Föreläsning 15
Spinn, Pauliprincipen och periodiska systemet.
Förra gången:
L = l(l + 1) h
Rörelsemängdsmoment för elektron i en atom är kvantiserat enligt
ger upphov till ett magnetiskt moment
vilket
qe r
μL = −
L
2me
r
Projektionen av rörelsemängdsmomentet längs en axel (z-axeln) är också kvantiserad vilket ger
en kvantiserad projektion av det magnetiska momentet.
μz = −
qe
qh
Lz = − e ml = − μ B ml
2me
2me
Bohr-magnetonen:
μ B = 9,274 ⋅10 −24 J/T
I magnetfält B (längs z-axeln) fås olika energi beroende på mℓ
r r
U = − μ ⋅ B = − μ z B = μ B ml B
I magnetfältet kommer även L att precessera kring z-axeln med Larmorfrekvensen.
Experimentellt påvisades (Stern Gerlach) spinn
S = s ( s + 1) h
s är ett kvanttal som beror av partikelslag. Varje partikel har ett bestämt s och kan inte anta
olika värden. För elektroner är s =1/2.
1 1
3
h
S=
( + 1) h =
2 2
2
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
På samma sätt som för banrörelsemängdsmomentet är z-komponenten kvantiserad:
S z = ms h
där ms = -s, -s +1, ... s -1, s
För e-: ms = -1/2 eller ms=+1/2
Magnetiska momentet:
qe r
μs = − ge
S
2me
r
Där gyromagetiska faktorn för
elektronen, ge ≈ 2,00232 ≈ 2
Faktorn ges av relativistisk kvantmekanik (=2) med kvantfältteoretiska
korrektioner ⇒ faktorn något större än 2.
Totala vågfunktionen för vätes elektron kan nu skrivas:
ψ n ,l , m , m
Tillåtna värden: n = 1, 2, .....
ℓ = 0, 1, .... n -1
mℓ = -ℓ, -ℓ +1, .. 0,..., ℓ -1, ℓ
ms = -1/2, 1/2
l
s
där n = huvudkvantalet
ℓ = rörelsemängsmomentskvanttalet
mℓ = komponenten löngs z-axelm
ms = spinnets komponent längs z-axeln
Vi talar oftast om om spinnet som: ms = +1/2 spinn upp (↑)
ms↓= -1/2 spinn ner (↓)
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Betrakta ett system av två kvantpartiklar, (t.ex. elektroner i en Heliumatom) med gemensam vågfunktion
r r
ψ (r1 , r2 )
Om partiklarna är av samma typ och rumsmässigt har visst överlapp går de inte att särskilja.
Sannolikhetstätheten måste då vara lika vid utbyte av de två partiklarna: | ψ ( rr , rr ) |2 =| ψ ( rr , rr ) |2
1
2
2
1
Låt partiklarna vara i två tillstånd, a och b, vardera med en kombination av kvantal n, ℓ, mℓ, ms.
r
ψ a (r1 )
innebär då partikel 1 i tillstånd a.
Variabelseparation ger lösning av typen ψab= ψaψb men denna ger i sig inte symmetri vid partikelbyte.
Eftersom Schrödingerekvationen är en linjär diff-ekvation, är dock också lösningar av typen:
r r
r
r
r
r
ψ S ab (r1 , r2 ) = ψ a (r1 )ψ b (r2 ) +ψ a (r2 )ψ b (r1 )
(symmetrisk)
och
r r
r
r
r
r
ψ A ab (r1 , r2 ) = ψ a (r1 )ψ b (r2 ) −ψ a (r2 )ψ b (r1 )
(antisymmetrisk)
lösningar till S.E.
