1
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Sannolikheter, kontinuerliga fallet
Betrakta en slumpprocess som kan ge vilket som helst reellt värde x som resultat vid mätning.
Dela in intervallet av möjliga delintervall med längd dx .
Om vi nu låter P (x) dx vara relativa frekvensen av att få ett mätresultat inom (x, x + dx) kommer
dx  0 att definiera
P (x ) = sannolikhetstätheten
och
P (x )dx = sannolikheten att få mätvärdet x , där x är inom (x, x + dx)
Sannolikhetstätheten uppfyller de två tidigare villkoren
1) Positivt definit P (x )  0
2) Normering

 P (x )dx  1

Väntevärdet av x ges av

x   xP (x )dx

Osäkerheten Δx är pss som tidigare roten ur (Δx)2

Δx 2   x 

x
2 P (x )dx
 x2  x
2
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Sannolikhetstolkning
Hur skall vågfunktionen Ψ(x,t) tolkas? Ψ(x,t) är komplex  saknar direkt tolkning.
Om Ψ är en lösning till Schrödingerekvationen (SE) så är
även Z • Ψ en lösning där Z är komplex konstant. Kan inte heller tolka Re Ψ , Im Ψ .
Borns sannolikhetstolkning (1926)
2
Ψ(x ,t ) dx
= sannolikheten att hitta partikeln inom (x, x + dx) vid tiden t .
|Ψ|2 kallas sannolikhetstätheten och vågfunktionen Ψ kallas även sannolikhetsamplituden.
Jämför klassiska vågor där f (x,t )=A sin (kx-ωt ) : A = amplituden, |A|2 = intensiteten
Den klassiska mekanikens exakt bestämda partikelbanor x = x (t ) ersätta alltså i kvantmekaniken av en
sannolikhet att hitta partikeln i x vid tiden t. Denna sannolikhet kan studeras experimentellt genom att
som i dubbelspaltexperimentet mäta fördelningen av positioner som är  | Ψ(x,t)|2 .
Det är inte möjligt att bestämma var enskilda partiklar skall träffa detektorskärmen.
Normering
Eftersom partikeln måste finnas någonstans så måste vågfunktionen uppfylla normeringskravet:

2
 Ψ(x ,t ) dx  1

SH1009, modern fysik, VT2013, KTH