Föreläsning 5: Förra gången: Elektromagnetisk strålning (ljus) och materia har både våg- och partikelegenskaper h p f Ekin,max = hf – φ Fotoelektrisk effekt ' Comptonspridning Parbildning E h h 1 cos me c + Z e+ + e- + Z där Z är en atomkärna som tar upp rekylen Både för EM-strålning (röntgen) och materiepartiklar kan man ha diffraktion och reflektion. Bragg-villkor för konstruktiv inteferens: n 2d sin Heisenbergs obestämbarhetsprincip p x x 2 p y y 2 p z z 2 E t Det är teoretiskt omöjligt att precist bestämma position och rörelsemängd längs en och samma axel. 2 Viktigt för svag växelverkan, möjliggör att vi ”lånar” energi ΔE under kort tid Δt så att ΔE Δt för ”lånet” inte överstiger h/2 SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Föreläsning 5: Kvantmekanik Schrödingerekvationen Innan vi börjar: Postulat = grundläggande antagande som – Inte kan härledas – Möjliggör lösning av ett problem och kan förutsäga utgången av experiment – Är konsisten med hittills utförda experiment I klassisk mekanik har vi att F = ma (kraft = massa • acceleration) För konservativa krafter (dvs när arbetet bara beror av start- och slutpunkter och inte av väg) F dU dx där totala energin E = Ekin + U = ½ mv 2 + U bevaras. Härledes ur: d 1 dE dv dU dx 2 v ma F 0 E bevaras mv U x t mv dt dt 2 dt dx dt a F v SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Klassisk mekanik fungerar bra för makroskopiska system, men inte för mikroskopiska (jmfr t.ex. Heisenberg). För att motivera lösning för mikroskopiska system utgår vi från partikel-våg dualiteten (experimentell bakgrund) 1) Alla mikroskopiska partiklar har vågegenskaper Visas av dubbelspaltexperiment. Interferensmönster uppstår även om bara en partikel åt gången passerar genom spalten. Postulat: Partiklar beskrivs av en vågfunktion Ψ(x,t) som kan förklara interferensen. 2) Fotoelektrisk effekt. Ljus består av fotoner med energi enl. Einstein E hf ω Sambandet antas inom kvantmekaniken att gälla alla partiklar. ω = 2πf Plancks konstant h 2π 6,63 10 34 Js Einstein: Nobelpris 1921 ”for his services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect" vinkelfrekvens frekvens SH1009, modern fysik, VT2013, KTH 3) De Broglie-våglängden Davisson - Germer Comptoneffekten påvisar att fotonen rörelsemängd uppfyller p h λ k där λ våglängd, k 2π vågtal λ De Broglies hypotes var att denna relation gäller alla partiklar. Påvisas experimentellt: Davisson – Germer och Bragg. h liten λ liten. Vågegenskaer kan endast observeras för mikroskopiska partiklar t.ex. elektroner och neutroner, men ej för makroskopiska objekt. Bragg: nλ 2d sin θ SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Klassiska vågekvationen: (t.ex. våg längs sträng) v2 2f x ,t 2f x ,t x 2 t 2 Lösningar: f x ,t A coskx ωt f x ,t A sinkx ωt f x ,t Ae i kx ωt ω 2 2 2 under förutsättning att ω v k k v ω k våg i +x riktning v k ω våg i -x riktning v ω =vk vfas kallas dispersionsrelation ω k är fashastigheten ofta mer komplicerat med dispersiva vågor med ickelinjär relation ω = ω(k ) v grupp dω dk grupphastighet SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Schrödinger antog att vågfunktionen för en fri partikel hade formen av en plan våg Ψx ,t Ae i kx ωt För denna form blir: • E Ψ ω Ψ i Ψ t • p Ψ kΨ i Ψ x • p 2 Ψ 2k 2Ψ 2 Om vi nu sätter in detta i 2Ψ x 2 E p2 U 2m får vi att 2 2Ψx ,t Ψx ,t U Ψx ,t i 2 2m x t SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Schrödingerekvationen 2 2Ψx ,t Ψx ,t U x t Ψ , i 2m x 2 t Schrödinger motiverade ekvationen (som är ett postulat pss som Newtons F =ma) som den enklastevågekvationen som gav de Broglies vågor som lösningar. Lösningen Ψ(x,t) kallas vågfunktioner och beskriver systemets tillstånd. Genom att visa att ekvationen ger lösning ar till väteatomen lyckades han övertyga vetenskapssamhället att ekvationen fungerar. Schrödinger fick Nobelpriset 1933 för sitt arbete inom kvantmekaniken med motiveringen ”for the discovery of new productive forms of atomic theory” (Nobelpriset delades med Paul Dirac) SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Sannolikhetstolkning. Lådpotential. Sannolikheter, diskret fall T.ex. vid kast med tärning uppkommer siffrorna 1-6 i genomsnitt var 6:e gång. Man säger att sannolikheten att slå en sexa är 1/6. Allmänt: Om en diskret slumpprocess kan ge värden x = x1, x2, x3, ... xN och om ett stort antal mätningar av processen ger x1 n1 gånger x2 n2 gånger . . . xN nN gånger Så är sannolikheten att vid observation få värdet xi Pi ni n N där n ni i 1 är totala antalet mätningar . SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Två grundläggande egenskaper: 1) Positivt definit dvs N 2) Normering Pi i 1 Pi 0 n n1 n2 N 1 n n n Medelvärdet av alla mätresultat beräknas som väntevärdet N x xi Pi i 1 Spridningen kring väntevärdet hos de individuella mätningarna kallas osäkerheten, t.ex. Δx i x och definieras som standardavvikelsen, vars kvadrat kallas variansen (jmfr föreläsn 5) N Δx 2 xi i 1 x 2 x2 x 2 N xi 2Pi i 1 SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Sannolikheter, kontinuerliga fallet Betrakta en slumpprocess som kan ge vilket som helst reellt värde x som resultat vid mätning. Dela in intervallet av möjliga delintervall med längd dx . Om vi nu låter P (x) dx vara relativa frekvensen av att få ett mätresultat inom (x, x + dx) kommer dx 0 att definiera P (x ) = sannolikhetstätheten och P (x )dx = sannolikheten att få mätvärdet x , där x är inom (x, x + dx) Sannolikhetstätheten uppfyller de två tidigare villkoren 1) Positivt definit P (x ) 0 2) Normering P (x )dx 1 Väntevärdet av x ges av x xP (x )dx Osäkerheten Δx är pss som tidigare roten ur (Δx)2 Δx 2 x x 2 P (x )dx x2 x 2 SH1009, modern fysik, VT2013, KTH Sannolikhetstolkning Hur skall vågfunktionen Ψ(x,t) tolkas? Ψ(x,t) är komplex saknar direkt tolkning. Om Ψ är en lösning till Schrödingerekvationen (SE) så är även Z • Ψ en lösning där Z är komplex konstant. Kan inte heller tolka Re Ψ , Im Ψ . Borns sannolikhetstolkning (1926) 2 Ψ(x ,t ) dx = sannolikheten att hitta partikeln inom (x, x + dx) vid tiden t . |Ψ|2 kallas sannolikhetstätheten och vågfunktionen Ψ kallas även sannolikhetsamplituden. Jämför klassiska vågor där f (x,t )=A sin (kx-ωt ) : A = amplituden, |A|2 = intensiteten Den klassiska mekanikens exakt bestämda partikelbanor x = x (t ) ersätta alltså i kvantmekaniken av en sannolikhet att hitta partikeln i x vid tiden t. Denna sannolikhet kan studeras experimentellt genom att som i dubbelspaltexperimentet mäta fördelningen av positioner som är | Ψ(x,t)|2 . Det är inte möjligt att bestämma var enskilda partiklar skall träffa detektorskärmen. Normering Eftersom partikeln måste finnas någonstans så måste vågfunktionen uppfylla normeringskravet: 2 Ψ(x ,t ) dx 1 SH1009, modern fysik, VT2013, KTH