För båda dessa lösningar gäller att sannolikhetstätheten bevaras vid utbyte av de två partiklarna.
r r
r r
| ψ ab (r1 , r2 ) |2 =| ψ ab (r2 , r1 ) |2
Om vi bara betraktar spinn-delen kan vi konstruera symmetriska och antisymmetriska tillstånd enligt:
Symmetriskt
↑↑
↑↓ + ↓↑
↓↓
Antisymmetriskt
Triplett-tillstånd
↑↓ - ↓↑
Singlett-tillstånd
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Pauliprincipen:
Det har visat sig i naturen att partiklar med halv- (1/2, 3/2,...) och heltaligt (0,1,2,...) spinn
uppträder på oilka sätt.
• Bosoner
Ett system med ej särskiljbara partiklar med heltaligt spinn har en symmetrisk vågfunktion m.a.p
utbyte av partiklarna.
r r
r r
ψ ab (r1 , r2 ) = ψ ab (r2 , r1 )
• Fermioner
Ej särskiljbara partiklar med halvtaligt spinn har en asymmetrisk vågfunktion m.a.p. partikelbyte.
r r
r r
ψ ab (r1 , r2 ) = −ψ ab (r2 , r1 )
Exempel:
bosoner
partikel
α-partikel
Foton
Pion, π0
fermioner
spinn
0
1
0
spinn
½
½
3/2
partikel
elektron
proton
Omega
Vågfunktionen för två fermioner i exakt samma tillstånd:
r r
r
r
r
r
ψ A aa (r1 , r2 ) = ψ a (r1 )ψ a (r2 ) −ψ a (r2 )ψ a (r1 ) = 0
Pauliprincipen (the exclusion principle)
Två ej särskiljbara fermioner kan inte vara i samma individuella kvanttillstånd
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Genom att utnyttja att elektroner är fermioner och måste uppfylla Pauliprincipen kan man förklara det
periodiska systemet:
huvudkvantal n = 1, 2
Nomenklatur: exempel: 1s22s22p5
tillstånd med olika ℓ anges med bokstav: s=0, p=1, d=2, f=3 ...
Antal e- för viss n,ℓ-kombination
Varje kombination av n, ℓ och mℓ kan enligt
Pauliprincipen ha 2 elektroner om dessa har
olika ms (↑ respektive ↓).
s-skal (ℓ =0) hara bara mℓ=0 och därför max 2 ep-skal (ℓ =1) hara mℓ=-1,0,1 och därför max 6 eför visst ℓ finns 2ℓ+1 olika mℓ-värden, vilket
tillåter 2(2ℓ +1) elektroner i n,ℓ-kombinationen
(När elektroner ”fylls på” i p-skal för högre
atomtal, är det oftast (beroende på e- i
andra n,ℓ –skal) energimässigt fördelaktigt
att fylla på i olika mℓ-värden med lika
riktade spinn (assymetrisk rumsdel, symmetrisk
spinndel) därför att elektronerna, som har
samma laddning hamnar längre ifrån
varandra. (Hunds regel). )
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
Relativa energinivåer för olika skal som
funktion av atomnummer.
Med fler än en elektron i atomen, kommer elektronerna att skärma kärnladdningen för varandra.
Systemet kan inte lösas analytiskt utan beräknas med hjälp av dator i approximationer.
Notera dock: kärnladdningen ökar med atomnummer. 1s skalet är närmast kärnan och har minst skärmning.
Bindningsenergin för en jon med bara en elektron är proportionell mot Z2.
(Z2-beroendet fås genom att i alla härledningar för väte ersätta qe2 me Zqe2)
(Mosley visade att spektrallinjer för övergångar mellan olika skal (n-värden) ändras proportionellt mot (Z-1)2)
Jonisationsenergin för först frigjorda
elektronen som funktion av Z.
Ädelgaser är svårast att jonisera.
Notera: helium, 24,6 eV för första
frigjorda elektronen. Kvar finns en ebunden till kärna med Z=2.
Bindningsenergin för denna enda
elektron i He+ är då 22⋅13,6 eV = 54,2 eV
5A1247, modern fysik, VT2007, KTH
