rörelsemängdsmoment och spinn. Pauliprincipen och periodiska

Föreläsning 12
Atomer: rörelsemängdsmoment och spinn.
Pauliprincipen och periodiska systemet.
Från kvantmekaniken, lösning till Schrödingerekvationen i 3 dimensioner, har vi att elektronerna
har rörelsemängdsmoment
L  (  1) 
Klassiskt ger en elektron i moturs bana kring en centralpunkt upphov till en ström I = qe/T där qe är
elementarladdningen och T omloppstiden. Strömslingan, som omsluter en area A =πr 2 resulterar i ett
magnetiskt moment
  IA 
q
qe
qe
q
q
 r2 
 r 2  e r  e me r   e L
T
2 r /
2
2me
2me
Elektronladdningen är negativ  strömmen riktad medurs samt att  är motriktad L
qe 
L  
L
2me

Potentiella energin för en magnetisk dipol: U = -B
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Men: i lösningar till Schrödingerekvationen erhölls, förutom att det totala rörelsemängdsmomentet var
kvantiserat, att en kvantisering av rörelsemängdens komponent längs en axel var kvantiserad.
När man lägger på ett magnetfält skapar man en definierad axel, (standard är att definiera denna som
z-axeln). Kvantiteter man då kan studera är baserade på B eller  x B där i båda fallen kvantiseringen
längs z-axeln (kvantal mℓ) är avgörande.
z  
q
qe
Lz   e m    B m
2me
2me
där B är Bohr-magnetonen
B 
qe 
 9,274 10  24 J/T
2me
Potentiella energin för en magnetisk dipol:
 
qB
q
U     B    z B  e Lz  e Bm   B m B
2me
2me
Notera att mℓ både kan ha positiva och negativa värden.
Tillstånd med mℓ > 0 i magnetfält B har högre energi än då
z-komponenten av L är motriktad B. Denna typ splittring av
degenerererade energinivåer i magnetfält som kan
observeras i fotonenergier i övergångar kallas Zeemaneffekten.
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Innan vi går vidare och mäter om effekten finns där:
Eftersom L vars storlek är L 
(  1)  aldrig är upplinjerad med z-axeln kommer  x B att vara ≠ 0.
Klassiskt är vridmomentet på en dipol  =  x B motsvarande  = = dL/dt
Ur figuren fås: |dL|=Lsinθ  dφ
Men vi också att |dL|=| |dt där

 
q
BL sin 
2me
L kommer att precessera kring z-axeln med
Larmor-frekvensen:
L 

dL
1
d
q

 e B
dt L sin  dt 2me
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Är det magnetiska dipolmomentet för väte i grundtillståndet:
1) > 0 ?
2) = 0 ?
3) < 0 ?
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Stern-Gerlachs experiment
En atomstråle passerar ett inhomogent magnetfält. Fältet är symmetriskt i y-led och
homogent i x-led  kraft beroende på dipolmoment i z-led.
Klassikt: ingen kvantisering, alla värden tillåtna.
För väte (i grundtillståndet) observerades två band,
men i grundstillståndet är ℓ =0, dvs L = 0.
Observerat
 Elektronen har ett inre magnetiskt moment och
därmed ett slags inre rörelsemängdsmoment:
spinn
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Spinn skall inte ses som att en ”utbredd” elektron roterar och därmed får ett rörelsemängdsmoment utan
är en relativistisk kvantmekanisk effekt. Vi (i partikelfysikens standardmodell) betraktar idag elektronen
som en punktpartikel.
Parantes:
(Jämför: Elektronen är den enda stabila punktpartikel vi idag kan använda för att studera andra partiklar. I dagens läge har
man i laboratorier accelererat elektroner till ca 100 GeV/c rörelsemängd. Detta motsvarar en deBroglievåglängd   h / p
av ca 10-17 m. Mycket bättre än så kan vi inte uttala oss om utbredning av en partikel. Elektriska dipolmomentet är
(0,70,7)10-26 qe cm. Protonen, som vi idag betraktar i det närmaste som en ”kulpåse” av kvarkar och gluoner (vilka är
punktpartiklar) har en radie av 10-15 m)
Spinn kan ses analogt med rörelsemängdsmomentet för
”banrörelse” av elektroner.
S  s ( s  1) 
s är ett kvanttal som beror av partikelslag. Varje partikel har ett bestämt s och kan inte anta olika
värden. Detta gäller för alla slags partiklar, inte bara elektroner. För elektroner är s =1/2, medan för
t.ex. W- (förmedlar svag växelverkan) och fotonen är s =1.
Notera att för elektronen och andra spinn-1/2 partiklar gäller:
S
1 1
3
(  1)  

2
2 2
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
På samma sätt som för banrörelsemängdsmomentet är z-komponenten kvantiserad:
S z  ms 
där ms = -s, -s +1, ... s -1, s
För e-: ms = -1/2 eller ms=+1/2
Magnetiska momentet:
qe 
s   ge
S
2me

Där gyromagetiska faktorn för
elektronen, ge ≈ 2,00232 ≈ 2
Faktorn ges av relativistisk kvantmekanik (=2) med kvantfältteoretiska
korrektioner  faktorn något större än 2.
Totala vågfunktionen för vätes elektron kan nu skrivas:
 n , , m , m
Tillåtna värden: n = 1, 2, .....
ℓ = 0, 1, .... n -1
mℓ = -ℓ, -ℓ +1, .. 0,..., ℓ -1, ℓ
ms = -1/2, 1/2

s
där n = huvudkvantalet
ℓ = rörelsemängsmomentskvanttalet
mℓ = komponenten löngs z-axelm
ms = spinnets komponent längs z-axeln
Vi talar oftast om om spinnet som: ms = +1/2 spinn upp ()
ms= -1/2 spinn ner ()
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Betrakta ett system av två kvantpartiklar, (t.ex. elektroner i en Heliumatom) med gemensam vågfunktion
 
 (r1 , r2 )
Om partiklarna är av samma typ och rumsmässigt har visst överlapp går de inte att särskilja.
Sannolikhetstätheten måste då vara lika vid utbyte av de två partiklarna: |  (r , r ) |2 |  ( r , r ) |2
1
2
2
1
Låt partiklarna vara i två tillstånd, a och b, vardera med en kombination av kvantal n, ℓ, mℓ, ms.

 a (r1 )
innebär då partikel 1 i tillstånd a.
Variabelseparation ger lösning av typen ψab= ψaψb men denna ger i sig inte symmetri vid partikelbyte.
Eftersom Schrödingerekvationen är en linjär diff-ekvation, är dock också lösningar av typen:
 




 




1
a (r1 )b (r2 )  a (r2 )b (r1 ) och A ab (r1, r2 )  1  a (r1 )b (r2 )  a (r2 )b (r1 )
S ab (r1 , r2 ) 
2
2
(antisymmetrisk)
(symmetrisk)
lösningar till S.E.
För båda dessa lösningar gäller att sannolikhetstätheten bevaras vid utbyte av de två partiklarna.
 
 
|  ab (r1 , r2 ) |2 |  ab (r2 , r1 ) |2
Om vi bara betraktar spinn-delen kan vi konstruera symmetriska och antisymmetriska tillstånd enligt:
Symmetriskt

 + 

Antisymmetriskt
Triplett-tillstånd
 - 
Singlett-tillstånd
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Pauliprincipen:
Det har visat sig i naturen att partiklar med halv- (1/2, 3/2,...) och heltaligt (0,1,2,...) spinn
uppträder på oilka sätt.
• Bosoner
Ett system med ej särskiljbara partiklar med heltaligt spinn har en symmetrisk vågfunktion m.a.p
utbyte av partiklarna.
 
 
 ab (r1 , r2 )   ab (r2 , r1 )
• Fermioner
Ej särskiljbara partiklar med halvtaligt spinn har en asymmetrisk vågfunktion m.a.p. partikelbyte.
 
 
 ab (r1 , r2 )   ab (r2 , r1 )
Exempel:
bosoner
fermioner
spinn
½
½
3/2
 




1


(
r
,
r
)


(
r
)

(
r
)


(
r
)

(
r
Vågfunktionen för två fermioner i exakt samma tillstånd: A aa 1 2
a 1
a 2
a 2
a 1 )  0
2
partikel
-partikel
Foton
Pion, π0
spinn
0
1
0
partikel
elektron
proton
Omega
Pauliprincipen (the exclusion principle)
Två ej särskiljbara fermioner kan inte vara i samma individuella kvanttillstånd
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Hur många elektroner kan finnas i en atom i ett n=2 tillstånd?
1) 3
2) 6
3) 8
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Genom att utnyttja att elektroner är fermioner och måste uppfylla Pauliprincipen kan man förklara det
periodiska systemet:
huvudkvantal n = 1, 2
Nomenklatur: exempel: 1s22s22p5
tillstånd med olika ℓ anges med bokstav: s=0, p=1, d=2, f=3 ...
Antal e- för viss n,ℓ-kombination
Varje kombination av n, ℓ och mℓ kan enligt
Pauliprincipen ha 2 elektroner om dessa har
olika ms ( respektive ).
s-skal (ℓ =0) hara bara mℓ=0 och därför max 2 ep-skal (ℓ =1) hara mℓ=-1,0,1 och därför max 6 eför visst ℓ finns 2ℓ+1 olika mℓ-värden, vilket
tillåter 2(2ℓ +1) elektroner i n,ℓ-kombinationen
(När elektroner ”fylls på” i p-skal för högre
atomtal, är det oftast (beroende på e- i
andra n,ℓ –skal) energimässigt fördelaktigt
att fylla på i olika mℓ-värden med lika
riktade spinn (assymetrisk rumsdel, symmetrisk
spinndel) därför att elektronerna, som har
samma laddning hamnar längre ifrån
varandra. (Hunds regel). )
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Relativa energinivåer för olika skal som
funktion av atomnummer.
Med fler än en elektron i atomen, kommer elektronerna att skärma kärnladdningen för varandra.
Systemet kan inte lösas analytiskt utan beräknas med hjälp av dator i approximationer.
Notera dock: kärnladdningen ökar med atomnummer. 1s skalet är närmast kärnan och har minst skärmning.
Bindningsenergin för en jon med bara en elektron är proportionell mot Z 2.
(Z2-beroendet fås genom att i alla härledningar för väte ersätta qe2 me Zqe2)
(Mosley visade att spektrallinjer för övergångar mellan n=2 och n=1 skalen ändras proportionellt mot (Z-1)2)
Jonisationsenergin för först frigjorda
elektronen som funktion av Z.
Ädelgaser är svårast att jonisera.
Notera: helium, 24,6 eV för första
frigjorda elektronen. Kvar finns en ebunden till kärna med Z=2.
Bindningsenergin för denna enda
elektron i He+ är då 2213,6 eV = 54,2 eV
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH